2020-2021高中三年级数学下期末一模试题(及答案)(17)

2020-2021高中三年级数学下期末一模试题(及答案)(17)
一、选择题
1．函数ln ||
()x
x f x e =
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．$0.4 2.3y x =+ B ．$2 2.4y x =- C ．$29.5y x =-+
D ．$0.3 4.4y x =-+
3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A ．10 B ．11 C ．12
D ．15 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．26
D ．425．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+
)2π
α B ．s(+
)2
co π
α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+
6．已知a r 与b r
均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -r r 等于（ ）
A 7
B 10
C 13
D ．4
7．已知π
,4
αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．4
8．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >
B ．0x …或2x -…
C ．0x <或2x >
D ．1
2
x -
…或3x …
11．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220
B ．2755
C ．
2125
D ．
27
220
12．如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点.若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A ．3
B ．2
C 3
D 2
二、填空题
13．设n S 是等差数列{}*
()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
15．若过点()2,0M 3()2
:0C y ax a =>的准线l 相交于点
B ，与
C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v
，则a =____．
16．已知0x >，0y >，0z >，且36x z ++=，则32
3x y z ++的最小值为
_________．
17．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,
12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为
____.
18．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________ ．
19．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则
a =__________．
20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面
积为__________.
三、解答题
21．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2
n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .
（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 23．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17
． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．
24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
21x tcos y tsin α
α
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值. 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段
BM 的长．
26．为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（I）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行判定（表示相应事件的概率）：
①；
②；
③.
判定规则为：若同时满足上述三个式子，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为了.试判断设备的性能等级.
（Ⅱ）将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，求其中次品个数的数学期望.
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由函数解析式代值进行排除即可.
【详解】
解：由()x
ln x f x =e
，得()f 1=0，()f 1=0-
又()1f e =
0e e >，()1f e =0e e
--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
2．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除选项B ；故选A ．
考点：线性回归直线.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有246C =个；
第二类：与信息0110有一个对应位置上的数字相同有1
4C 4=个；
第三类：与信息0110没有位置上的数字相同有0
4C 1=个，
由分类计数原理与信息0110至多有两个数字对应位置相同的共有64111++=个， 故选B ．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
2
a b
ab +≤转化为指数运算即可求解。

【详解】
由基本不等式可得222a b a b ++≥3a b +=，所以2222a b a b ++≥=（当且仅当3
2
a b ==等号成立） 故答案为：D 【点睛】
本题考查了用基本不等式求指数中的最值，比较基础。

5．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】
解：角α的终边在第二象限，sin +
2πα⎛⎫
⎪⎝
⎭
＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛
⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；
()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；
()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确
故选D 【点睛】
本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．
6．A
解析：A 【解析】
本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知
=
=
，所以应选A ．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】 由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值． 【详解】 由由4
π
αβ+=
，得到1tan
αβ+=（）， 所以11tan tan tan
tan tan αβ
αβαβ
++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，
则
1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ． 【点睛】
本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一
道基础题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】
当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，
综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则
p 是q 的既不充分也不必要条件.
9．A
解析：A 【解析】
余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=
解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1
2
或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】
根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤1
2
-或3x …
，所以可以转化为找x≤-
1
2
或x≥3的必要不充分条件；
依次选项可得：x 1<-或x 4>是1
2
x ≤-
或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是1
2x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件
x 0<或x 2>是1
2
x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；
x≤-12或x≥3是1
2x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】
本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】
因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一
个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933
1227
(4)220
C C P X C ===，故选
D ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
M N Q ，是双曲线的两顶点，M O N ，，将椭圆长轴四等分
∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍 Q 双曲线与椭圆有公共焦点，
∴双曲线与椭圆的离心率的比值是2
故答案选B
二、填空题
13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +⨯=
=． 14．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18 【解析】
应从丙种型号的产品中抽取300
60181000
⨯
=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝
n ∶N ．
15．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8
【解析】 【分析】
由直线方程为2)y x =-与准线:a
l x 4
=-
得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.
【详解】
解：抛物线()2
:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4
=-
过点()2,0M
2)y x =-，
联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪
⎨=-⎪
⎩
，
解得，交点B
坐标为)
(,)a a 844
+-
， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v
=，
所以点M 为线段AB 的中点，
所以00()4428)402a x a y ⎧+-⎪=⎪
⎪⎨+⎪+⎪=⎪⎩
，解得(a A 44+，
将)
()a a 8A 444
++代入抛物线方程，
即))()2a 8a
a 444
+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】
本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.
16．【解析】【分析】利用已知条件目标可转化为构造分别求最小值即可【详解】解：令在上递减在上递增所以当时有最小值：所以的最小值为故答案为【点睛】本题考查三元函数的最值问题利用条件减元构造新函数借助导数知识 解析：
374
【解析】 【分析】
利用已知条件目标可转化为2
323
453324x y z x x y ⎛++=-+-+ ⎝⎭，构造()33f x x x =-，(
)2
45
24g y y ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，分别求最小值即可. 【详解】
解：32
3x y z ++=
()
3236x y x ++--
2
34534x x y ⎛=-++ ⎝⎭
令()3
3f x x x =-，(
)2
4524g y y ⎛=-+ ⎝⎭
， ()()()2'33311f x x x x =-=-+，0x >， ()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，
所以，()()min 12f x f ==-
当33
2
y =
时，()g y 有最小值：()min 454g y =
所以，3
2
3x y z ++的最小值为4537244
-+
= 故答案为
37
4
【点睛】
本题考查三元函数的最值问题，利用条件减元，构造新函数，借助导数知识与二次知识处理问题.考查函数与方程思想，减元思想，属于中档题.
17．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使
解析：3
4
【解析】 【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。

【详解】
圆22cos ,12sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，
由直线与圆相切，则有22121
a a +=+，解得34
a =。

【点睛】
直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：
【解析】 【分析】 【详解】
复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==
．
故答案为
．
19．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化
解析：1【解析】 【分析】
根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，
由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22
=2x y x +，即22(1)1x y -+=，
1101a a a =∴=±>∴=+Q ，，
【点睛】
（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；
（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2
cos ,sin ,ρθρθρ的形式，
进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.
20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去
解析：【解析】 【分析】
本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2
2
21
(2)2262
c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =
解得c c ==-
所以2a c ==
11
sin 22ABC S ac B ∆=
=⨯= 【点睛】
本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
三、解答题
21．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312n n n n +++---+⋅
【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
11222222212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
12
2n n S n +=-+； （3）()()
()()(
)()()()(
)()2221
1
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n n n n n n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=
+++
()()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫
⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n
n n ++-⎛⎫
=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1
412331?2
n n n n +++---+. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．（1）见解析；（2
）3
- 【解析】 【详解】
（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ． 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，
由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA u u u v
的方向为x 轴正方向，AB
u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐
标系F xyz -.
由（1）及已知可得22A ⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭，2,1,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，)
2,0,0CB =u u u v ，2222PA ⎛=- ⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u u
v . 设(),,n x y z =r 是平面PCB 的法向量，则
0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u
v r u u u v r 即220,
2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩ 可取(0,1,2n =--r
.
设(),,m x y z r
=是平面PAB 的法向量，则
0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u
u v r u u u v r 即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩
可取()1,0,1m =r
. 则3cos ,3
n m n m n m ⋅==-r r r r
r r ，
所以二面角A PB C --的余弦值为3
3
- 【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的
坐标是解题的关键. 23．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为33 【解析】
分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11
sin 22
ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–
17，∴B ∈（π
2
，π），∴sin B =243
1cos B -=
．由正弦定理得
sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sin A =
3
．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．
（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =
3114372⎛⎫⨯-+⨯
⎪⎝⎭=33
． 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =
h BC ，∴h =sin BC C ⋅=3333
7142
⨯=，∴AC 边上的高为
33
．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 24．（1）()2
239x y -+=（2）27 【解析】
分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出
PA PB +．
详解：
（1）由2
6cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为2
2
6x y x +=， 即()2
239x y -+=
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()2
2cos sin 70t t αα+--=
因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7
t t t t αα⎧+=--⎨
⋅=-⎩
所以
又因为（2，1）为直线所过定点，
1212
PA PB t t t t ∴+=+=-=
=≥=
所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题． 25．
（Ⅰ）3
；（
Ⅱ；（Ⅲ
【解析】 【分析】
（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异
面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即
可；
（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r
，再利用向量的夹角公式
算得cos ,m n 〈〉u r r
即可；
（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100
MN A B MN A C ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长. 【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，
由题意，
111(0,0,0),B A C A B C ，
（Ⅰ
）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，
所以111111cos ,||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，
设异面直线AC 与11A B 所成角为α， 则cos
α=11|cos ,|3
AC A B 〈〉=
u u u r u u u u r
，
所以异面直线AC 与11A B
所成角的余弦值为
3
. （Ⅱ
）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r
，
设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，
则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v
，即00
⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
令x =
z =
，所以m =u r
，
同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =r
，
则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v
，即00
⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，
令y =
z =
n =r
，
所以2
cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u
r r ， 设二面角111A AC B --的大小为θ，
则sin θ==
所以二面角111A AC B --
的正弦值为
7
. （Ⅲ）由N 为棱11B C
的中点，得,22N ⎛ ⎝⎭，
设(,,0)M a b
，则MN a b =--⎝⎭u u u u r ，
由MN ⊥平面111A B C ，得11110
0MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即
(0((0222a a b ⎧⎫-⋅-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅+-⋅+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎩，
解得24a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，故M ⎫⎪⎝⎭
，因此BM ⎫=⎪⎝⎭u u u u r ，
所以线段BM的长为
10 ||
BM
u u u u r
.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
26．（I）丙级；（Ⅱ）①；②.
【解析】
【分析】
（I）以频率值作为概率计算出相应概率，再利用判定规则的三个式子得出判断设备的性能等级。

（Ⅱ）先根据题意将次品件数求出。

①根据题意知，这种抽取实验是服从二项分布的，根据二项分布的期望公式可求出。

②根据古典概型求概率的公式，可以求出的每种取值的概率，进而求出。

【详解】
（I），，，，，，
由图表知，，
，
，
所以该设备的级别为丙级.
（Ⅱ）①从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率是，
依题意，～，故.
②从100件样品中任取2件，次品数的可能取值为0，1，2，
，，，
故.
【点睛】
对于（Ⅱ）问题①是二项分布（次独立重复试验中，事件A发生的次数，其期望为）利用公式得出。