高三数学一轮复习高效测评卷第四章平面向量数系的扩充与复数的引入理试题

金版新学案?高三一轮总复习[B 师大]数学理科高效测评卷(四)
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日
第四章 平面向量、数系的扩大与复数的引入
————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．
第一卷 (选择题 一共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)
1．x ∈R ，i 为虚数单位，假设(1－2i)(x ＋i)＝4－3i ，那么x 的值等于( ) A ．－6 B ．－2 C ．2
D ．6
2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且|AB |＝λ|DC |，设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AC →
＝( ) A ．λa ＋b B ．a ＋λb C.
1
λ
a ＋
b D ．a ＋1
λ
b
3．复数1＋2i 2＋i
1－i
2
等于( ) A.52 B ．－52
C.52
i D ．－52
i
4．向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，假设u ∥v ，那么实数k 的值
是( )
A ．－1
B ．－12
C.12
D ．1
5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，假设PA →＝(4,3)，PQ →
＝(1,5)，那么BC →
＝( )
A ．(－2,7)
B ．(－6,21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
6．a ，b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，那么a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3
D.
5π6
7．A (－1,0)，B (1,0)，点P 满足PA →·PB →＝1，那么|PA →＋PB →
|等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．2
D ．1
8．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，假设AO →＝λAB →＋μBC →
，那么λ＋μ＝( )
A ．1 B.12 C.13
D.23
9．向量a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π，假设a ·b ＝25，
那么tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4的值是( ) A.1
3
B.27
C.17
D.23
10．以下各式：
①|a |＝a ·a ；②0∥a 且0⊥a ；③OA →－OB →＝BA →
；
④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，那么AB →＋DC →＝2MN →
； ⑤a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 与b 不一共线，那么(a ＋b )⊥(a －b )．
其中正确的个数有( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
11．点M 是边长为2的正方形ABCD 内或者边界上一动点，N 是边BC 的中点，那么AN →·AM →
的最大值是( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
12．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)．定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，
a 2
b 2)．m ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，12，n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫π3
，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的
图象上运动，满足OQ →＝m ⊗OP →
＋n (其中O 为坐标原点)，那么y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )
A ．2，π
B ．2,4π C.1
2
，4π D.1
2
，π 第二卷 (非选择题 一共90分)
得 分
二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．假设平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，那么b ＝________. 14．复数z 1＝3－i ，z 2是复数－1＋2i 的一共轭复数，那么复数i z 1－z 2
4的虚部等于
________．
15．如图，在平面四边形ABCD 中，假设AC ＝3，BD ＝2，那么(AB →
＋DC →
)·(AC →＋BD →
)＝________.
16．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．假设|a |＝|b |且a 、b 不一共线，那么(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；假设A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →
，那么λ＝________.
三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)
17．(12分)平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)假设a ⊥b ，求x 的值； (2)假设a ∥b ，求|a －b |.
18．(12分)A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)． (1)假设|AC →|＝|BC →
|，求tan θ的值；
(2)假设(OA →＋2OB →)·OC →
＝1，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值．
19.(12分)设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α＜360°)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；
(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．
20．(12分)A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，且AB →·AD →＝5，|AD →|2
＝10. (1)求D 点的坐标； (2)用AB →，AD →表示AC →.
21.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A
2，sin 3A 2，n
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫
cos A
2
，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)假设|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，试判断△ABC 的形状．【解析方法代码108001058】 22．(14分)O 为坐标原点，向量OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →
＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →
.
(1)记函数f (α)＝PB →·CA →，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π2，讨论函数f (α)的单调性，并求其值域；
(2)假设O ，P ，C 三点一共线，求|OA →＋OB →
|的值．【解析方法代码108001059】 答案：
一、选择题
1．C 依题意(1－2i)(x ＋i)＝x ＋2＋(1－2x )i ＝4－3i ，那么x ＋2＝4，解得x ＝2，应选C.
2．C AC →＝AD →＋DC →
＝b ＋1λAB →＝b ＋1λ
a .应选C.
3．B
1＋2i 2＋i 1－i 2
＝2＋4i ＋i ＋2i 2
－2i ＝5i －2i ＝－5
2
，应选B. 4．B ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－1
2
.应选B.
5．B AQ →＝PQ →－PA →
＝(－3,2)，
∴AC →＝2AQ →
＝(－6,4)． PC →
＝PA →＋AC →
＝(－2,7)，
∴BC →＝3PC →
＝(－6,21)．应选B. 6．B ∵(a －2b )⊥a ， ∴(a －2b )·a ＝a 2
－2a ·b ＝0， 即a 2
＝2a ·b . ∵(b －2a )⊥b ，
∴(b －2a )·b ＝b 2
－2a ·b ＝0， 即b 2
＝2a ·b .∴a 2
＝b 2
＝2a ·b .
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b a 2＝1
2
.
又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π
3
.
7．A 设点P 的坐标为(x ，y )，那么PA →·PB →＝(－1－x ，－y )·(1－x ，－y )＝x 2
－1＋
y 2＝1，
整理可得x 2
＋y 2
＝2，即点P 的轨迹是以原点O 为圆心，半径为2的圆， ∴|PA →＋PB →|＝|2PO →
|＝2 2. 8．D AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，
即2AO →＝AB →＋13BC →，
AO →
＝12AB →＋16
BC →.
故λ＋μ＝12＋16＝2
3.应选D.
9．C 由a ·b ＝2
5
得：
cos 2α＋sin α(2sin α－1)＝2
5，
又cos 2α＝1－2sin 2
α，
即1－2sin 2α＋2sin 2
α－sin α＝25，
有sin α＝3
5
，
假设α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2，那么sin α＞22＞35，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么 tan α＝－34，所以tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，应选C.
10．D |a |＝a ·a 正确； (a ·b )·c ≠a ·(b ·c )； OA →
－OB →＝BA →
正确；
如以下图所示，
MN →
＝MD →＋DC →＋CN →且MN →＝MA →＋AB →＋BN →
，
两式相加可得2MN →＝AB →＋DC →
，即命题④正确； ∵a ，b 不一共线，且|a |＝|b |＝1，
∴a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线，即得(a ＋b )⊥(a －b )． ∴命题①②③④⑤正确．
11．D 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那
么N (2,1)，B (2,0)，D (0,2)，C (2,2)．
设点M 坐标为(x ，y )，那么AM →·AN →
＝(x ，y )·(2,1)＝2x ＋y . 当直线2x ＋y ＝0平移到点C 时，Z max ＝2×2＋2＝6.应选D.
12．C 设Q (x 0，y 0)，OQ →＝(x 0，y 0)，OP →
＝(x ，y )， ∵OQ →＝m ⊗OP →＋n ，∴(x 0，y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12⊗(x ，y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0
＝⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x ＋π3，y 0
＝1
2y
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12
x 0－π6，
y ＝2y 0.
代入y ＝sin x 中， 得2y 0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
x 0－π6，
所以最大值为1
2，周期为4π，选C.
二、填空题
13．解析： 由a ＋b 平行于y 轴设b ＝(－2，y )，因为|a ＋b |＝1， 所以(y －1)2
＝1，故y ＝0或者2. 所以b ＝(－2,0)或者b ＝(－2,2)． 答案： (－2,0)或者(－2,2) 14．解析： i
z 1－z 24＝i 3－i －－1－2i 4＝3i －110－－1－2i 4＝3＋16i 20，其虚部为4
5
. 答案： 4
5
15．解析： (AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(DB →－DA →＋DA →＋AC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →
)＝AC →2－BD →2＝32－22
＝5.
答案： 5
16．解析： ∵|a |＝|b |且a 、b 不一共线，∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝(λa －λb )·(a
＋b )＝λ(|a |2
－|b |2
)＝0.
∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →
＝(2,4)，∴λ＝2. 答案： 0 2 三、解答题
17．解析： (1)假设a ⊥b ，那么a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.
整理得x 2
－2x －3＝0， 解得x ＝－1或者x ＝3.
(2)假设a ∥b ，那么有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0， 解得x ＝0或者x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－2
2
＋02
＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，
b ＝(－1,2)，
∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22
＋－4
2
＝2 5.
18．解析： (1)∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →
＝(2sin θ－1，cos θ)， BC →
＝(2sin θ，cos θ－1)．
∵|AC →|＝|BC →|， ∴2sin θ－12
＋cos 2
θ
＝
2sin θ
2
＋cos θ－12
，
∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1
2
.
(2)∵OA →＝(1,0)，OB →
＝(0,1)， OC →
＝(2sin θ，cos θ)，
∴OA →＋2OB →
＝(1,2)， ∵(OA →＋2OB →)·OC →
＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝1
2，
∴(sin θ＋cos θ)2
＝14，
∴sin 2θ＝－3
4
.
19．解析： (1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2
α)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＋34＝
0，故a ＋b 与a －b 垂直．
(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2
＋23a ·b ＋|b |2
＝|a |2
－23a ·b ＋3|b |2
，
所以2(|a |2
－|b |2
)＋43a ·b ＝0， 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，
那么⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ， 又0°≤α＜360°，
那么α＝30°或者α＝210°.
20．解析： (1)设D (x ，y )，那么AB →＝(1,2)，AD →
＝(x ＋1，y )． ∴AB →·AD →
＝x ＋1＋2y ＝5， ①
|AD →|2＝(x ＋1)2＋y 2＝10. ②
联立①②，
解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或者⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1.
∴D 点的坐标为(－2,3)或者(2,1)．
(2)当D 点的坐标为(－2,3)时，AB →＝(1,2)，AD →＝(－1,3)，
AC →＝(－2,1)，
设AC →＝mAB →＋nAD →，
那么(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1.
∴AC →＝－AB →＋AD →.
当D 点的坐标为(2,1)时，设AC →＝pAB →＋qAD →，
那么(－2,1)＝p (1,2)＋q (3,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝p ＋3q ，1＝2p ＋q .∴⎩⎪⎨⎪
⎧ p ＝1，q ＝－1，
∴AC →＝AB →－AD →.
所以当D 点的坐标为(－2,3)时，AC →＝－AB →＋AD →；
当D 点的坐标为(2,1)时，AC →＝AB →－AD →.
21．解析： (1)由|m ＋n |＝3，
得m 2＋n 2
＋2m ·n ＝3，
即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2
)＝3， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，
∴A ＝π3
. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，
∴b ＋c ＝3a ，
∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，
∴sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32
， ∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32， 又∵0＜B ＜2π3
， ∴π6＜B ＋π6＜5π6
， ∴B ＋π6＝π3或者2π3
， 故B ＝π6或者π2
， 当B ＝π6时，C ＝π2
； 当B ＝π2，C ＝π6
. 故△ABC 是直角三角形．
22．解析： (1)AB →＝(cos α－sin α，－1)，设OP →＝(x ，y )，
那么BP →＝(x －cos α，y )．
由AB →＝BP →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1，
故OP →＝(2cos α－sin α，－1)．
PB →＝(sin α－cos α，1)，
CA →＝(2sin α，－1)，
f (α)＝PB →·CA →
＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1)＝2sin 2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，π2， 故0＜2α＋π4＜5π4
， 当0＜2α＋π4≤π2，即－π8＜α≤π8
时，f (α)单调递减； 当π2＜2α＋π4＜5π4，即π8＜α＜π2
时，f (α)单调递增， 故函数f (α)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2，单调递减区间为⎝ ⎛⎦
⎥⎤－π8，π8， 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤－22，1， 故函数f (α)的值域为[－2，1)．
(2)OP →＝(2cos α－sin α，－1)，
OC →＝(－sin α，2)，
由O ，P ，C 三点一共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，
得tan α＝43，sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425
. |OA →＋OB →|＝sin α＋cos α2＋1＝2＋sin 2α＝745
.
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日。