四川省雅安市2018届高三下学期三诊考试数学(理)试卷(含答案)

2018届四川省雅安市高三下学期三诊
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数z 满足(34)1z i ⋅-=，则z 的虚数是（ ） A ．425-
B ．425i -
C ．
425
D ．425i 2.已知集合{}
12A x x =-<<，{
}
22B x y x x ==
--，则A B =I （ ）
A ．{}
10x x -<< B ．{}10x x -<≤ C ．{}02x x << D ．{}
02x x ≤< 3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12
=
（弦×矢+矢2
）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23
π
，半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（ ）
A ．6平方米
B ．9平方米
C ．12平方米
D ．15平方米
4.若实数x ，y 满足360
200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
5.已知1
(2)n x x 展开式的各个二项式系数的和为128，则1(2)n x x
的展开式中2x 的系数（ ） A ．448 B ．560 C ．7 D ．35
6.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7.已知函数3
()7sin f x x x x =--+，若2
()(2)0f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,3)-∞ C ．(1,2)- D ．(2,1)- 8.执行如图的程序框图，如果输入8p =，则输出的S =（ ）
A ．
63
64
B ．12764
C ．127128
D ．255128
9.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B
为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ）
A 2
B 3．2 D 510.已知A 、B 、
C 是球O 的球面上三点，2AB =，23AC =60ABC ∠=o
，且棱锥O ABC
-的体积为
46
3
，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．24π C ．36π D ．48π
11.已知函数2()22x x
f x xe kx e kx =--+只有一个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．[0,]e C ．(,)e -∞ D ．[0,)e
12.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，
BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若
AP ED AF λμ=+u u u r u u u r u u u r
，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）
A ．[2,1]
B ．[2,2]-
C ．11[,]22-
D ．22[,]22
-
二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.函数()3)3f x x π
=+
的图象在区间(0,)2
π
上的对称轴方程为 ． 14.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，满足：100010182a a π+=，620122b b =，则
22016
32015
tan
1a a b b +=+ ．
15.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为$0.70.35y x =+，则表中空格处y 的值为 ．
x
3 4 5 6
y
2.5 3
4
16.已知F 是抛物线2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r
（其中
O 为坐标原点）
，则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知函数()2
72cos sin 216f x x x π⎛⎫
=+--
⎪⎝⎭
()x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；
（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1
2
f A =
，若2b c a +=，且6AB AC ⋅=u u u r u u u r
，求a 的值.
18.某校初一年级全年级共有500名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为8.3万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级500人中抽出20人来作进一步调查.
（1）从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；
（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的20人中挑选出阅读量低于5万字和高于
11万字的同学，再从中随机选出3人来长期跟踪调查，求这3人中来自阅读量为11万到13万字的人
数的概率分布列和期望值.
19.如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，M 为SD 的中点，底面ABCD 为直角梯形，
AB AD ⊥，//AB CD ，且222CD AB AD ===.
（1）求证：//AM 平面SBC ，平面SBC ⊥平面SDB ；
（2）若SB 与平面SDC 所成角的正弦值为
3
，求二面角A SB C --的余弦值. 20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>过点(0,2)，且离心率为2
2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4
G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.
21.已知函数()1ax
f x e ax =--.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数(2)n n ≥.若2(1)
(!)
n n n m -<恒成立，求m 的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)2，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x t
y t
=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.
（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程； （2）点P 的极坐标为1,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()22f x x a x =++-（其中a R ∈）. （1）当1a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；
（2）若关于x 的不等式2
()32f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.
雅安市高中2015级第三次诊断性考试
数学试题(理科)参考答案
一、选择题
1-5: CBBCA 6-10: BDCDA 11、12：DA
二、填空题
13. 12
x π
=
14. 15. 4.5 16. 3 三、解答题
17. 解答：
2711()sin(
2)2sin 1cos 22cos 2cos 22622f x x x x x x x x π=--+=-++=+sin(2)6
x π
=+. （Ⅰ）最小正周期：22
T π
π==， 由222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈可解得：()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36
k k k Z π
π
ππ-+∈; （Ⅱ）由1()sin(2)6
2f A A π
=+=
可得：5222()666
A k k k Z πππππ+=++∈或 而()0,A π∈所以3
A π
=，
又因为2a b c =+，
而1
cos 6,122
AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u v u u u v ，
22222
1()4
cos 11122248
b c a a a a A bc +--∴==-=-=-，a ∴=18. 解答：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为x ，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为y 则： 40.168100.25120.158.3
0.10.250.151
x y x y ⨯+++⨯+⨯=⎧⎨
++++=⎩，
可得0.2,0.3x y ∴==，
∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.
1122261426222
20299190C C A C A P C A +∴==或
2214222202991190C A P C A =-=
或1122614262
2099
190
C C A A P A +∴==或
21422099
1190
A P A =-=
， ∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率
为
99
190
. (2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量ξ 由题意知随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3
1221332323333
555361
(1),(2),(3)101010
C C C C C P P P C C C ξξξ∴========= 故ξ的分布列为
123 1.8101010
E ξ∴=
⨯+⨯+⨯=， ∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为1.8.
19．（1）证明：
设SC 中点是E ，连接,BE ME 则1
2
ME //
DC ， 1
2
AB//
DC Q ， ABEM Q 为平行四边形，
//AM EB Q ，
EB ⊂Q 平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，
//AM ∴平面SBC ，
ABCD Q 为直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，且222===AD AB CD ，
2DB BC ∴==，
DB BC ∴⊥， Q ⊥SD 底面ABCD ，
SD BC ∴⊥， SD DB D =Q I ，
BC ∴⊥底面SBD ， Q BC ⊂底面SBC ，
∴平面SBC ⊥平面SDB .
（2）SB Q 与平面SDC 3 1SD ∴=，
建立如图所示的空间直角坐标系
(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0)S ∴ ∴平面SAB 的法向量1(1,0,1)n =u r
，
平面SBC 的法向量2(1,1,2)n =u u r
，
223
cos ,n n ∴<>=u u r u u r ∴二面角C SB A --的余弦值为32
-.
20.解答：（1）Q 椭圆E ：2
2221(a 0)x y b a b +=>>过点2），且离心率为22
∴ 2222
22b c e a a b c ⎧=⎪
⎪
==⎨⎪
⎪=+⎩
，
即2
2
2
4,2a b c ===，
∴椭圆E 的方程22
142
x y +=.
(Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9(4
-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，
当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，点1122(y ),B(,y ),A x x AB 中点为00H(,y )x ．
由221142
x my x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩得22(2)230m y my +--=，
所以1212
2223
y +y =,y y =m 2m 2
m ++， 从而02
2
y m 2
=
+. 所以2
22222200000095525()y (my )y (m +1)y +my +44216
GH x =++=++=.
2222
2121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y -+--== 22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4
y y y +-==-，
故22222
2012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y +-=++=-+=>+++， 所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)当l 的斜率为0时，显然G 9
(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的外面，
当l 的斜率不为0时，设l 的方程为：1x my =-，设点1122(,),(,)A x y B x y ， 则112299(,),G (,)44
GA x y B x y u u u r u u u r =+=+， 由221142
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230m y my +--=， 12122223y +y =,y y =m 2m 2
m ∴++. 1212121222121229999G ()()=(m )(m )4444525172(m 1)()041616(m 2)
GA B x x y y y y y y m y y y y ∴•=+++++++=++++=>+u u u r u u u r 0cos ,G GA B >>∴<u u u r u u u r ，
又
,G GA B Q u u u r u u u r 不共线，所以AGB ∠为锐角， 故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．
21．解：（1）
=a -a=a( ， 当a>0时，令>0，解得x>0
f （x ）在(0，)上单调递增， 当a=0时，显然无单调区间，
当a<0时，令>0，解得x>0f （x ）在(0，)上单调递增，
综上：当a=0时，无单调区间，a
时，减区间为，增区间为(0，) . （2）令a=1，由（1）可知f （x ）的最小值为f(0)=0，
f （x ），
(当0x =时取得“=”)，
令x=n-1， 1n e n ->>，
所以0121n e e e e -⨯⨯⋅⋅⋅⨯>123n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 所以(n 1)2!n e n ->， 两边进行2(1)n n -次方得2(1)(!)n n n e -<， 所以m 的最小值为3.
选考题：
22、解：圆的直角坐标方程为，
代入圆
得：， 化简得圆的极坐标方程：
， 由:1x t l y t =-⎧⎨=+⎩
得， l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即1
2sin()4ρπθ=+.
（2）由(1,)2P π
得点P 的直角坐标为(1,0)P ，
直线的参数的标准方程可写成22212
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），
代入圆得：2222(2)(1)2t t --++=， 化简得：
， ，
.
23解:
解：（1）当1a =-时，函数()212f x x x =-+-，
则不等式为2126x x -+-≥，
① 2x ≥时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：3x ≥；
②当
122
x ≤<时，原不等式为2126x x -+-≥，解得：5x ≥.此时不等式无解； ③当12x <时，原不等式为1226x x -+-≥，解得：1x ≤-， 原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.
方法二：当1a =-时，函数()212f x x x =-+-33,211,22133,x 2
x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=+≤<⎨⎪⎪-+<⎪⎩，画出函数()f x 的图象，如图：
结合图象可得原不等式的解集为{|13}x x x ≤-≥或.
（2）不等式2()32f x a x ≥--即为22x a x ++-2
32a x ≥--， 即关于x 的不等式22223x a x a ++-≥恒成立.
而222x a x ++-224x a x =++-(2)(24)x a x ≥+--4a =+， 所以243a a +≥，
解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413
a -≤≤
或a φ∈. 所以a 的取值范围是4[1,]3-.。