广东省珠海一中等六校2015届高三数学11月第二次联考试题 理 新人教A版

2015届广东六校联盟第二次联考试题
数学（理科）
（满分150分） 考试时间：120分钟
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）
1．已知集合1
{|()1}
2x A x =<,{|1}B x x =<,则A B =
A. Φ
B. R
C. (0，1)
D. (-∞，1) 2． 命题：“x ∃∈R ，
x ≤”的否定是
A. x ∃∈R ，||0x >
B. x ∀∈R ，||0x >
C. x ∃∈R ，0
x < D. x ∀∈R ，||0x <
3．设
n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知7S =49，则26,a a 的等差中项是
A.492
B. 7
C. 7±
D. 7
2
4．函数2()x
f x e =在点(0，1)处的切线的斜率是
A. 2
e B. e C. 2 D. 1 5. 已知等边ABC ∆的边长为1，则=⋅BC AB
A ．21-
B ．23-
C ．21
D ．23
6. 已知角α终边上一点P 的坐标是)3cos 2,3sin 2(--，则=αsin A. cos3- B. cos3 C. sin 3- D. sin 3 7．数列
}{n a 中，d qa a p a n n +==+11,(n ∈N*，d q p ,,是常数)，则0=d 是数列}{n a 成等比数列
的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.不充分也不必要条件
8. 已知向量,OA OB 不共线，向量=OC xOA yOB +，则下列命题正确的是 A. 若y x +为定值，则C B A 、、三点共线.
B. 若y x =，则点C 在AOB ∠的平分线所在直线上.
C. 若点C 为AOB ∆的重心，则
1=
3x y +.
D. 若点C 在AOB ∆的内部（不含边界），则01011
x y x y <<⎧⎪
<<⎨⎪+<⎩.
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.） 9．已知函数()=2ln sin f x x x +，则()
2f π'＝ ．
10. 已知函数
3
()=2f x x m +-是定义在[,4]n n +上的奇函数，则m n +
11. 右图是函数
()sin()(0,0,||)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象，则=ϕ
12．0
-=
⎰
.
13. 已知1a b c >>>，且a b c ，，依次成等比数列，设=log log log a b c m b n c p a ==，，，则m n p ，，这三个数的大小关系为 .
14.给出下列命题：
(1)设21e e 、
是两个单位向量，它们的夹角是 60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e 29
-
；
(2)已知函数
22
log (1)()+1 (1)x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()y f x m =-有3个零点，则0<m <1； (3)已知函数
()1
2-=x x f 的定义域和值域都是[]()a b b a >,，则a b +＝1；
(4)定义在R 上的函数()f x 满足(2)[1()]1()(1)2f x f x f x f +⋅-=+-=+，则2f . 其中，正确命题的序号为 .
参考答案
1、C ；
2、B ；
3、B ；
4、C ；
5、A ；
6、A ；
7、D ；
8、D
9、4π；10、0；11、6π；12
、
3π
；13、p m n >>；14、(1)(2)(3) 三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，设角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，且2cos 2a C b c =-． （1）求角A 的大小；
（2
）若a ，4b =，求边c 的大小．
解：(1)因为2cos 2a C b c =-，所以 C B C A sin sin 2cos sin 2-= ()C C A sin sin 2-+=
C C A C A sin )sin cos cos (sin 2-+= ………………………………4分 即C A C sin cos 2sin =，
又因为π<<C 0，所以0sin ≠C ，
所以
21cos =
A ，
又因为π<<A 0
所以
3π
=
A ． ………………………………8分
(2) 因为A bc c b a cos 2222-+=，即
2
21164c c =+- 所以2
450c c --=，解得1c =-（舍），5c =． ………………………………12分
16.（本小题满分12分） 已知正项等比数列}{n a 中，11=a ，且2313,,2a a a 成等差数列.
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设
n
n a n b ⋅-=)12(，求数列
}{n b 的前n 项和n T .
解：设等比数列
{}n a 的公比为q ，
由
2
313,,2a a a 成等差数列知，
3
21232a a a =+，
∴
02322=--q q ∵0>n a ∴2=q ………………………………4分 (1)∵11=a ∴
*)(21
N n a n n ∈=- ………………………………6分 (2)∵
n
n a n b ⋅-=)12(，
*)(21
N n a n n ∈=- ∴.
2)12(2523112-⨯-++⨯+⨯+=n n n T
∴.2)12(2)32(2523212132n n n n n T ⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ……………8分
∴
.
2)12()2222(21132n n n n T ⨯--+++++=--
.32)32(2)12(322)12(2
1)
21(22111-⨯--=⨯---=⨯----⋅+=+-n
n
n n
n n n n
∴
*).
(32)32(N n n T n n ∈+⨯-= ………………………………12分
17．（本小题满分14分）
已知函数1
sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f π
π． （1）求
()
3f π
的值； （2）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；
（3）说明()y f x =的图像是如何由函数sin y x =的图像变换所得.
17．解： ∵1
sin 2)62sin()62sin()(2-+-++=x x x x f π
π
x x x 2cos )62sin()62sin(--++=π
π
x x 2cos 2sin 3-=
)
62sin(2π
-=x ………………………4分 （1） ()=2sin 2
32f ππ
= ………………………6分
（2） ()f x 的最小正周期为22ππ= ………………………8分
当2222
6
2k x k π
π
π
ππ-≤-
≤+
(k ∈Z)，
即
6
3k x k π
π
ππ-
≤≤+
(k ∈Z)时，函数()f x 单调递增，
故所求单调增区间为每一个
[,]63k k π
π
ππ-
+(k ∈Z). ………………………11分
（3）解法1：
把函数sin y x =的图像上每一点的向右平移6π
个单位，
再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分 解法2：
把函数sin y x =的图像上每一点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，
再把所得图像上的每一点的向右平移12π
个单位，
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
就得到函数()y f x =的图像. .………………………14分
18.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足2
1)1(3+=++n S S n n (n ∈N*)．
(1)用a 表示2
a 的值；
(2)求数列
{}n a 的通项公式；
(3)对任意的n ∈N*，
1n n
a a +>，求实数a 的取值范围．
解析：(1)由条件1=n 得12121=++a a a ， a a 2122-=. ………………………2分
(2)由条件21)1(3+=++n S S n n 得，2
13(2)n
n S S n n -+=≥ ………………………3分 两式相减得361+=++n a a n n (2)
n ≥，
解法1：
故
9
612+=+++n a a n n ，
两式再相减得
62=-+n n a a (2)
n ≥，
，，，642a a a ∴构成以2a 为首项，公差为6的等差数列；
，，，753a a a 构成以
3
a 为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分
由(1)得
a
n a n 2662-+=；
由条件2=n 得27
21321=++++a a a a a ，得
a
a 233+=，
从而
a
n a n 23612+-=+，
∴,
13(62)(1)2n n
a n a n a n =⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分 解法2： 设
1(1)()
n n a x n y a xn y ++++=-++，即
122n n a a xn y x
+=----
则263230x x y x y -==-⎧⎧⇒⎨⎨
--==⎩
⎩ ∴有13(1)(3)n n a n a n +-+=-- ∴2n ≥时，2
23(6)(1)
n n a n a --=-⋅-，即
2
3(62)(1)n n a n a -=+-⋅-
∴
2
,13(62)(1)2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩， ………………………………9分 (3)对任意的n ∈N*，1n n
a a +>，
当1n =时，由
21
a a >，有32(62)a a ⨯+->得4a <………①； 当2n ≥时，由
1n n
a a +>，有
123(1)(62)(1)3(62)(1)n n n a n a --++-⋅->+-⋅-，即123(62)(1)(62)(1)n n a a --+-⋅->-⋅-
若n 为偶数，则3(62)62a a -->-得
9
4a >
………②； 若n 为奇数，则3(62)(62)a a +->--得
15
4a <
………③.
由①、②、③得 4154
9<
<a . …………………………………………14分
19.（本小题满分14分）
已知函数
d
cx bx x x f ++-=
23
31)(，设曲线)(x f y =过点(30)，
，且在点(30)，处的切线的斜率等于4，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．
（1）求)(x f ； （2）设
)()(x f x x g '=，0m >，求函数)(x g 在]0[m ，上的最大值；
（3）设t x x f x h )12()()(++'=，若4)(<x h 对[0,1]t ∈恒成立，求实数x 的取值范围．
解：（1）求导可得
c bx x x f +-='2)(2
………………………………………1分 ∵)()2(x f x f '=-'， ∴)(x f '的图像关于直线1=x 对称，∴1=b ……………2分
又由已知有：4)3('0)3(==f f ，∴31-==d c ， ………………………………4分
∴
331)(23
-+-=
x x x x f ………………………………………5分
（2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，
2
2
,1,
()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩
其图像如图所示．
当
21
4x x -=
时，
12x ±=
，根据图像得： （ⅰ）当
1
02m <≤
时，()g x 最大值为2m m -； （ⅱ）当112
2m +<≤
时，()g x 最大值为14； （ⅲ）当
12m >
时，()g x 最大值为2m m -． …………………………………10分
（3）
t x x t x x f x h )12()1()12()()(2
++-=++'=，
记
4)1()12()(2
--++=x t x t g ，有 …………………………………………11分 当[0,1]t ∈时，
4)(<x h ⇔04)1()12()(2<--++=x t x t g ， ∴只要21223104)1(1204)1(0)1(0)0(2
2
<<-⇔⎩⎨⎧<<-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--++<--⇔⎩⎨⎧<<x x x x x x g g ，
∴实数x
的取值范围为1x -<< …………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
设函数
2
()ln (,f x a x x bx a b =++∈R ,0)a ≠，且1x =为()f x 的极值点． （1）当1a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若()0f x =恰有两解，试求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设
2
()(1)2g x f x x x =+-++，证明：2*1135(N )()
(1)(2)n
k n n
n g k n n =+>∈++∑．
解：由已知求导得：
()2a
f x x b x '=
++，
1x =为()f x 的极值点，(1)0f '∴=， 20a b ++=． ………………2分
（1）当1a =时，3b =-，
进而21231(21)(1)
()23x x x x f x x x x x -+--'=+-==
，
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()f x ∴的单调减区间为1
(,1)
2． ………………………………4分
（2）由20a b ++=，得2b a =--，则
2
()ln (2)f x a x x a x =+-+ ，(0)x >， (2)(1)
()2(2)a x a x f x x a x x --'=
+-+=，(0)x >，
（ⅰ）当0a <时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，则()f x 的极小值为(1)f ，
ln 1x x ≤-，22
()(1)(2)2f x a x x a x x x a ∴≥-+-+=--，
则当x →+∞时，()f x →+∞，
又当0x +
→时，()f x →+∞， ∴要使()0f x =恰有两解，须(1)0f <，即1a >-．
因此，当10a -<<时，()0f x =恰有两解．
（ⅱ）当02a <<时，()f x 在
(0,)2a 、(1,)+∞递增，在(,1)
2a 递减， 则()f x 的极大值为()
2a
f ，()f x 的极小值为(1)f ．
2222()ln ()(1)()(8)22422424a a a a a a a a
f a a a a a =+-+≤-+-+=-，
∴当02a <<时，()0
2a
f <，此时()0f x =不可能恰有两解． （ⅲ）当2a >时，()f x 在(0,1)、(,)
2a
+∞递增，在(1,)2a 递减， 则()f x 的极大值为(1)f ，()f x 的极小值为()
2a
f ．
(1)10f a =--<，∴当2a >时，()0f x =不可能恰有两解．
（ⅳ）当2a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()0f x =不可能恰有两解．
综合可得，若()0f x =恰有两解，则实数a 的取值范围是10a -<<． ………………9分
（3）当1a =时，
2
()(1)2ln(1)g x f x x x x =+-++=+， 即证：
21135ln(1)
(1)(2)n
k n n k n n =+>+++∑．
（方法一）先证明：当2x ≥时，21
ln (1)
4x x <-． 设21()ln (1)4h x x x =--，
2
12()22x x h x x x -'=-=
， 当2x ≥时，()0h x '
<，则()h x 在(2,)+∞递减，()(2)h x h ≤，
316e >，3ln164ln2∴>=，即
3ln 24<
，
3(2)ln 204h ∴=-
<，()0h x ∴<，即21ln (1)4x x <-．
1411
2()ln (1)(1)11x x x x x ∴
>=--+-+．
令1x k =+，得
111
2()
ln(1)2
k k k >-++，
则
211
111111352()2(1)ln(1)2212(1)(2)n
n
k k n n
k k k n n n n ==+>-=+--=++++++∑∑． …………14分
（方法二）数学归纳法：
1.当1n =时，左边=1
ln 2，右边=43，
316e >，3ln164ln2∴>=， 14ln 23∴>
，即1n =时，命题成立．
2.设n k =时，命题成立，即
211135ln 2ln 3
ln(1)(1)(2)
k k k k k ++++>
+++．
当1n k =+时，左边=
21111351ln 2ln3ln(1)ln(2)(1)(2)ln(2)
k k k k k k k +++++>+
+++++
右边=
223(1)5(1)3118
(2)(3)(2)(3)
k k k k k k k k +++++=
++++，
要证
223513118
(1)(2)ln(2)(2)(3)
k k k k k k k k k ++++>
+++++，即证
221311835ln(2)(2)(3)(1)(2)
k k k k
k k k k k +++>-
+++++，
即证
14
ln(2)(1)(3)
k k k >
+++，也即证1
ln(2)(1)(3)
4k k k +<++．
令2k x +=，即证：21
ln (1)
4x x <-，（证法见方法一）
因此，由数学归纳法可得命题成立． …………………………………………14分。