河北衡水武邑中学2024届高一上数学期末达标检测试题含解析

河北衡水武邑中学2024届高一上数学期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数()2,0,
2,0 2.x x x f x x +≤⎧=⎨<<⎩
以下关于()f x 的结论正确的是（）
A.若()2f x =，则0x =
B.()f x 的值域为(),4-∞
C.()f x 在(),2-∞上单调递增
D.()2f x <的解集为()0,1 2．设函数3
y x =与23x
y -=的图像的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
3．已知0x >，则下列说法正确的是（）
A.1
2x x +-有最大值0 B.1
2x x +
-有最小值为0 C.1
2x x
+-有最大值为－4
D.1
2x x
+-有最小值为－4
4．如果AB >0,BC >0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]
y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函
数()11
x x e f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()g x 的值域为（）
A.()1,1-
B.{}1,1-
C.{}1,0-
D.{}1,0,1- 6．已知，则的值为（ ）
A.3
B.6
C.9
D.
7．若集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3,4B =，则A B =（ ）
A.∅
B.{}1,0,3,4-
C.{}1,2
D.{}1,0,1,2,3,4-
8．下列说法中正确的是（） A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形
C.正三棱锥的所有棱长都相等
D.所有几何体的表面都能展开成平面图形
9．函数cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递减区间是（ ） A.()5,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
B.()511,1212k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
C.()27,36k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦
D.()2,63k k k ππ⎡
⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣⎦
Z 10．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升，小于0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）0.8毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） A.7 B.8 C.9
D.10
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,0,0,2
x R A π
ωϕ∈>><）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是
___________.
12．定义域为R ，值域为的一个减函数是___________.
13．在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=⋅，则C 等于______
14．直线230x y --=关于定点()21M -，对称的直线方程是_________
15．水葫芦又名凤眼莲，是一种原产于南美洲亚马逊河流域属于雨久花科，凤眼蓝属 的一种漂浮性水生植物，繁殖极快，广泛分布于世界各地，被列入世界百大外来入侵种之一．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m 2； ③野生水葫芦从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延至2m 2、3m 2、6m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度． 其中，正确的是________．(填序号)． 16．若
()log ()f x x 12
=
2+1，则()f x 的定义域为____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，某地一天从5～13时的温度变化近似满足()sin y A x b ωϕ=++
（1）求这一天5～13时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式
18．设全集为R ，集合{}|37A x x =≤<，{(2)(10)0}B x
x x =--<∣ （1）求A B ；
（2）求
()A B ⋃R
19．已知函数()2cos(2)4
f x x π
=+
，x ∈R
（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当3[,]84
x ππ
∈-
时，方程()f x k =恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； （3）将函数()2cos(2)4
f x x π
=+的图象向右平移(0)m m >个单位后所得函数()g x 的图象关于原点中心对称，求m 的
最小值
20．已知函数()43cos 2cos 2f x x x x =+ （1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若关于x 的方程()0f x m -=有解，求m 的取值范围
21．已知集合{
}
2
0A x x x =-≤，记函数2()1(0)f x ax a =->的定义域为集合B . （1）当a =1时，求A ∪B ；
（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B
【解题分析】
A 选项逐段代入求自变量的值可判断;
B 选项分别求各段函数的值域再求并集可判断;
C 选项取特值比较大小可判断不单调递增;
D 选项分别求各段范围下的不等式的解集求并集即可判断.
【题目详解】解:A 选项:当0x ≤时, 若()2f x =,则0x =;当02x <<时, 若()2f x =,则1x =,故A 错误; B 选项: 当0x ≤时, ()2f x ≤;当02x <<时,()14f x <<,故()f x 的值城为(),4-∞,B 正确; C 选项: 当0x =时, ()2f x =,当1x =时, ()2f x =,()f x 在(),2-∞上不单调递增,故C 错误; D 选项:当0x ≤时, 若()2f x <,则0x <;当02x <<时, 若()2f x <,则01x <<,故()2f x <的解集为
()0,1(),0⋃-∞,故D 错误;
故选:B. 2、B
【解题分析】根据零点所在区间的端点值的乘积小于零可得答案. 【题目详解】函数3
y x =与23x
y -=的图象的交点为()00,x y ，可得
设()3
23
x
f x x -=-,则0x 是()3
23
x
f x x -=-的零点，
由()()()090,11320,28170f f f =-<=-=-<=-=>，
()()1801
3273,464039
f f -=-=
=->， ∴()()120f f <， ∴0x 所在的区间是(1,2). 故选：B. 3、B
【解题分析】由均值不等式可得11
22x x x x
+
≥⨯=，分析即得解 【题目详解】由题意，0x >，由均值不等式 11
22x x x x +
≥⨯=，当且仅当1x x
=，即1x =时等号成立 故1
20x x
+
-≥，有最小值0 故选：B 4、B
【解题分析】斜率为
0A B >，截距0C
B
-<，故不过第二象限.
考点：直线方程. 5、C
【解题分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解 【题目详解】解：因为11x e +>， 所以2
021x
e <
<+， 所以12
()1(1,1)11x x
x
e f x e e -==-∈-++， 则()[()]g x f x =的值域{}0,1- 故选：C 6、A
【解题分析】直接由对数与指数的互化公式求解即可 【题目详解】解：由，得
，
故选：A 7、C 【解题分析】
根据交集直接计算即可.
【题目详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3,4B =， 所以{1,2}A B =，
故选：C 8、B
【解题分析】对于A 、B ：由棱柱的定义直接判断；
对于C ：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断； 对于D ：由球的表面不能展开成平面图形即可判断 【题目详解】对于A ：棱柱最少有5个面，则A 错误； 对于B ：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B 正确；
对于C ：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C 错误； 对于D ：球的表面不能展开成平面图形，则D 错误 故选：B 9、D
【解题分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的单调递减区间.
【题目详解】解不等式()2223
k x k k Z π
πππ≤-≤+∈，得()26
3
k x k k Z π
π
ππ+
≤≤+
∈， 因此，函数cos 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣⎦
Z . 故选：D.
【题目点拨】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 10、D
【解题分析】根据题意可得不等式()1110%0.2x
⨯-<，解不等式可求得15.2x >，由此可得结论. 【题目详解】假设经过(
)*
x x N
∈小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，
则()1110%0.2x
⨯-<，即0.90.2x <，lg 0.9lg 0.2x
∴<，
则1
lg
lg 0.2lg51lg 2
515.29lg 0.92lg3112lg3
lg 10
x -->
===≈--，min 16x ∴=， ∴次日上午最早10点，该驾驶员开车才不构成酒驾.
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、()2sin 6f x x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
【解题分析】由图可知2A =，15114632T =
-=，得2T =，从而ωπ=，所以()()2sin f x x πϕ=+，然后将1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入，得sin 13πϕ⎛⎫+=
⎪⎝⎭，又2πϕ<，得6πϕ=，因此，()2sin 6f x x ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，注意最后确定ϕ的值时，一定要
代入1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，而不是5,06⎛⎫
⎪⎝⎭
，否则会产生增根. 考点：三角函数的图象与性质. 12、
（答案不唯一）
【解题分析】利用基本初等函数的性质可知满足要求的函数可以是，其中.
【题目详解】因为
的定义域为R ，是增函数，且值域为
，
所以的定义域为R ，是减函数，且值域为， 则
的定义域为R ，是减函数，且值域为
， 所以定义域为R ，值域为的一个减函数是
.
故答案为：（答案不唯一）.
13、
3
π 【解题分析】由题；tan tan tan tan((+))=-tan(+)=1tan tan A B
C A B A B A B
π+=--⋅，
又tan tan 3tan tan 3A B A B +=⋅-，代入得：
3(tan ?tan 1)tan -tan(+)=
3,tan 3,1tan tan 3
A B C A B C C A B π
-==-==-⋅
考点：三角函数的公式变形能力及求值. 14、2110x y -+=
【解题分析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【题目详解】在直线上取点(3,0)P ，点P 关于()21M -，的对称点为'(7,2)P -
过P'与原直线平行的直线方程为2110x y -+=，即为对称后的直线 故答案为：2110x y -+= 15、①②④
【解题分析】设(0x y a a =>且1)a ≠，根据图像求出2x
y =，结合计算进而可判断①②③④； 根据第1到第3个月、第2到第4个月的面积即可求出对应的平均速度，进而判断⑤. 【题目详解】因为其关系为指数函数， 所以可设(0x y a a =>且1)a ≠，
又图像过点(416)，
，所以41622x a a y =⇒=⇒=. 所以指数函数的底数为2，故①正确； 当5t =时，523230s ==>，故②正确；
当y =4时，1422t
t =⇒=；
当y =12时，222122log 122log 3t
t =⇒==+；
所以212log 3 1.5t t -=≠，故③错误；
因为122321
log 3log 6t t t ===，，， 所以122231log 3log 6t t t +=+==，故④正确；
第1到第3个月之间的平均速度为：189
22+=， 第2到第4个月之间的平均速度为：416
102
+=， 9
102
≠，故⑤错误. 故答案为：①②④ 16、1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【解题分析】使表达式有意义，解不等式组即可.
【题目详解】由题12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得120211
x x ⎧>-⎪
⎨⎪<+<⎩，即1(,0)2x ∈-， 故答案为：1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. 【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）6摄氏度 （2）73sin 148
8y x π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
，[]5,13x ∈ 【解题分析】（1）根据图形即可得出答案；
（2）根据可得函数的最值，从而求得,A b ，图像为函数的半个周期，可求得ω，再利用待定系数法可求得ϕ，即可得解.
【小问1详解】
解：由图知，这段时间的最大温差是17116-=摄氏度； 【小问2详解】
解：由图可以看出，从5～13时的图象是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期的图象， 所以()1171132A =
-=，()1
1711142
b =+=，
因为
121352π
ω⨯=-，则8
πω=， 将3A =，14b =，8
π
ω=
，5x =，11y =代入()sin y A x b ωϕ=++，
得5sin 18πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
， 所以
532,Z 82k k ππϕπ+=+∈，可取78
πϕ=， 所以解析式为73sin 148
8y x π
π⎛⎫
=+
+
⎪⎝⎭
，[]5,13x ∈ 18、（1）{37}x x ≤<； （2）{2x x ≤或10}x ≥.
【解题分析】(1)根据给定条件利用交集的定义直接计算即可作答. (2)利用并集的定义求出A B ，再借助补集的定义直接求解作答.
【小问1详解】
因为{}|37A x x =≤<，{}{(2)(10)0}|210B x x x x x =--<=<<， 所以{|37}A
B x x =≤<.
【小问2详解】
因为{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<， 则{|210}A B x x ⋃=<<，而全集为R ， 所以
(){|2A B x x ⋃=≤R
或10}x ≥.
19、（1）37,88k k k Z ，ππππ⎛⎫
++∈
⎪⎝⎭
；（2）[)0,2；（3）min 38m π=
【解题分析】（1）由余弦函数的单调性，解不等式2ππ22π2π4
k x k π
+<+<+，k Z ∈，即可求出；（2）利用函数()
f x 的性质，结合()f x 在3,84ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
时的单调性与最值，可得实数k 的取值范围；（3）先求出()g x 的解析式，然后利用()g x 图象关于原点中心对称，()g x 是奇函数，可求出m 的最小值
【题目详解】（1）由余弦函数的单调性，解不等式2ππ22π2π4k x k π
+<+<+，k Z ∈， 得3788k x k ππππ+<<+，所以函数()f x 的单调递增区间为37,88k k k Z ，ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
； （2）函数()2cos 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为37,88k k k Z ，ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，单调递减区间为711,88k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭
，， 所以函数()f x 在3,88ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,84ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
则308f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，28f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以当02k ≤<时，函数y k =与函数()y f x =的图象有两个公共点， 即当02k ≤<时,方程()f x k =恰有两个不同的实数根时
（3）函数()2cos 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象向右平移(0)m m >个单位, 得到()2cos 224g x x m π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
,则()g x 是奇函数， 则()02cos 0204g m π⎛⎫=+
-= ⎪⎝⎭， 即242m k π
π
π-=+，k Z ∈， 则,,82
k m k Z π
π=--∈ 因为0m >，所以当1k =-时，min 38m π=
. 【题目点拨】本题综合考查了三角函数的性质，及图象的平移变换，属于中档题
20、（1）2,,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
； （2）[]4,4-.
【解题分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式可得()4sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，根据正弦函数的性质，应用整体法求单调减区间.
（2）由正弦型函数的性质求值域，结合题设方程有解，即可确定参数范围.
【小问1详解】
()cos 2cos 2f x x x x =+22cos 2x x =+4sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 令3222,262k x k k Z π
π
πππ+≤+≤+∈，解得2,63
k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ， 所以函数的单调递减区间是2,,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦. 【小问2详解】 ∵1sin 216x π⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭
， ∴44sin 246x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，又()0f x m -=有解， 所以m 的取值范围[]4,4-
21、（1）[]1,1-；
（2）(0,1 ].
【解题分析】（1）化简集合A ,B ，根据集合的并集运算求解；
（2）由充分必要条件可转化为,A B ，建立不等式求解即可. 【小问1详解】
当1,()a f x ==[]1,1,B =- 又{}
20A x x x =-≤=[]0,1， 所以[]1,1.A B =-
【小问2详解】
因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，
所以,A B
又{}2|10,B x ax
⎡
=-≥=⎢⎣ 1,
≥即(0,1.] a ∈。