苏教版九年级上册数学 期末试卷测试卷(含答案解析)

苏教版九年级上册数学 期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．如图，OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ，D 是优弧BC 上一点，如果∠AOB ＝58º，那么∠ADC 的度数为（ ）
A ．32º
B ．29º
C ．58º
D ．116º
2．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围
是（ ） A ．k ＞﹣1
B ．k ＜1且k≠0
C ．k≥﹣1且k≠0
D ．k ＞﹣1且k≠0
3．对于二次函数2
610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ） A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线. B ．其最小值为1. C ．其图象与x 轴没有交点.
D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.
4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，
4
3
=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）
A ．3或4
B ．83
或4
C ．83
或6
D ．4或6
5．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位
6．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法判断
8．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
9．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹
92
80
90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A ．86 B ．87
C ．88
D ．89
10．如图，
O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直
线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．2
11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
12．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区
域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
二、填空题
13．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．
14．数据2，3，5，5，4的众数是____． 15．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
16．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．
17．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝2cm ，b ＝8cm ，则线段c ＝_____cm ．
18．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．
19．2，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____． 20．二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)
21．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S 甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S 乙2＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．
22．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．
23．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．
24．若关于x 的一元二次方程22
(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.
三、解答题
25．如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.
（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的O 交AQ 于点E .
①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______； ②若3BE BQ ==，求BP 的长； （2）已知3AP =，1BQ =，
O 是以PQ 为弦的圆.
①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径：
②若
O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个
动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA＋1
4
PB的最小值为_____．
27．某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
表中数据a＝，b＝，c＝．
（2）请用所学的统计知识，从两个角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
28．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等
．．．),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
理解：
（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点 D ,使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，80,140ABC ADC ︒︒
∠=∠=，对角线BD 平分∠ABC .
求证: BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：
（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30.连接EG ,若△EFG 的面积为43，求FH 的长.
29．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得
AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．
30．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为A （6,4），B （4,0），C （2,0）.
（1）在y 轴左侧，以O 为位似中心，画出111A B C ∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2； （2）根据（1）的作图，111tan A B C ∠= .
31．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9 8 8 7 乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
32．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数
y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．
()1求一次函数y kx b =+的表达式；
()2若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为
多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
根据垂径定理可得AB AC =，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ADC ，进而可得答案． 【详解】
解：∵OA 是⊙O 的半径，弦BC ⊥OA ， ∴AB AC =， ∴∠ADC=1
2
∠AOB=29°. 故选B. 【点睛】
此题主要考查了圆周角定理和垂径定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．D
解析：D 【解析】
∵一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4+4k ＞0，且k≠0． 解得：k ＞﹣1且k≠0．故选D ．
考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案. 【详解】
解：()2
261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；
A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；
B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；
C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；
D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
4．D
解析：D 【解析】
分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC
AC CB
=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =
，165BH k =，则16
85
CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10， CAN CAB ∴∠≠∠，
设3CN k =，4BM k =，
①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN AC
AC CB =， ∴
3668k =， 32
k ∴=
， 6BM ∴=．
②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，
∴BM MH BH
BA AC BC ==， ∴
41068
k MH BH ==， 125MH k ∴=
，16
5BH k =， 16
85
CH k ∴=-
， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒， ACN CHM ∴∆∆∽，
∴
CN MH
AC CH
=，
∴
12
35
16
68
5
k
k
k
=
-
，1
k
∴=，
4
BM
∴=．
综上所述，4
BM=或6．
故选：D．
【点睛】
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
5．D
解析：D
【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；
C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∵OB＝OC，BC＝8，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝8．
故选：C.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等
边三角形是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．
【详解】
∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵圆心O到直线l的距离是2，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为
CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证
CPE∽DQE，可得CP DQ
=
PE EQ
，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE
的长度可得．
【详解】
解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，
∴OCP和ODQ为直角三角形，
根据勾股定理：，，且OQ=6，
∴PQ=OP+OQ=14，
又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，
∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，
∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，
∴CPE∽DQE，故CP DQ
=
PE EQ
，
设PE=x，则EQ=14-x，
∴68=x 14-x
，解得x=6， ∴OE=OP-PE=8-6=2，
故选：C ．
【点睛】 本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE 与DQE 相似，并得出线段的比例关系．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】
根据题意得：
92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则
60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302
APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．
【详解】
解：连接OA 、OB ，如图1，
2OA OB ==，2AB =， OAB ∴为等边三角形， 60AOB ∴∠=︒，
1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒
90ACP ∴∠=︒
2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，
作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，
90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，
当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，
CD AB ∴⊥，1CD =，
12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112
=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接OA ，由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°，根据切线定理可得∠OAP ＝90°，继而推出∠P ＝90°﹣50°＝40°．
【详解】
连接OA ，
由圆周角定理得，∠AOP ＝2∠B ＝50°，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠OAP ＝90°，
∴∠P ＝90°﹣50°＝40°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP 的度数．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】
解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
二、填空题
13．－1＜x ＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，
故答案为：－1＜x ＜3.
【点睛
解析：－1＜x＜3
【解析】
【分析】
根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
14．5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案
解析：5
【解析】
【分析】
由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】
解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
15．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵， ∴∠BOC=90°， ∵的长是，
∴，
解得：
解析：52
【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
16．【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【详解】
二月份的产量为：，
三月份的产量为：.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟
解析：2500(1)720x +=
【解析】
【分析】
根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2
500(1)720x +=.
【详解】
二月份的产量为：500(1)x +，
三月份的产量为：2500(1)720x +=.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 17．4
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】
∵线段c 是a 、b 的比例中项，线段a ＝2cm ，b ＝8cm ，
∴＝，
∴c2＝ab ＝2×8＝16，
∴c1＝4，c2＝﹣4（舍
解析：4
【解析】
【分析】
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【详解】
∵线段c 是a 、b 的比例中项，线段a ＝2cm ，b ＝8cm ， ∴a c ＝c b
， ∴c 2＝ab ＝2×8＝16，
∴c 1＝4，c 2＝﹣4（舍去），
∴线段c ＝4cm ．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．
18．18＜x ＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19
解析：18＜x＜6.19
【解析】
【分析】
根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【详解】
由表格数据可得，当x＝6.18时，y＝﹣0.01，当x＝6.19时，y＝0.02，
∴当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为6.18＜x＜6.19，
故答案为：6.18＜x＜6.19．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
19．【解析】
分析：
由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机
解析：3 5
【解析】
分析：
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，
∴抽到有理数的概率是：3
5．
故答案为3
5
．
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”
并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.
20．>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数的图像开口方向向上，
所以有>0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案．
【详解】
解：因为二次函数2
y ax bx c =++的图像开口方向向上，
所以有a >0.
故填>.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0． 21．乙
【解析】
【分析】
根据方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】
解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S 甲2 ＞S 乙2，
所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．
故答案为：乙．
【
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】
解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S 甲2 ＞S 乙2， 所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．
22．10
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则OA
解析：
【解析】
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO
=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键．
23．【解析】
【分析】
设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF 的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，
解析：25 4
【解析】
【分析】
设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．
【详解】
解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
而∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴AB
EC
＝
BE
CF
，
∴
5
5x
-
＝
x
y
，
∴y＝﹣1
5
x2+x＝﹣
1
5
（x﹣
5
2
）2+
5
4
，
∵﹣1
5
＜0，
∴x＝5
2
时，y有最大值
5
4
，
∴CF的最大值为5
4
，
∴DF的最小值为5﹣5
4
＝
15
4
，
∴AF的最小值＝22
AD DF
+＝
2
2
15
5
4
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝
25
4
，
故答案为25
4
．
【点睛】
本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值．
24．0 【解析】
把x ＝1代入方程得，， 即， 解得.
此方程为一元二次方程， ， 即，
故答案为0.
解析：0 【解析】
把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=， 即20k k -=， 解得120,1k k ==. 此方程为一元二次方程，
10k ∴-≠，
即1k ≠，
0.k ∴=
故答案为0.
三、解答题
25．（1）①2QPB AQP ∠=∠；②1.5；（2）①5；②53、2553
，35630、5. 【解析】 【分析】
（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ 为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ ∽△QBA ，由对应边成比例求解； （2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分O 与矩形ABCD 的四边分别相切，画
出图形，利用切线性质，由勾股定理列方程求解. 【详解】
解：（1）①如图，PQ 是直径，E 在圆上， ∴∠PEQ=90°， ∴PE ⊥AQ, ∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,
∵∠QPB=2∠AQP.
\
②解：如图，∵BE=BQ=3，
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ∽△QBA,
∴BP BQ BQ BA
,
∴
3 36 BP
,
∴BP=1.5;
（2）①如图， BP=3，BQ=1，设半径OP=r,
在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2∴32+(r-1)2=r2，
∴r=5,
∴O的半径是5.
②如图，O与矩形ABCD的一边相切有
4种情况，
如图1，当O与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，
设OP=OQ=r,则PK=3x,
由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,
解得，r=5 3 ,
∴O半径为5 3 .
如图2，当O与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，
设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,
由勾股定理得，
222
222
3
331
x x y
x x y
，
解得
1
25 2
x（舍去），
2
25 2
x，
∴ON=
25 5,
∴O半径为
25 5.
如图3，当O与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作
OH⊥BC于H，
设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，
由勾股定理得，
222
222
3
331
y x y
y x y
，
解得
163032
x（舍去），
263032
x，
∴OM=35630,
∴O半径为35630.
如图4，当O与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，
设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得，x=1,
∴OP=5,
∴O 半径为5.
综上所述，若O与矩形ABCD的一边相切，为O的半径5
3
，
25
5
3
，
35630，5.
【点睛】
本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.
26．
2
【解析】
【分析】
连接PC,则PC=1
2
DE=2, 在CB上截取CM=0.25,得出△CPM∽△CBP，即可得出结果.
【详解】
解:连接PC,则PC=1
2
DE=2,
∴P在以C为圆心，2为半径的圆弧上运动,在CB上截取CM=0.25,连接MP,
∴
0.25121
,
2444 CM CP
CP CB
====,
∴CM CP CP CB
=,
∵∠MCP=∠PCB, ∴△CPM∽△CBP,
∴PM=14
PB, ∴PA+
1
4
PB=PA+PM, ∴当P 、M 、A 共线时，PA+
14PB 最小，即221450.25+6=.
【点睛】
本题考查了最短路径问题，相似三角形的判定与性质，正确做出辅助线是解题的关键. 27．解：（1）a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；（2）①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定． 【解析】 【分析】
（1）根据表中数据和中位数的定义、平均数和方差公式进行计算可求出表中数据； （2）从不同角度评价，标准不同，会得到不同的结果． 【详解】
解：（1）由表可知，一班135出现次数最多，为5次，故众数为135；
由于表中数据为从小到大依次排列，所以处于中间位置的数为134和135，中位数为
134135
2
+=134.5； 根据方差公式:
s 2=
()()()()()22222
11321351341355135135213613513713510⎡⎤-+-+-+-+-⎣
⎦=1.6，
∴a ＝135，b ＝134.5，c ＝1.6；
（2）①从众数看，一班一分钟跳绳135的人数最多，二班一分钟跳绳134的人数最多；所以一班的成绩好于二班；②从中位数看，一班一分钟跳绳135以上的人数比二班多；③从方差看，S 2一＜S 2二；一班成绩波动小，比较稳定；④从最好成绩看，二班速度最快的选手比一班多一人；⑤一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当. 【点睛】
此题是一道实际问题，不仅考查了统计平均数、中位数、众数和方差的定义，更考查了同学们应用知识解决问题的发散思维能力．
28
．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置.
（2）通过导出对应角相等证出ABD
∆∽DBC
∆，根据四边形ABCD的“相似对角线”的定义即可得出BD是四边形ABCD 的“相似对角线”.
（3）根据四边形“相似对角线”的定义，得出FEH
∆∽FHG
∆，利用对应边成比例，结合三角形面积公式即可求.
【详解】
解：（1）如图1所示.
（2）证明：
80
ABC BD
，
︒
∠=平分ABC
∠,
40,
140
ABD DBC
A ADB
︒
︒
∴∠=∠=
∴∠+∠=
140,
140
ADC
BDC ADB
A BDC
，
︒
︒
∠=
∴∠+∠
∠=∠
∴
=
ABD
∴∆∽DBC
∆
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”.
(3)FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
三角形EFH与三角形HFG相似.
又EFH HFG
∠=∠
FEH
∴∆∽FHG
∆
FE FH
FH FG
∴=
2
FH FE FG
∴=⋅
过点H作EQ FG
⊥垂足为Q
则
3
sin60
2
EQ FE FE
︒
=⨯=
1
432
134322
FG EQ FG FE ∴=∴=16FG FE ∴= 28FH FE FG ∴=⋅=
216FH FG FE ∴==
4FH = 【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用及解直角三角形，对于这种新定义阅读材料题目读,懂题意是解答此题的关键. 29．该段运河的河宽为303m ． 【解析】 【分析】
过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】
解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，
40HE CD m ∴==， 设CH DE xm ==，
在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，
3
3
BE xm ∴=
， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，
3AH xm ∴=，
由160AH HE EB AB m ++==，得到3
340160x x ++=， 解得：303x =，即303CH m =， 则该段运河的河宽为303m ．
【点睛】
考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 30．（1）见解析；（2）-2
【解析】 【分析】
（1）连接AO 并延长至1A ，使1AO 2AO =，同理作出点B ，C 的对应点，再顺次连接即可；
（2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】 （1）如图；
（2）根据题意可得出()13,2A --，()12,0B -，()11
,0C -， 设11A B 与x 轴的夹角为α，
∴()111tan tan 180αtan α2A BC ∠=-=-=-． 【点睛】
本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形，掌握位似图形的关于概念是解此题的关键． 31．（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析． 【解析】 【分析】
（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适． 【详解】
（1）甲的平均成绩是： （9+8+8+7）÷4＝8， 乙的平均成绩是： （10+6+7+9）÷4＝8， （2）甲的方差是：
()()()()2222
9-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣
⎦＝12，
乙的方差是：
()()()()2222
-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣
⎦10＝52．
所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下： 两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定， 故推荐甲参加省比赛更合适． 【点睛】
本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式． 32．（1）120y x =-+；（2）销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是
891元． 【解析】 【分析】
（1）根据题意将（65,55）,（75,45）代入解二元一次方程组即可；（2）表示出利润解析式,化成顶点式讨论即可解题. 【详解】
解：()1根据题意得6555
7545k b k b +=⎧⎨
+=⎩， 解得1120k b =-⎧⎨
=⎩
． 所求一次函数的表达式为y x 120=-+． （2）()()w x 60x 120=--+
2x 180x 7200=-+-
2(x 90)900=--+，
∵抛物线的开口向下，
∴当x 90<时，w 随x 的增大而增大， 又因为获利不得高于45%，60 1.4587⨯=， 所以60x 87≤≤，
∴当x 87=时，2w (8790)900891=--+=．
∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,表示出二次函数的解析式是解题关键.。