甘肃省天水市2023-2024学年高一上学期10月月考试题 数学含解析

天水高一级2023-2024学年度第一学期第一学段检测考试
数学试题（答案在最后）
满分：150分
时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.已知集合}
{{
|03},10
M x x N x x =<<=-，则M N ⋂=（）
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3)-
D.(1,0)
-2.命题“{}
00x x x ∃∈>，2
001x x =-”的否定是（
）
A.{}
00x x x ∃∈>，2
001
x x ≠- B.{}
00x x x ∃∉>，2
001
x x =-C.{}
0x x x ∀∈>，21
x x ≠- D.{}
0x x x ∀∉>，21
x x =-3.已知集合{}3A x x =>，{}0,1,2,3,4,5B =，则()
A B =R I ð（）
A.
{}
0,1,2 B.
{}
0,1,2,3 C.
{}4,5 D.
{}
3,4,54.设p ：2x >或2
3
x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.不等式23100x x ++>-的解集为（）
A.{|25}x x -<<
B.{|25}x x x <->或
C.{|52}x x -<<
D.{|52}
x x x <->或6.设,m n 为正数，且2m n +=，则11
m n
+的最小值为（）
A.2
B.
12
C.4
D.32
7.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充分不必要条件，则q 是r 的（）
A .
充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件8.设0a b <<，则下列不等式成立的是（
）
A.2
a b
a b +<
<< B.2
a b
a b
+<<<
C.
2
a b
a b +<<
< D.2
a b
a b +<
<
<二、多选题（每小题5分，共20分）
9.如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（
）
A.
()U
A B
⋂ð B.()U A B ⋂ð C.()
B A B ð D.()A B A
⋃ð10.若,,R a b c ∈且0a b <<，则下列不等式一定正确的是（）
A
.11
a b
< B.2
ab b > C.a c b c
< D.22()(11)
a c
b
c +<+11.命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（）
A.74
-
B.32
-
C.2
D.
52
12.关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（）
A.1
- B.
32
C.
74
D.2
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.不等式
21
11
x x ->+的解集为________．14.已知集合(),21,[1,4),A a B =-∞-=若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是_______.
15.不等式组22320
30
x x x x ⎧-+≥⎨-<⎩的解集为____________．
16.已知对任意x a >，不等式2
27x x a
+
≥-恒成立，则实数a 的最小值为________．四、解答题（第17题10分，18-22题每小题12分，共70分）
17.已知二次函数2
1y x bx c =++满足图象关于直线2x =轴对称，且过点()1,3．
（1）求函数1y 的解析式；
（2）若223y x =-，比较1y 与2y 的大小．
18.已知集合{}24A x x =≤<，{}
1B x a x a =≤≤+．
（1）当2a =时，求A B ⋂；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
19.已知关于x 的不等式222830ax x a --<的解集为{}
1x x b -<<.（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足
1a b
x y
+=时，求32x y +的最小值.20.已知命题2:R,230p x x mx m ∀∈-->成立；命题2:01R,4x x q mx ∃∈+<+成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 真q 假，求实数m 的取值范围．21.已知函数()2
22,R y x a x a a =-++∈.
（1）当1a =-时，求解关于x 的不等式0y >；
（2）若方程()2
221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求
21
12
x x x x +的最小值.22.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x 元，公司拟投入
()216006
x -万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1
5x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
天水高一级2023-2024学年度第一学期第一学段检测考试
数学试题
满分：150分
时间：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.已知集合}
{{
|03},10
M x x N x x =<<=-，则M N ⋂=（）
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3)
- D.(1,0)
-【答案】B 【解析】
【分析】求出{}
1N x x =>，结合交集的定义计算即可.
【详解】因为{}
03M x x =<<，{}{}
101N x x x x =->=>，所以{}
13M N x x ⋂=<<，故选：B
2.命题“{}
00x x x ∃∈>，2
001x x =-”的否定是（
）
A.{}00x x x ∃∈>，2
001
x x ≠- B.{}
00x x x ∃∉>，2
001
x x =-C.{}
0x x x ∀∈>，21x x ≠- D.{}
0x x x ∀∉>，21
x x =-【答案】C 【解析】
【分析】由特称命题的否定形式即可求解.
【详解】命题“{}
00x x x ∃∈>，2
001x x =-”是特称命题，
其否定形式为：{}
0x x x ∀∈>，21x x ≠-.故选：C
3.已知集合{}3A x x =>，{}0,1,2,3,4,5B =，则()
A B =R I ð（）
A.
{}
0,1,2 B.
{}
0,1,2,3 C.
{}4,5 D.
{}
3,4,5【答案】B 【解析】
【分析】利用补集与交集的定义可求得集合()
A B ⋂R ð.
【详解】因为{}
3A x x =>，则{}
3A x x =≤R ð，又因为{}0,1,2,3,4,5B =，则()
{}0,1,2,3A B =R ð.故选：B.
4.设p ：2x >或2
3
x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】分别写出,p q ⌝⌝对应的取值范围，再由范围大小即可确定选项.【详解】根据题意可得p ⌝2
:
23
x ≤≤，q ⌝:12x -≤≤，易知2,23⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
是[]1,2-的真子集，所以q p ⌝→⌝，
因此，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件.故选：A
5.不等式23100x x ++>-的解集为（）
A.{|25}x x -<<
B.{|25}x x x <->或
C.{|52}x x -<<
D.{|52}x x x <->或【答案】A 【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由23100x x ++>-，得23100x x <--，即()()250x x +-<，解得25x <<-，所以不等式的解集为{}
25x x -<<.故选：A
6.设,m n 为正数，且2m n +=，则
11
m n
+的最小值为（）
A.2
B.
12
C.4
D.
32
【答案】A 【解析】
【分析】将11m n +变形为111
()()2m n m n
++，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意,m n 为正数，且2m n +=，
则
111111()()(2)22m n m n m m n m n n +=++=++
1(222≥
+=，当且仅当n m
m n
=，结合2m n +=，即1m n ==时等号成立，即
11
m n
+的最小值为2，故选：A
7.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充分不必要条件，则q 是r 的（）
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】利用题给条件判断出q 与r 的逻辑关系，进而得到正确选项.【详解】若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒，p q ¿，
p 是r 的充分不必要条件，则,p r r p ⇒¿，
则有q r ⇒，r q ¿，则q 是r 的充分不必要条件，故选：A ．
8.设0a b <<，则下列不等式成立的是（）
A
.
2
a b
a b +<
<< B.2
a b
a b
+<<<
C.
2
a b
a b +<<
< D.2
a b
a b +<
<
<【答案】D 【解析】
【分析】根据基本不等式的性质，结合作差比较法逐一判断即可.
【详解】因为0a b <<2
a b
+<
；
因为
0,02222a b b a a b a b
a b +-+--=>-=<，所以
,22a b a b a b ++><，即2
a b
a b +<<，因为0a b <<，
0a ==>a >，
因此2
a b
a b +<<
<，故选：D
二、多选题（每小题5分，共20分）
9.如图，已知矩形U 表示全集，A 、B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（
）
A.
()U
A B
⋂ð B.()U A B ⋂ð C.()
B A B ð D.()A B A
⋃ð【答案】ACD 【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以，阴影部分可表示为()
U A B ⋂ð，A 对；
x B ∈且()x A B ∉ ，阴影部分可表示为()B A B ð，C 对；()x A B ∈U 且x A ∉，阴影部分可表示为()A B A ⋃ð，D 对；
显然，阴影部分区域所表示的集合为()U A B ⋂ð的真子集，B 选项不合乎要求.故选：ACD.
10.若,,R a b c ∈且0a b <<，则下列不等式一定正确的是（）
A.
11
a b
< B.2
ab b > C.a c b c
< D.
22()(11)
a c
b
c +<+【答案】BD 【解析】
【分析】取特值可判断A ，C ；由不等式的性质可判断B ，D .
【详解】对于A ，2,1a b =-=-，则
111
12a b
=->=-，故A 错误；对于B ，由0a b <<，两边同时乘以b ，2ab b >，故B 正确.对于C ，若0c =，则a c b c =，故C 错误；对于D ，因为0a b <<，210c +>，则22()(11)a c b c +<+，故D 正确.
故选：BD .
11.命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，则实数b 的值可能是（）
A.7
4
-
B.32
-
C.2
D.
52
【答案】AB 【解析】
【分析】根据特称命题与全称命题的真假可知：x ∀∈R ，210x bx ++>，利用判别式小于即可求解.【详解】因为命题p ：x ∃∈R ，210x bx ++≤是假命题，
所以命题：x ∀∈R ，210x bx ++>是真命题，也即对x ∀∈R ，210x bx ++>恒成立，则有240b ∆=-<，解得：22b -<<，根据选项的值，可判断选项AB 符合，故选：AB .
12.关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（）
A.1-
B.
32
C.
74
D.2
【答案】CD 【解析】
【分析】由题意先判断出0a >，写出不等式的解集，由不等式()()120ax x a +-<的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为1,2,3,计算求解即可.
【详解】不等式化简为()()120ax x a +-<的解集中恰有3个正整数，当0a =时，不等式化为0x <，则解集中有无数个整数.
当0a <时，不等式()()120ax x a +-<的解集中有无数个正整数，故A 错误；所以0a >，1
0a -
<，20a >，所以12a a
-<
所以不等式的解集为：1|2x x a a ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩
⎭
，根据0一定属于此集合，则由不等式()()120ax x a +-<的解集中恰有3个正整数，则这3个整数中一定为：1,2,3，则324a <≤，解得3
22
a <≤故a 可取
7
4
和2，故C,D 正确，AB 错误；故选：CD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.不等式
21
11
x x ->+的解集为________．【答案】(,1)(2,)-∞-⋃+∞【解析】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可根据一元二次不等式的求解可得.【详解】原不等式
2111x x ->+化为()()2
021021
x x x x x ->∴-+>∴>+或1x <-，因此不等式的解集为(,1)(2,)-∞-⋃+∞故答案为：(,1)(2,)
-∞-⋃+∞14.已知集合(),21,[1,4),A a B =-∞-=若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是_______.【答案】52
a ≥【解析】
【分析】由,A B B ⋂=得B A ⊆，则可根据子集的定义列出不等式求解即可.【详解】解：,A B B ⋂=则B A ⊆，所以214a -≥，解得：52
a ≥.故答案为52
a ≥
.【点睛】本题考查子集的定义和运算，考查不等式的解法，属于基础题.
15.不等式组22
320
30x x x x ⎧-+≥⎨-<⎩
的解集为____________．【答案】{}
0123x x x <≤≤<或【解析】
【分析】按一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】由2232030x x x x ⎧-+≥⎨-<⎩
，得12
03x x x ≤≥⎧⎨<<⎩或，所以01x <≤或23x ≤<.
故答案为：{}
0123x x x <≤≤<或.16.已知对任意x a >，不等式2
27x x a
+≥-恒成立，则实数a 的最小值为________．【答案】3
2
【解析】
【分析】根据基本不等式求得2
2x x a
+
-的最小值，由此可得关于a 的不等式，即可求得答案.【详解】因为x a >，故0x a ->，所以()22
222x x a a x a x a
+
=-++--
224a a ≥=+，当且仅当()2
2x a x a
-=
-，即1x a =+时等号成立，即有247a +≥，所以3
2a ≥，即a 的最小值为32
，
故答案为：
3
2
四、解答题（第17题10分，18-22题每小题12分，共70分）
17.已知二次函数2
1y x bx c =++满足图象关于直线2x =轴对称，且过点()1,3．
（1）求函数1y 的解析式；
（2）若223y x =-，比较1y 与2y 的大小．【答案】（1）2
146y x x =-+（2）12y y ≥【解析】
【分析】（1）先根据二次函数的对称轴求出b ，再根据函数图象所过的点即可求出c ；（2）利用作差法求解即可.【小问1详解】
因为二次函数2
1y x bx c =++满足图象关于直线2x =轴对称，
所以22
b -=，解得4b =-，又函数图象过点()1,3，
则143c -+=，解得6c =，
所以函数1y 的解析式为2
146y x x =-+；【小问2详解】
因为()()2221246236930y y x x x x x x -=-+--=-+=-≥，
所以12y y ≥.
18.已知集合{}24A x x =≤<，{}1B x a x a =≤≤+．
（1）当2a =时，求A B ⋂；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}23
A B x x ⋂=≤≤（2）{}23
a a ≤<【解析】
【分析】（1）根据交集定义进行计算；
（2）根据集合的包含关系，得到不等式组，求出实数a 的取值范围.
【小问1详解】
当2a =时，{}{}123B x a x a x x =≤≤+=≤≤，∵{}24A x x =≤<，∴{}
23A B x x ⋂=≤≤．
【小问2详解】若B A ⊆，故214a a ≥⎧⎨+<⎩
，∴23a ≤<，综上，实数a 的取值范围为{}23a a ≤<．
19.已知关于x 的不等式222830ax x a --<的解集为{}1x x b -<<.
（1）求实数a ，b 的值；
（2）当0x >，0y >，且满足
1a b x y
+=时，求32x y +的最小值.【答案】（1）2a =，3b =.
（2）24
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系即可求解，
（2）根据乘“1”法，即可结合基本不等式求解.
【小问1详解】
∵不等式222830ax x a --<的解集为{}
1x x b -<<，∴0a >，且1-，b 为方程222830ax x a -=-的两个根，故41312b a b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩
，解得2a =或43
a =-
（舍去），3b =【小问2详解】当0x >，0y >时，由（1）得231x y
+=，∴(
)23493232121224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，当且仅当4923y x x y y x xy ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，即4x =，6y =时，等号成立，
所以32x y +的最小值为24
20.已知命题2:R,230p x x mx m ∀∈-->成立；命题2:01R,4x x q mx ∃∈+<+成立．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题p 真q 假，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）()
3,0-（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】（1）由命题p 为真命题转化为不等式2230x mx m -->恒成立.
（2）解出“命题q 假”所对应的实数m 的取值范围并与（1）中m 的取值范围作交集.
【小问1详解】
因为命题2:R,230p x x mx m ∀∈-->为真命题.
所以2230x mx m -->在R 上恒成立，则判别式()()2
Δ2430m m =--⨯-<，即()23030m m m m +<⇔+<解得30m -<<.所以实数m 的取值范围为()3,0-.
【小问2详解】
由（1）知命题p 为真命题时，m 的取值范围为()3,0-.
当命题2:01R,4x x q mx ∃∈+<+为真命题时，不等式2410x mx ++<有解.
则判别式()2Δ4410m =-⨯>即()()2410212+10m m m ->⇔->解得12m <-或12m >.则命题q 为假命题时，1122m -≤≤即11,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
.故命题p 真q 假时，m 满足()1113,0,,0222⎡⎤⎡⎫-⋂-
=-⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.所以实数m 的取值范围为1,02⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭.21.已知函数()222,R y x a x a a =-++∈.
（1）当1a =-时，求解关于x 的不等式0y >；
（2）若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求2112
x x x x +的最小值.【答案】（1）1(,(1,)2
-∞-+∞ ；（2）6
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，即可得答案；
（2）根据方程()2
221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x 可得相应不等式组，进而表示出2112x x x x +，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
当1a =-时,不等式0y >即为2210x x -->，解得12
x <-
或1x >，故不等式解集为1(,)(1,)2-∞-+∞ ；【小问2详解】
方程()2
221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，即22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根12,x x ，
故()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩
，解得1a >；所以222221121212121212()22132(1)
x x x x x x x x a a x x x x x x a ++-+++===-，令1t a =-，则0t >，故22112(1)2(1)132x x t t x x t +++++
=82262t t =++≥+=，当且仅当82t t
=即4,5t a ==时取得等号，故2112
x x x x +的最小值为6.22.某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x 元，公司拟投入()216006
x -万元，作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
【答案】（1）40元
（2）10.2万件，30元
【解析】
【分析】（1）设每件定价为t 元，根据题意列不等式，然后解不等式即可；
（2）根据题意得到25x >时，不等式()2112585060065
ax x x ≥⨯++-+有解，然后转化为min 150116
5a x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求最值即可.【小问1详解】
设每件定价为t 元，依题意得2580.22581t t -⎛
⎫-⨯≥⨯ ⎪⎝⎭
，整理得26510000t t -+≤，解得2540t ≤≤．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
【小问2详解】
依题意知当25x >时，不等式()2112585060065
ax x x ≥⨯++
-+有解，等价于25x >时，1501165a x x ≥++有解，
由于1501106x x +≥=，当且仅当15016
x x =，即30x =时等号成立，所以10.2a ≥，当该商品改革后销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。