高中物理 第05章 曲线运动章末总结(讲)(基础版)(含解析)新人教版必修2

第五章曲线运动★知识网络
※知识点一、运动的合成与分解
一、研究曲线运动的基本方法
利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程：（欲知）曲线运动规律――→
等效
分解
（只需研究）两直线运动规律――→
等效
合成
（得知）曲线运动规律。

二、运动的合成与分解
1．合运动与正交的两个分运动的关系
（1）s＝x2＋y2——（合运动位移等于分运动位移的矢量和)
（2）v＝v21＋v22——（合运动速度等于分运动速度的矢量和)
（3）t＝t1＝t2——（合运动与分运动具有等时性和同时性)
2．小船渡河问题的分析
小船渡河过程中，随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性。

（1）渡河时间最短问题：只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即船头垂直指向对岸渡河时间最短，
t min＝d
v船。

（2）航程最短问题：要使合位移最小。

当v水<v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽。

当v 水>
v船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短。

3．关联物体速度的分解
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度，解决“关联”速度问题的关键两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定；二是沿杆（或绳)方向的分速度大小相等。

特别提醒：
关联物体运动的分解
1．常见问题：物体斜拉绳或绳斜拉物体，如图所示。

2．规律：由于绳不可伸长，绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相同。

3.速度分解方法：图甲中小车向右运动，拉绳的结果一方面使滑轮右侧绳变长，另一方面使绳绕滑轮转动。

由此可确定车的速度应分解为沿绳和垂直于绳的两个分速度。

甲、乙两图的速度分解如图所示。

【典型例题】
【例题1】（多选）如图所示，某人由A 点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，则下列说法正确的是
A ．小船能到达正对岸的
B 点 B ．小船能到达正对岸B 点的左侧
C ．小船到达对岸的位置与水流速度有关
D ．小船到达对岸的时间与水流速度无关 【答案】
CD
【针对训练】
如图所示，一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动。

当AB 杆和墙的夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2，则v 1、v 2的关系是（ ）
A
B
左
右
水流方向
A ．v 1＝v 2
B ．v 1＝v 2cos θ
C ．v 1＝v 2tan θ
D ．v 1＝v 2sin θ
【答案】C
【解析】将A 、B 两点的速度分解为沿AB 方向与垂直于AB 方向的分速度，由于AB 不可伸长两点沿AB 方向的速度分量应相同，则有12cos sin v v θθ=，故C 正确，A 、B 、D 错误。

※知识点二、平抛运动的特征和解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度，抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键，现将常见的几种解题方法介绍如下：
1．利用平抛的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同。

2．利用平抛运动的偏转角度解题
设做平抛运动的物体，下落高度为h ，水平位移为x 时，速度v A 与初速度v 0的夹角为θ ，
由图可得：
tan θ＝v y v x ＝gt v 0＝gt 2v 0t ＝2h
x
①
将v A 反向延长与x 相交于O 点，设AO ＝
d ，则有：
tan θ＝h d
解得d ＝12x ，tan θ＝2h
x
＝2tan α ②
①②两式揭示了偏转角和其他各物理量的关系。

3．利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上任意一段，就可求出水平初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了。

设图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A 和B ，分别过A 点作竖直线，过B 点作水平线相交于C 点，然后过BC 的中点D 作垂线交轨迹于E 点，过E 点再作水平线交AC 于F 点，小球经过AE 和EB 的时间相等，设为单位时间T 。

由Δy ＝gT 2
知
T ＝
Δy
g
＝
y FC －y AF
g v 0＝x EF
T
＝
g
y FC －y AF
·x EF
★平抛运动的两个重要推论的应用
推论1：平抛运动的速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系：tan θ＝2tan α
推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。

★平抛运动与斜面相结合问题的处理方法
平抛运动经常和斜面结合起来命题，求解此类问题的关键是挖掘隐含的几何关系。

常见模型有两种：
(1)物体从斜面平抛后又落到斜面上，如图所示。

则其位移大小为抛出点与落点之间的距离，位移的偏角为斜面的倾角α，且tan α＝y x ＝
gt
2v 0。

(2)物体做平抛运动时以某一角度(φ)落到斜面上，如图所示。

则其速度的偏角为(φ－α)，且tan(φ－α)＝v y
v 0。

【典型例题】
【例题2】跳台滑雪是一种极为壮观的运动，运动员穿着滑雪板，从跳台水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．如图所示．从倾角θ＝37°的坡顶A 点以速度s m v /200=沿水平方向飞出，恰落到山坡底的水平面上的B 处。

（g ＝10 m/s 2
，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求： （1）运动员在空中飞行的时间 （2）AB 间的距离s
【答案】（1） 3 s ；（2）
75 m
（2）将t =3s 代入得x =20m/s×3s=60m；y =
12
gt 2
=45m ； 故AB 间的距离s
=； 【针对训练】
（多选）在同一水平直线上的两位置分别沿同水平方向抛出两小球A 和B ，两球相遇于空中的P 点，它们的运动轨迹如右图所示。

不计空气阻力，下列说法中正确的 A ．在P 点抛出时，A 球的速度大小小于B 球的速度大小 B ．在P 点抛出时，A 球的速度大小大于B 球的速度大小 C ．抛出时，先抛出A 球后抛出B 球 D ．抛出时，两球同时抛出
【答案】BD
※知识点三、圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态，通常叫做临界状态，出现临界状态时，即可理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。

1．水平面内圆周运动的临界问题 （1）不滑动
质量为m 的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动如图甲、乙所示)时，静摩擦力提供向心力，当
静摩擦力达到最大值F fm 时，物体运动的速度也达到最大，即F fm ＝m v 2m
r
，解得v m ＝
F fm r m。

（2）绳子被拉断
质量为m 的物体被长为l 的轻绳拴着如图所示)，且绕绳的另一端O 做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到
最大值F m 时，物体的速度最大，即F m ＝m v 2m
l
，
解得v m ＝
F m l m。

这就是物体在半径为l 的圆周上运动的临界速度。

2．竖直平面内圆周运动的临界问题
物体在竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下只讨论最高点和最低点的情况。

（1）轻绳模型
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，即mg ＝mv 2
r
，则v
＝gr 。

在最高点时：
（1）v ＝gr 时，拉力或压力为零。

（2）v >gr 时，物体受向下的拉力或压力。

（3）v <gr 时，物体不能达到最高点（如图)。

即绳类的临界速度为v 临＝gr 。

（2）轻杆模型
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为： （1）v ＝0时， 小球受向上的支持力F N ＝mg 。

（2）0<v <gr 时，小球受向上的支持力0<F N <mg 。

（3）v ＝gr 时，小球除受重力之外不受其他力。

（4）v >gr 时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。

即杆类的临界速度为v 临＝0。

特别提醒：
对竖直平面内的圆周运动
(1)要明确运动的模型，即绳模型还是杆模型。

(2)由不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。

【典型例题】
【例题3】长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点。

让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示。

当摆线L 与竖直方向的夹角是θ时，求： （1） 线的拉力F ；
（2） 小球运动的线速度大小；
【答案】（1）θcos mg
（2）θ
cos θgLsin 2
（2）根据牛顿第二定律水平方向上
r
v m θFsin 2
=
θLsin r =
联立方程计算得θ
cos θ
gLsin v 2=
【针对训练】
（多选）如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做完整的圆周运动，则下列说法中正确的是( )
A ．小球运动到最高点时所受的向心力不一定等于重力
B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C
D．小球经过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【答案】AD。