江苏省东台市八年级上学期1月月考期末复习模拟数学试题

江苏省东台市八年级上学期1月月考期末复习模拟数学试题
一、选择题
1．下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．2-与2
B ．2-与38-
C ．2-与12
-
D ．2-与
()
2
2-
2．将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ） A ．仍是直角三角形 B ．一定是锐角三角形 C ．可能是钝角三角形 D ．一定是钝角三角形
3．若分式12
x
x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．1
B ．2-
C ．1-
D ．2
4．以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，5
B ．3，4，5
C ．3，6，9
D ．23，7，61
5．在
2
、0.3•、227-、38中，无理数的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．64的立方根是（ ）
A ．4
B ．±4
C ．8
D ．±8
7．在同一平面直角坐标系中，函数y x =-与34y x =-的图像交于点P ，则点P 的坐标
为( ) A ．(1,1)- B ．(1,1)-
C ．(2,2)-
D ．(2,2)-
8．下列四组数，可作为直角三角形三边长的是
A ．456cm cm cm 、、
B ．123cm cm cm 、、
C ．234cm cm cm 、、
D ．123cm cm cm 、、 9．下列说法正确的是（ ） A ．（﹣3）2的平方根是3 B ．16＝±4 C ．1的平方根是1
D ．4的算术平方根是2
10．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=︒垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（ ）
A ．10
B ．14
C ．24
D ．15
二、填空题
11．若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 12．2(5)-＝_____．
13．如图，直线l 1：y ＝﹣
1
2
x +m 与x 轴交于点A ，直线l 2：y ＝2x +n 与y 轴交于点B ，与直线l 1交于点P （2，2），则△PAB 的面积为_____．
14．式子
1
x -在实数范围内有意义的条件是__________． 15．等腰三角形中有一个角的度数为40°，则底角为_____________. 16．点(2,1)P 关于x 轴对称的点P'的坐标是__________．
17．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
18．一次函数32y x =-+的图象一定不经过第______象限.
19．在ABC 中，,AB AC BD =是高，若40ABD ∠=︒，则C ∠的度数为______． 20．如图，平面直角坐标系中，若点A （3，0）、B （4，1）到一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象的距离相等，则k 的值为_____．
三、解答题
21．(1)0451)
(2)解方程：23(1)120x --=
22．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7×13－6×14＝7，17×23－16×24＝7，不难发现，结果都是7．
①请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； ②请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
23．为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2018年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象（其中a ，b ，c 为常数）
行驶路程
收费标准
调价前
调价后 不超过3km 的部分 起步价6元
起步价a 元 超过3km 不超出6km 的部分
每公里2.1元
每公里b 元
超出6km 的部分
每公里c 元
设行驶路程xkm 时，调价前的运价y 1（元），调价后的运价为y 2（元）如图，折线ABCD 表示y 2与x 之间的函数关系式，线段EF 表示当0≤x≤3时，y 1与x 的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
（1）填空：a= ，b= ，c= ．
（2）写出当x ＞3时，y 1与x 的关系，并在上图中画出该函数的图象．
（3）函数y 1与y 2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由．
24．计算：()()
2
3
163.1422781
π-+
-- 25．如图，M 、N 两个村庄落在落在两条相交公路AO 、BO 内部，这两条公路的交点是
O，现在要建立一所中学C，要求它到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等．试利用尺规找出中学的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
四、压轴题
26．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．
（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；
（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；
（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．
27．如图，直线
11 2
y x b
=-+分别与x轴、y轴交于A，B两点，与直线
26
y kx
=-交于点()
C4,2．
（1）b= ；k= ；点B坐标为；
（2）在线段AB上有一动点E，过点E作y轴的平行线交直线y2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P，Q，A，
B 四个点能构成一个菱形．若存在，直接写出所有符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说
明理由．
28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若1,(2),(2)b a b b a -≥⎧=<⎩
'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是
(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点(3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标
b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
29．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B
b 满足
|21|280a b a b --++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；
（3）平移线段AB到CD，若点C、D也在坐标轴上，如图2所示．P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），连接OP、PE平分OPB
∠，2
BCE ECD
∠=∠．求证：3()
BCD CEP OPE
∠=∠-∠．
30．在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如图①．
（1）求证：∠ACN=∠AMC；
（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：1
2
S AC
S AB
=；
（3）延长线段AB到点P，使BP=BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN=CP始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
A中-2=2，不是互为相反数；
B382
-=-，不是相反数；
C中两数互为倒数；
D中两数互为相反数；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相反数的性质应用，准确分析是解题的关键．
2．A
解析：A
【解析】
由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】
设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．
则满足a2＋b2＝c2．
若各边都扩大k倍（k＞0），则三边分别为ak、bk、ck
（ak）2＋（bk）2＝k2（a2＋b2）＝（ck）2
∴三角形仍为直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】
根据题意得，1-x=0且x+2≠0，
解得x=1且x≠-2，
所以x=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、∵12+222，故A选项能构成直角三角形；
B、∵32+42＝52，故B选项能构成直角三角形；
C、∵32+62≠92，故C选项不能构成直角三角形；
D、∵72+（）22，故D选项能构成直角三角形．
故选：C．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可． 【详解】
解：在实数
2
、•0.3、227-
中，
2
是无理数； •
0.3循环小数，是有理数； 22
7
-
是分数，是有理数；
=2，是整数，是有理数；
所以无理数共1个． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的定义，属于基础题，要熟练掌握无理数的三种形式，难度一般．
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：∵43=64，∴64的立方根是4， 故选A 考点：立方根．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
联立两直线解析式，解方程组即可． 【详解】 联立34y x
y x -⎧⎨
-⎩
＝＝，
解得
1
1 x
y
⎧
⎨
-
⎩
＝
＝
，
所以，点P的坐标为（1，-1）．
故选B．
【点睛】
本题考查了两条直线的交点问题，通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标，需要熟练掌握．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵12+
）2=
）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义解答即可.
【详解】
A、（﹣3）2的平方根是±3，故该项错误；B
4，故该项错误；C、1的平方根是
±1，故该项错误；D、4的算术平方根是2，故该项正确.故选D.
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.
【详解】
∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴AE=CE ，
∴△ABE 的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC ∵ABC 的周长为24,ABE 的周长为14 ∴AB+BC=14 ∴AC=24-14=10 故选：A 【点睛】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
二、填空题 11．4 【解析】 【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值． 【详解】 方程变形得：， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-
解析：4 【解析】 【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值． 【详解】 方程变形得：
+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-2， ∵方程
122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2， 解得：a=4， 故答案为：4． 【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增
根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．5
【解析】
根据二次根式的性质知：5．
解析：5
【解析】
=5．
13．【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：把点P（2，
解析：【解析】
【分析】
把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，求得m＝3，n＝﹣2，解方程得到A
（6，0），B（0，﹣2），根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】
解：把点P（2，2）分别代入y＝﹣1
2
x+m和y＝2x+n，
得，m＝3，n＝﹣2，
∴直线l1：y＝﹣1
2
x+3，直线l2：y＝2x﹣2，
对于y＝﹣1
2
x+3，令y＝0，得，x＝6，
对于y＝2x﹣2，令x＝0，得，y＝﹣2，∴A（6，0），B（0，﹣2），
∵直线l1：y＝﹣1
2
x+3与y轴的交点为（0，3），
∴△PAB的面积＝1
2
×5×6﹣
1
2
×5×2＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了两直线相交与平行问题，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
14．【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
解：式子在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意
x>
解析：1
【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】
在实数范围内有意义的条件是：x-1＞0，
解得：x＞1．
x>．
故答案为：1
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
15．40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故
解析：40°或70°
【解析】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°-40°）÷2=70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．
故答案为：40°或70°．
点睛：此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
16．（2，-1）
【解析】
【分析】
关于轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
点关于轴对称的点的坐标是（2，-1）
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称.
解析：（2，-1）
【解析】
【分析】
关于x 轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
点(2,1)P 关于x 轴对称的点P'的坐标是（2，-1）
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称. 理解：关于x 轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
17．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
18．三
【解析】
【分析】
根据一次函数的解析式中的k、b的符号，确定函数图象的位置，即可确定其不经过的象限；
【详解】
解：在一次函数y=-3x+2中，
∵b=2＞0，
∴函数图象经过y轴的正半轴，
解析：三
【解析】
【分析】
根据一次函数的解析式中的k、b的符号，确定函数图象的位置，即可确定其不经过的象限；
【详解】
解：在一次函数y=-3x+2中，
∵b=2＞0，
∴函数图象经过y轴的正半轴，
k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限．
故答案为：三.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质. 解题时可根据解析式中的k、b的值的正负作出草图，从而很容易判断函数经过（或不经过）那一象限.
19．65°或25°
【解析】
【分析】
分两种情况：①当为锐角三角形；②当为钝角三角形．然后先在直角△ABD中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度
解析：65°或25°
【解析】
【分析】
分两种情况：①当ABC为锐角三角形；②当ABC为钝角三角形．然后先在直角
△ABD中，利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理求得∠C的度数．
【详解】
解：①当ABC为锐角三角形时：∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠C=1
2
（180°-50°）=65°；
②当ABC为钝角三角形时：∠BAC=90°+40°=130°，
∴∠C=1
2
（180°-130°）=25°；
故答案为：65°或25°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
20．k＝±1．
【解析】
【分析】
根据一次函数y=kx+4(k≠0)图象一定过点(0，4)，点A(3，0)、B(4，1)到一次函数y=kx+4(k≠0)图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，①当
解析：k＝±1．
【解析】
【分析】
根据一次函数y=kx+4(k≠0)图象一定过点(0，4)，点A(3，0)、B(4，1)到一次函数
y=kx+4(k≠0)图象的距离相等，可分为两种情况进行解答，即，①当直线y=kx+4(k≠0)与直线AB平行时，②当直线y=kx+4(k≠0)与直线AB不平行时分别进行解答即可．
【详解】
一次函数y=kx+4(k≠0)图象一定过(0，4)点，
①当直线y=kx+4(k≠0)与直线AB平行时，如图1，
设直线AB 的关系式为y =kx +b ，
把A (3，0)，B (4，1)代入得，
3041
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，k =1，b =﹣3， ∴一次函数y =kx +4(k ≠0)中的k =1；
②当直线y =kx +4(k ≠0)与直线AB 不平行时，如图2，
根据题意，直线y =kx +4(k ≠0)垂直平分线段AB ，此时一定经过点C ，
∴点C 的坐标为(4，0)，代入得，
4k +4=0，解得，k =﹣1，
因此，k =1或k =﹣1．
故答案为：k =±1．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，掌握两条平行直线的k 值相等和一次函数的图象和性质是解决问题的关键．
三、解答题
21．(1)3；(2)3x =或1x =-.
【解析】
【分析】
（1）根据实数的运算法则将每一项进行化简然后计算求解即可.
（2）根据一元二次方程的解法步骤，将12移到等号右边，然后进行开平方运算求出方程的解即可.
【详解】
解：(1)01)
原式21=+
3=
(2)解方程：23(1)120x --=
2(1)4x -=
12x -=±
3x =或1x =-
【点睛】
本题考查了实数的运算和一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则，掌握一元二次方程的解法步骤，在选择解法时要注意灵活选择合适的方法.
22．（1）见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用已知数据求出即可；
（2）利用数字之间的变化规律得出一般式，进而验证即可．
【详解】
（1）例如11×17-10×18=7；3×9-2×10=7；
（2）设最小的一个数为x ，其他三个分别为x+1，x+7，x+8，则:
（x+1）（x+7）-x （x+8），
=x 2+8x+7-x 2-8x ，
=7．
【点睛】
此题考查了数字的变化规律，整式的混合运算，由特殊到一般，利用日历表中数字的特点得出一般性结论解决问题．
23．（1）7，1.4，2.1；（2）y 1=2.1x ﹣0.3；图象见解析；（3）函数y 1与y 2的图象存在交点（
317，9）；其意义为当 x <317时是方案调价前合算，当x >317
时方案调价后合算． 【解析】
【分析】 （1）a 由图可直接得出；b 、c 根据：运价÷路程=单价，代入数值，求出即可；
（2）当x ＞3时，y 1与x 的关系，由两部分组成，第一部分为起步价6，第二部分为（x ﹣3）×2.1，所以，两部分相加，就可得到函数式，并可画出图象；
（3）当y 1=y 2时，交点存在，求出x 的值，再代入其中一个式子中，就能得到y 值；y 值的意义就是指运价.
【详解】
①由图可知，a=7元，
b=（11.2﹣7）÷（6﹣3）=1.4元，
c=（13.3﹣11.2）÷（7﹣6）=2.1元，
故答案为7，1.4，2.1；
②由图得，当x＞3时，y1与x的关系式是：
y1=6+（x﹣3）×2.1，
整理得，y1=2.1x﹣0.3，
函数图象如图所示：
③由图得，当3＜x＜6时，y2与x的关系式是：y2=7+（x﹣3）×1.4，
整理得，y2=1.4x+2.8；
所以，当y1=y2时，交点存在，
即，2.1x﹣0.3=1.4x+2.8，
解得，x=31
7
，y=9；
所以，函数y1与y2的图象存在交点（31
7
，9）；
其意义为当 x<31
7
时是方案调价前合算，当 x>
31
7
时方案调价后合算．
【点睛】
本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意中的等量关系建立函数关系式，根据函数解析式求得对应的x的值，根据解析式作出函数图象，运用数形结合思想等，熟练运用相关知识是解题的关键．
24．
4 9
【解析】
【分析】
原式利用零指数幂法则，平方根、立方根定义计算即可求出值．【详解】
解：原式＝1+2﹣4
9
+（﹣3）
＝﹣4
9
．
【点睛】
本题考查了实数的运算，涉及到了零指数幂、平方根、立方根定义，熟练掌握法则是解题
的关键
25．作图见解析.
【解析】
【分析】
先连接MN ，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN 的垂直平分线DE ，再作出∠AOB 的平分线OF ，DE 与OF 相交于C 点，则点C 即为所求． 【详解】
点C 为线段MN 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点，则点C 到点M 、N 的距离相等，到AO 、BO 的距离也相等，作图如下：
．
【点睛】
此题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
四、压轴题
26．（1）56°；（2）y=454x +
；（3）36°或1807
°. 【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454
x +
解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，
∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠BDC=90°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=34°，
∴∠BPD =90-34=56°；
（2）∵∠A =x °，
∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902x -
）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454
x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -
）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454
x +
； （3）①若EP=EC ，
则∠ECP=∠EPC=y ， 而∠ABC=∠ACB=902
x -
，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454
x +， ∴902x -+902x --（454
x +）=90°， 解得：x=36°；
②若PC=PE ，
则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902
y -， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454x +， 解得：x=
1807
°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454
x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或
1807
°. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.
27．（1）4；2；(0，4)；（2）125m =或285
m =；（3）存在．Q 点坐标为()
-，()
4，()0,4-或()5,4． 【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，将点C (4，2)代入解析式可求解；
（2）设点E (m ，142
m +)，F (m ，2m -6)，得()154261022EF m m m =-+--=-，由平行四边形的性质可得BO =EF =4，列出方程即可求解；
（3）分两种情况讨论，由菱形的性质按照点平移的坐标规律，先确定P 点坐标，再确定O 点坐标即可求解．
【详解】
解：（1）（1）∵直线y 2=kx -6交于点C (4，2)，
∴2=4k -6，
∴k =2， ∵直线212y x b =-
+过点C (4，2)， ∴2=-2+b ，
∴b =4， ∴直线解析式为：212y x b =-
+，直线解析式为y 2=2x -6， ∵直线212
y x b =-+分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点， ∴当x =0时，y =4，当y =0时，x =8，
∴点B (0，4)，点A (8，0)，
故答案为：4；2；(0，4)
（2）∵点E 在线段AB 上，点E 的横坐标为m ， ∴1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，(),26F m m -， ∴()154261022
EF m m m =-+--=-． ∵四边形OBEF 是平行四边形，
∴EF BO =， ∴51042
m -=， 解得：125m =或285
m =时，
∴当125m =或285m =时，四边形OBEF 是平行四边形． （3）存在．此时Q 点坐标为()45,4-，()
45,4，()0,4-或()5,4．
理由如下：假设存在．以P ，Q ，A ，B 为顶点的菱形分两种情况：
①以AB 为边，如图1所示．
因为点()8,0A ，()0,4B ，
所以45AB =．
因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以AP AB =或BP BA =．
当AP AB =时，点()845,0P -或()
845,0+；
当BP BA =时，点()8,0P -． 当(
)845,0P -时，()8458,04Q --+，即()45,4-； 当()845,0P +时，()8458,04Q +-+，即()
45,4； 当()8,0P -时，()880,004Q -+-+-，即()0,4-．
②以AB 为对角线，对角线的交点为M ，如图2所示．
可得5AP =，
点P 坐标为()3,0．
因为以P ，Q ，A ，B 为顶点的四边形为菱形，
所以点Q 坐标为()5,4．
综上可知：若点P 为x 轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q ，使得P ，Q ，
A ，
B 四个点能构成一个菱形，此时Q
点坐标为()-
，()
4，()0,4-或()5,4．
【点睛】
本题是一次函数综合题，利用待定系数法求解析式，平行四边形的性质，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．（1
）①
)；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】
【分析】
（1）利用限变点的定义直接解答即可；
（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；
（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；
（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．
【详解】
解：（1
）①∵2a =， ∴11b b ==-='，
∴坐标为：)
，
故答案为：)； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，
， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，
∵()2,2满足2y =，
∴这个点是B ，
故答案为：B ；
（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，
∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，
∵点D 的坐标为(2,2)-，
∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，
∴点P 满足的关系式为：()()00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩
， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：
当2x ≥时：1b x '=--，
当02x <<时：b x x '=-=，
当0x ≤时，b x x '==-，
图像如下：
通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，
当2x <时，0b '≥，∴0m =，
∴()033s m n =-=--=；
（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，
，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩
，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，，
∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x b x x x -⎧'=⎨-=--<⎩
， 图象如下：
当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，
当b '＝5时，
x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，
当b ′＝1时，
x ﹣4＝1，解得：x ＝5，
∵ 25b '-≤≤，
∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．
29．（1）A ，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；（2）点D 的坐标是141,3⎛⎫- ⎪⎝
⎭；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据非负数的性质得出二元一次方程组，求解即可；
（2）过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，根据三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积）列出方程，求解得出点C 的坐标，由平移的规律可得点D 的坐标；
（3）过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，根据两直线平行，内错角相等与已知条件得出3BCD CEF ∠=∠，同样可证OGP OPE ∠=∠，由平移的性质与平行公理的推论可得FEP OGP ∠=∠，最后根据
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，通过等量代换进行证明．
【详解】
解：（1）210a b --=，
又∵|21|0a b --≥0， |21|0a b ∴--=
0=，即210280a b a b --=⎧⎨+-=⎩
， 解方程组2128a b a b -=⎧⎨+=⎩得23
a b =⎧⎨=⎩， A ∴，B 两点的坐标分别为()0,2，()3,0；
（2）如图，过点B 作y 轴的平行线分别与过点A ，C 作x 轴的平行线交于点N ，点M ，过点C 作y 轴的平行线与过点A 作x 轴的平行线交于点T ，
∴三角形ABC 的面积=长方形CMNT 的面积-（三角形ANB 的面积+三角形ATC 的面积+三角形CMB 的面积），
根据题意得，1
1195(2||)232(2||)5||222t t t ⎡⎤=⨯+-⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⎢⎥⎣⎦
，
化简，得3||42
t =， 解得，83
t =±
， 依题意得，0t <， 83t ∴=-，即点C 的坐标为82,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭， ∴依题意可知，点C 的坐标是由点A 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143个单位长度得到的，从而可知，点D 的坐标是由点B 的坐标先向左平移2个单位长度，再向下平移143
个单位长度得到的， ∴点D 的坐标是141,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
；
（3）证明：过点E 作//EF CD ，交y 轴于点F ，如图所示，
则ECD CEF ∠=∠，
2BCE ECD ∠=∠，
33BCD ECD CEF ∴∠=∠=∠，
过点O 作//OG AB ，交PE 于点G ，如图所示，
则OGP BPE ∠=∠，
PE 平分OPB ∠，
OPE BPE ∴∠=∠，
OGP OPE ∴∠=∠，
由平移得//CD AB ，
//OG FE ∴，
FEP OGP ∴∠=∠，
FEP OPE ∴∠=∠，
CEP CEF FEP ∠=∠+∠，
CEP CEF OPE ∴∠=∠+∠，
CEF CEP OPE ∴∠=∠-∠，
3()BCD CEP OPE ∴∠=∠-∠．
【点睛】
本题综合性较强，考查非负数的性质，解二元一次方程组，平行线的性质，平移的性质，坐标与图形的性质，第（3）题巧作辅助线构造平行线是解题的关键．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于
E ，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，
∴△NEC ≌△CDM （AAS ），
∴NE=CD ，CE=DM ；
∵S 112=AC•NE ，S 212
=AB•CD ， ∴12S AC S AB
=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，
理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，
由（2）可得NE=CD，CE=DM．
∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，
∴AE=BD+BP=DP．
∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，
∴△NEA≌△CDP（SAS），
∴AN=PC．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。