甘肃省武威市凉州区高三数学下学期第一次诊断考试试题 文(含解析)新人教B版

甘肃省武威市凉州区2014届高三数学下学期第一次诊断考试试题
文（含解析）新人教B 版
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集U =R ，集合{|21}x M x =>，集合2{|log 1}N x x =>，则下列结论中成立的是（ ） A ．M N M =I B ．M N N =U
C ．()U M C N =∅I
D ．()U C M N =∅I
【答案】D
【解析】因为全集U =R ，集合{|21}
x M x =>{}|0x x =>，集合
2{|log 1}N x x =>{}|2x x =>，则下列结论中成立的是()U C M N =∅I 。

2.已知i 为虚数单位，则1i
i
z +=
在复平面内对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】因为1i i z +=
1i =-，所以1i
i
z +=
在复平面内对应的点位于第四象限。

3.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2
>∈∀x R x q ，则 ( )
A.命题q p ∨是假命题
B.命题q p ∧是真命题
C.命题)(q p ⌝∧是真命题
D.命题)(q p ⌝∨是假命题 【答案】C
【解析】命题x x R x p lg 2,:>-∈∃是真命题，例如x=10时成立；
命题
0,:2
>∈∀x R x q 是假命题，例如x=0时就不成立，所以 命题)(q p ⌝∧是真命题，因此选C 。

4.已知sin 3cos 53cos sin αα
αα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是 （ ）
A ．25
B ．52
- C. 2- D ．2
【答案】A 【解析】因为
sin 3cos 53cos sin αααα+=-，所以tan 3
5,tan 23tan ααα
+==-所以，所以
222
222
sin sin cos tan tan 2
sin sin cos sin cos tan 15
ααααααααααα---===++。

5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
Ａ．283π-
Ｂ．83
π- Ｃ．82π- Ｄ．23
π
【答案】A
【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体，里面挖去一个圆锥，其中正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为3
2
1221283
3
V ππ=-⨯⨯⨯=-。

6. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ） A.
34 B.45 C.5
6
D.1 【答案】B
【解析】第一次循环：11
,12(1)2
S S i i i i =+
==+=+，不满足条件，继续循环；
第二次循环：111
,13(1)223
S S i i i i =+
=+=+=+⨯，不满足条件，继续循环；
第三次循环：1111
,14(1)22334
S S i i i i =+
=++=+=+⨯⨯，不满足条件，继续循环；
第四次循环：11111
,15(1)2233445
S S i i i i =+
=+++=+=+⨯⨯⨯，此时满足条件，结束
循环，所以输出的S 的值为
4
5。

7．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++= 上，其中m ，n 均大于0，则
12
m n
+的最小 值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
开始 i =1，S =0
1(1)
S S i i =+
+i =i +1
5i ≥
输出S 结束
否
是
【答案】C
【解析】易知A(-2，-1),因为A 在直线10mx ny ++=上，所以21m n +=，又因为m ，n
均大于0，所以
()121
24424428n m n m m n m n m n m n m n
⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当411,,42n m m n m n ===即时等号成立，所以12
m n
+的最小值为8. 8. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )
A ．127
B ．255
C ．511
D ．1023
【答案】B 【解析】因为42a ,
6a ,48成等差数列,所以641
2248,2,=1a a q a =+=又所以，所以{n a }
的前8项和为881(12)
=
25512
S ⨯-=-。

9．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭
()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）
【答案】A
【解析】因为()21sin ,42f x x x π⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭所以
1()sin 2f x x x '=-，易知函数1()sin 2f x x x '=
-是奇函数，所以排除BD ，又(0)=0f '，1()cos 02f x x ''=-<在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
内成立，所以函数1()sin 2f x x x '=
-在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，因此排除C ，所以选A 。

10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将y ＝f (x )的图象向右平移
3
π
个单位长度后，所 得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( ) A. 1
3 B ．3 C ．6 D ．9
【答案】C
【解析】要满足函数()cos (0)f x x ωω=>，将y ＝f (x )的图象向右平移3π
个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则2,,633nT T n n
πππ
ωω====即所以，所以ω的最
小值等于6.
11. 点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2
＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ． 3 C ．4 D ．5 【答案】D
【解析】不妨设点P 在双曲线的右支上，设12,2,PF x PF a x ==+因为△F 1PF 2的三条边长成等差数列，所以()222a x x c +=+，()2
2
2
24x x a c ++=，两式联立，得：5e =。

12.定义方程()()'=f x f x 的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函()sin (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小
关系为 （ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ． b a c >> 【答案】B
【解析】因为()sin (0)g x x x π=<<，()ln (0),h x x x =>3()(0)x x x ϕ=≠，所以由
sin cos (0)4x x x a ππ=<<=得，1
ln (0)x x x
=>得1<b<3，323(0)3x x x c =≠=得，所以a ，b ，
c 的大小关系为c b a >>。

第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）. 13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是_______________.
【答案】
【解析】设圆心坐标为(),1(0)a a >，因为圆与直线430x y -=相切，所以
2
2
431,243
a a -==+解得，所以该圆的标准方程为。

14.若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且()a a b ⊥+r r r
，则a r 与b r 的夹角为
【答案】
0.030.020.020.01
组距
频率
【解析】因为()a a b ⊥+r r r ，所以2()01a a b a a b a b ⋅+=+⋅=⋅=-r r r r r r r r
，即，所以
2
cos ,2a b a b a b
⋅==-r r
r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为。

15.若函数3log y x = 的图像上存在点),(y x ，满足约束条件40
210x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则实数m 的
最大值为 【答案】
【解析】画出约束条件40210x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩的可行域，易知点（3,1）在函数3log y x =和
40x y +-=的图像上，所以直线y m =过点（3,1）时m 的值最大，最大为1.
16.在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2
＋b 2
－c 2
)，q ＝(3，S )，满足p ∥q ，则角C ＝ .
【答案】
【解析】因为
∥
，所以
)22243S a b c =+-，所以
14sin 32cos ,tan 32ab C ab C C ⨯==即3
C π=。

三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)
17.(本题满分12分) 等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，
255a S =．
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)若数列}{n b 满足121
+⋅++=n n n a a n n b ，求数列}{n b 的前n 项的和．
18.(本小题满分12分)
为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表． 组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数 占本组的频率
第1组 [15，25) a 0.5
第2组 [25，35) 18 x
第3组 [35，45) b 0.9 第4组 [45，55) 9 0.36
第5组
[55，65]
3
y
(Ⅰ)分别求出a ，b ，x ，y 的值；
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各
抽取多少人？
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率. 19.（本小题满分12分）
如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）
111ABC A B C -中，D 是BC 的中点， 1AA AB a ==
（Ⅰ）求证：1AD B D ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥平面1AB D ； （Ⅲ）求三棱锥1C AB D -的体积.
20.（本小题12分）
已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线x y 542=的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知经过定点M （2,0）且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问在x 轴上是否另存在一个定点P 使得PM 始终平分APB ∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分)
已知函数()(2)e x
f x ax =-在1x =处取得极值. (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在[]
,1m m +上的最小值;
(Ⅲ)求证:对任意12,[0,2]x x ∈,都有12|()()|e f x f x -≤.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E ， D ，连接
EC ，CD .
(Ⅰ)求证：直线AB 是⊙O 的切线；
(Ⅱ)若tan ∠CED ＝1
2，⊙O 的半径为3，求OA 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos (sn x y α
αα=⎧⎨=⎩
为参数）
．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos()4
π
ρθ-=(Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.
(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(Ⅱ)设a ＞－1，且当x∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围．
凉州区2014届高三年级第一次诊断考试
数学试卷（文）答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C A A B C B A C D B
∵0
≠
d，∴d
a=
1
①
∵2
5
5
a
S=∴2
1
1
)
4
(
2
4
5
5d
a
d
a+
=
⋅
⨯
+②
由①②得：
5
3
1
=
a，
5
3
=
d…………………5分∴n
n
a
n5
3
5
3
)1
(
5
3
=
⨯
-
+
=…………………6分
(Ⅱ))
1
1
1
1(
9
25
)1
(
1
9
25
)1
(
5
3
5
3
12
2
+
-
+
=
+
+
+
⋅
=
+
⋅
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b n…………………8分
∴)]
1
1
1
(
)
3
1
2
1
(
)
2
1
1(
[
9
25
3
2
1+
-
+
+
-
+
-
+
=
+
+
+
+
n
n
n
b
b
b
b nΛ
Λ
Λ
Λ
1
2
9
25
)
1
1
1
(
9
252
+
+
⋅
=
+
-
+
=
n
n
n
n
n…………………12分
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：
2654
18
=⨯人； 第3组：
3654
27
=⨯人； 第4组：
1654
9
=⨯人 …………………8分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AD
在正△ABC 中，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BD ，
∴AD ⊥平面BB 1 CC 1, ∵B 1D 平面 BB 1 CC 1,
∴AD ⊥B 1D …………………4分
（Ⅱ）解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵AA 1=AB ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点，
∴DE ∥A 1C. ………………………… 7分 ∵DE
平面AB 1D ，A 1C
平面AB 1D ，
∴A 1C ∥平面AB 1D. ……………………9分
113
1133C AB D B ADC ADC V V S BB a --==⨯=V ……12分
20.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）∵短轴短轴长为4，∴2b=4,解得b=2. 又抛物线2
45y x =的焦点为（，0）
∴c=4,则=
=9,
∴椭圆方程为：. …………………… 5分
（Ⅱ）设l :2x my =+,代入椭圆方程整理：2
2
(49)16200m y my ++-=，
则12212216492049m y y m y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
， …………………… 7分 假设存在定点(,0)P t 使得PM 始终平分APB ∠, 则0PA PB k k +=12120y y
x t x t
⇔
+=--1221(2)(2)0y my t y my t ⇔+-++-=…… 8分 12122(2)()0(29)0my y t y y m t ⇔+-+=⇔-=①，………… 10分
要使得①对于m R ∀∈恒成立，则92
t =
， 故存在定点P 使得PM 始终平分APB ∠，它的坐标为9,02⎛⎫
⎪⎝⎭
．………… 12分 21. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)'()(2)(2)x x x
f x ae ax e ax a e =+-=+-
由已知得'(1)0f =即(22)0x a e -= 解得:1a =
当1a =时,在1x =处函数()(2)x f x x e =-取得极小值,所以1a = ……4分
(Ⅱ)()()2x f x x e =-,
()()'()+21x x x f x e x e x e =-=-. ………… 5分
所以函数()f x 在(),1-∞递减,在()1,+∞递增 ………… 6分
当1m ≥时,()f x 在[],1m m +单调递增,
min ()()f x f m =m e m )2(-= ，
当01m <<时,11m m <<+
()f x 在[],1m 单调递减,在[]1,1m +单调递增,min ()(1)f x f e ==-.
当0m ≤时,+11m ≤,
()f x 在[],1m m +单调递减,1
min ()(1)(1).m f x f m m e +=+=-
综上 ()f x 在[],1m m +上的最小值min 1(2),1,
(),01,(1),0.m m m e m f x e m m e m +⎧-≥⎪
=-<<⎨⎪-≤⎩
………… 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知()()2x f x x e =-,
()()'()+21x x x f x e x e x e =-=-.
令'()0f x = 得1x =
因为(0)2,(1)e,(2)0f f f =-=-=
所以max min ()0,()e f x f x ==-，
所以,对任意[]120,2x x ∈、,都有
12max min |()()|()()e f x f x f x f x -≤-= ………… 12分
22．(本题满分10分)
(Ⅰ)证明：连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，
∴OC ⊥AB ，又∵OC 是圆的半径，∴AB 是圆的切线．
(Ⅱ)∵ED 是直径，∴∠ECD ＝90°.
∴∠EDC ＋∠E ＝90°，又∠BCD ＋∠OCD ＝90°，∠OCD ＝∠ODC ，∴∠BCD ＝∠E ，又∠CBD ＝∠EBC ，
∴△BCD ∽△BEC ，∴BC BE ＝BD BC ＝CD EC ⇒BC 2＝BD ·BE ，
又tan ∠CED ＝CD EC ＝12，∴BD BC ＝CD EC ＝12.
设BD ＝x ，则BC ＝2x ，∵BC 2＝BD ·BE ，
∴(2x )2＝x (x ＋6)，∴BD ＝2，
∴OA ＝OB ＝BD ＋OD ＝2＋3＝5.
23．(本题满分10分)
解：(Ⅰ)ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，…………3分 ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝4. …………5分
(Ⅱ)设点P 的坐标为(2cos α，sin α)，
得P 到直线l 的距离d ＝|2cos α＋sin α－4|
2， …………7分
即d ＝|5sin （α＋φ）－4|2，其中cos φ＝15，sin φ＝2
5 .…………8分
当sin (α＋φ)＝－1时，d max ＝2 2＋10
2. …………10分
24．(本题满分10分)
解：(Ⅰ)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.
设函数y ＝
|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x<12，
－x －2，12≤x≤1，
3x －6，x>1.
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，
y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．
(Ⅱ)当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a
2，1
2时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，1
2都成立．
故－a
2≥a －2，即a≤4
3.
从而a 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－1，43。