天津市部分区2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试
高二数学
第I 卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A. -2 B. -1
C. 1
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ．
【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2.在复平面内,复数1
(1i i
+是虚数单位)对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i
+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】解：
11111
1(1)(1)222
i i i i i i --===-++-， ∴复数
11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 位于第四象限．
故选：D ．
【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.设x ∈R ,则“11
||<22
x -”是“0<<2x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】解：由11||<22x -，得111<222
x -<-， 解得01x <<．
∴ “11
||<22
x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．
故选：A ．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题． 4.我国古代数学著作
《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A. 20里 B. 10里
C. 5 里
D. 2.5 里
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，1
2
为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案．
【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，
1
2
为公比的等比数列，
又由6315S =，即有
161(1)
2315
112
a -
=-，
解得：1160a =； 1
11602n n a -∴⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
5
6116052a ∴⎛⎫
=⨯= ⎪⎝⎭
即此人第6天走了5里； 故选：C ．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．
5.若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线22
143
x y -
=的一个焦点,则p =（ ） A. 2 B. 10
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出22
143
x y -
=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线2
2(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，
双曲线22
143
x y -
=
的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =
的准线为x = ∴
2
p
=
p = 故选：D ．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程2
2y px =中p 的意义．
6.已知函数2
ln ()x
f x x =,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A .
3
ln x
x B. 31x
C. 31ln x x -
D.
3
12ln x
x -
【答案】D 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】解：
2ln ()x
f x x
=
()()()
2
222
43
21ln ln ln 1ln 22()x x x
x x x x
x x f x x x x '⋅⋅'∴=
='-⋅-⋅-=
故选：D .
【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.
7.正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A. 0 B.
1
5
C.
14
D.
13
【答案】A 【解析】 【分析】
连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.
【详解】解：连接1CB ，1BC
1111ABCD A B C D -是正方体,
11//DA CB ∴且11BC CB ⊥
因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点
1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥
即EF 与1DA 成直角，
cos
02
π
=
则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A
【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8.曲线12
y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A. 210x y -+= B. 0x y -= C. 20x y +-= D. 210x y --=
【答案】A 【解析】 【分析】
求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可．
【详解】解：
12y x
=，
1
212
x y -'∴=
则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2
x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1
112
y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ．
【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．
9.设双曲线22
22:1(>>0)x y C a b a b
-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若
OF PF =
且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）
A. 2
212
x y -=
B. 22142x y -=
C. 22
163-=x y
D. 22
184
x y -=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22
:1(>0)2x y C λλλ
-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的
距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用1
2
POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解.
【详解】解：20x y +=为双曲线22
22:1(>>0)x y C a b a b -=的一条渐近线，
故设双曲线方程为22
:1(>0)2x y C λλλ
-=
则右焦点F 的坐标为)
F
20x y +=
因为P 在0x +=上，且OF PF =
则右焦点F 的坐标为)
F
到直线0x =的距离
d =
=
OP ∴==11
22
POF S OP d ∆∴=
=⨯=2λ∴=
故22
:142
x y C -=
【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10.若函数1
()2sin 2sin 2
f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A. (-1,0] B. [0,1)
C. (-1,1)
D. [-1,1]
【答案】D 【解析】 【分析】
先求导，换元可得2
()23g t t at =-++，在[]
1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可.
【详解】解：
1
()2sin 2sin 2
f x x x a x =-+
2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++
因为函数1
()2sin 2sin 2
f x x x a x =-
+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立
令cos t x =则[]
1,1t ∈-
2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，
(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩
解得11a -≤≤
故选：D
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
第Ⅱ卷（共80分)
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.
11.i 是虚数单位,则
21i
i
+-的值为_____.
【解析】
利用复数的运算法则计算出
21i
i
+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】解：
()()()()21213
13
11122
2
i i i i i i i i ++++===+--+
213122i i i +∴=+==
- 故答案为：
2
【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.
12.已知函数22
(),'()f x x e f x =为()
f x 的
导函数,则'(1)f 的值为_____.
【答案】22e 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】解：
22()f x x e =
2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=
故答案为：22e
【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.
13.已知实数a 为函数3
2
()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2 【解析】 【分析】
首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】解：
32()3f x x x =-
()2()3632f x x x x x '∴=-=-
令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14.已知“21
[
2]102
x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】
求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1
m x x
<+
，构造函数()1
g x x x
=+
求()g x 在所给区间上的最小值. 【详解】解：由题意可知，2
1[2]102
x ,,x mx ∀∈-+>是真命题
1m x x ∴<+对1
[2]2x ,∀∈恒成立，
令()1
g x x x =+
()21
1g x x
'∴=-
令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则1
12
x ≤<；
即()1g x x x =+1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，()1,2上单调递增；
()()min 1
1121g x g ∴==+=
2m <∴
故答案为：(,2)-∞
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.
15.设0021a ,b ,a -b >>=,则
22(4)(1)
a b ab
++的最小值为________.
【答案】4 【解析】 【分析】
将式子变形可得()2
2222
244(4)(1)a b a b ab a b ab ab
+-++++=
，根据已知条件可得22(4)(1)5
4a b ab ab ab
++=++利用基本不等式可得最小值.
【详解】解：
()2
22
222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab ab ab
+-+++++++==
0021a ,b ,a -b >>=
2222(4)(1)455
444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=
当且仅当5
ab ab
=
时取等号，故最小值为4
故答案为：4
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知函数()()3
2
,f x x ax b a b R =-+∈.
(I)若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()
1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得； （Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间.
【详解】解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈
2()32f x x ax =-'∴
因为函数()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为10x y +-= ()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩
解得2,1a b ==
（Ⅱ）22()323()3
a f x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23
a x =
. 因为0a >,所以2(,0)(,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '> ； 20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=
2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.
(I) 证明：//DE 平面PAB ;
(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ 【解析】
【分析】
（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .
（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得.
【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,
可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .
取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =-
又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,
又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .
（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r ,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--
设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,
则0,
0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,
y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =
因此有cos ,PB n
PB n PB n ⋅<>=
=
-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.
18.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.
(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式;
(II)求数列{}n n a b 的前n 项和.
【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N
（Ⅱ）1*(23)2
6().n n n +-⨯+∈N 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据11
12n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和.
【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得
当1n =时,111a S ==
当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-
经检验1n =时也成立,
所以*21()n a n n =-∈N
即1212b a =-=,44516b a a =+=
记数列{}n b 的公比为q ,则341
8b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N
（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,
由21n a n =-,2n n b =,有(21)2n n n a b n =-⨯
故23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,
23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L
上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L
11
18(12)2(21)212
(23)2 6.
n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.
所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N
【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.
19.已知椭圆22
22:1(>>0)x y C a b a b
+=的长轴长为4,
离心率为2
. (I)求C 的方程； (II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.
【答案】（Ⅰ）22
142
x y += （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =
，再由离心率为
2
，可求c 的值，根据222c a b =- 计算出b 的值，即可得到椭圆方程； （Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上.
【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意
,24,
c a a ==又222a b c =+,
可得2,a b c ===
所以,椭圆的方程为22
142
x y +=. （Ⅱ）由2214
2y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
得x =
记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．
于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2
k y x u =- 由22(),214
2k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解, 故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得3
22N uk y k
=+ 从而直线AN 的斜率为3
22212(32)2uk uk k u k k u k
-+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题.
20.已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.
(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；
(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥.
【答案】（Ⅰ）
12
π- （Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】 （Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值；
（Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立.
【详解】解（Ⅰ）
()cos sin 1f x x x x =+-
()cos f x x x '∴=, 当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：
因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ
==-极大值 ，没有极小值. （Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-=
由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022
f f f πππ==->=-< 故()f x 在()0,π存在唯一零点.设0x ,则00()()0
g x f x '==
当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<,
所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减
又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥.
故2sin cos x x x x -≥.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。