湖南省醴陵市2018年高2016级高三第一次联考理科数学试题及参考答案

茶陵三中2019届高三第4次月考试题 理科数学试题及参考答案 考试时量：120分钟；总分：150分
注意事项：
1.请在答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题仅有一个答案是正确的) 1.已知全集
,集合{}
2
20A x x x =->,{}
y lg
x 1)B x ==-（ ,则)U C A B ⋂=（( )
A.(,0)(2,)-∞⋃+∞
B.(1,2)
C.(]1,2
D.[]1,2
2.已知
1-2)5i z =（( 为虚数单位) ,则复数 的虚部为( ) A. B.1 C.
D.2 3.下列命题中正确的是( )
A.若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题
B.“a ＞0,b ＞0”是“
2≥+b
a
a b ”的充要条件 C.命题“x 2﹣3x +2＝0,则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2,则x 2﹣3 x + 2 ≠0”
D.命题p ：R x ∈∃,使得x 2+ x ﹣1＜ 0,则￢p ：R x ∈∀,使得x 2 + x ﹣1≥ 0
4.已知F 1 ,F 2是双曲线E ：12
22
2
=-
b y a
x 的左、右焦点,点M 在E 上,MF 1
与x 轴垂直,
且sin∠MF 2F 1＝
,则E 的离心率为( )
A.2
B.
C.3
D.2
5.设等差数列{}a n 的前
项和为n S ,且10a >,149S S = ,则满足 n 0S > 的最大自然数
为( )
A.12
B.13
C.22
D.23 6.函数
x f x e ()(12=+
为自然对数的底数)图象的大致形状是( )
7. ,
过点(A ,在抛物线上( )
A.2
B.3
C. D.
X y X
y D
y A
y
9. 某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻, 数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课方法的种数是( ) A.16 B.24 C.8 D.12
10.函数 1)2(log -+=x y a (
)的图象恒过定点 ,若点 在直线
01=++ny mx
上,其中
,则
的最小值为( )
A. 35
B.
C.23
D.
11. 已知数列{}a n 的前n 项和为n S ,且满足
1a =1 ,22a = ,121()n n n S a a n N *+++=-∈ ,记1
21(1)(1)
n n n a n
a a
b +++--=
,数列
{}n b 的前 n 项和为 n T ,若对n N *∀∈ ,n
k T > 恒成立,
则k 的取值范围为( )
A. [)1
+∞， B. ()1
+∞， C. ()0+∞，
D.[)2∞， 12.已知四面体 AB CD 的外接球球心O 恰好在棱AD 上,且
2==BC AB ,2=AC ,32=DC ,
则这个四面体的体积为( )
A.
2
3 B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
6+=x y z 13.若
满足不等式⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+1
030
3y y x y x , 则
的最大值为________.
14.已知向量a 与b 的夹角为
2=
,3= ,
则=-3 ________.
15.已知函数)(x f y =,D x ∈,若存在常数C ,对D x ∈∀1,∃唯一的D x ∈2,使得
C x f x f =)()(21,则称常数C 是函数)(x f 在
D 上的“几何平均数”.
已知函数x x f -=2)(,[]3,1∈x ,则)(x f 在[]3,1上的“几何平均数”是 .
16. 已知函数⎩⎨⎧<-≥-=)0()
0(22)(3
4
2x x x x x f ,函数
有三个零点,则实数
的取值范围为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答题需要写出必要的解答过程) 17.(本小题满分12分)
设ABC ∆ 的内角
的对边分别为a,b,c 且 B a A b cos 3sin =
.
(1)求角 B 的大小;
(2)若3=b ,A C sin 2sin = , 求边 a 和 c 的值.
18.(本小题满分12分)
某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式,在甲、乙两个平行班级进行教学实验,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计,结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表,并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?
(2)甲乙两班成绩未达优良的同学共15位,老师现从中任意抽取3人进行谈话,以便了解学习情况.在这3人中,记乙班成绩不优良的人数为 ,求 的分布列及数学期望. 附：()()()()d c b a d b c a bc ad n K ++++-=
2
)(2
. 临界值表如下：
19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥
中,底面
为平行四边形,AD AB 2= ,AD BD 3= ,
且 ABCD PD 底面⊥.
(1)证明：PBC PBD 平面平面⊥ ；
(2)若 为
的中点,且 1AP BQ ⋅= ,
求二面角 的大小.
20 .(本小题满分12分)
D Q
P
C
B
A
已知椭圆 :12
222=+
b
y a
x (0>>b a ) , 过点)2,0(P ,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ) , 是过点 且互相垂直的两条直线,其中 交圆
于 , 两点,
交椭圆 于另一个点 ,求ABD ∆面积取得最大值时直线 的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数2)(ax e x f x -=,曲线()y f x =在x ＝ 1处的切线方程为1+=bx y 。

(1)求a 和b 的值；
(2)求函数()f x 在[0,1]上的最大值；
(3)证明：当x ＞ 0时,01ln )1(≥---+x x x e e x
,
22.(本小题满分10分)
在直角坐标系x oy 中,曲线 1C 的参数方程为cos 1sin x y φφ
⎧=⎪
⎨=+⎪⎩ ( φ为参数).在以坐标原点为
极点,
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线2C 的极坐标方程为θα= ,其中20πα<< . (Ⅰ)求1C 的极坐标方程；
(Ⅱ)若2C 与 1C 交于不同两点A 和B ,且OA OB > ,求
1
1OB
OA - 的最大值.
2019届高三第一次联考 理科数学试题及参考答案参考答案
一、单选题(每小题5分,共60分)
11.【答案】A
【解答】由 121-=+++n n n a a S ,得1231n n n S a a ++++=- ,两式作差得 322n n a a ++= 又
1a 1= ,2a 2= ,可求得a 3＝4,所以数列{}a n 是等比数列,且12n n a -= ,代入
1
1
121211(1)(1)
(2
1)(21)
2121b n
n n n n n n n a n a a +++++------=
=
=
- ,所以
223111111111
n 21212121212121()()()11
n n n T ++-------=-+-+⋅⋅⋅+-=-<
而n k T > 恒成立,所以k 1≥ ,故选A
【分析】121-=+++n n n a a S ,得到n 1231n n S a a ++++=-两式子一减得到322n n a a ++=,进而求
出a n 的通项,将其通项代入b n ,裂项得到111
2121n n n b +--=-,求其前n 项和可以采用裂项相消
法,最后便可以计算出k 的范围。

12.【答案】D 【解答】∵2==BC AB ,AC ＝ 2,
∴AB 2
+ BC 2
＝ AC 2
, ∴AB ⊥BC ,
∴△ABC 外接圆的直径为AC , 圆心O ′为AC 的中点 ∵球心O 恰好在侧棱DA 上,
∴ABC O O 面⊥' ,又外接球球心O 恰好在棱AD 上,所以O 为AD 中点,所以OO '//BC. 即DC ABC ⊥面 ,32=DC ,
四面体的体积为 1
1
33=1ABC V S DC ∆⨯=⨯⨯ .
故答案为：D.
【分析】 由数据得到AB⊥BC,则直角△ABC 外接圆的直径为AC ,圆心O ′为AC 的中点,
得到D C ⊥面A B C ,再由体积公式求体积.
二、填空题(每小题5分,共20分) 13.【答案】2
1 14.【答案】6 15.【答案】
1
16.【答案】
16.【解答】由题得 有三个零点,
所以
有三个零点,
所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分,
y ＝a(x －2)表示过定点(2,0)的直线,所以直线和粗线有三个交点.
所以MB MA k a k <≤
由题得),1(34-A ,),(54
53-B .
所以942
103
4
-==
---MA
k
,134
2
05354
-==
---MB k
所以a 的取值范围为
.
【分析】本题的突破口是研研究
结构特征,从而将g(x)
＝0的零点问题转化为
,
于是可以通过作图加以研究解决。

三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.【解答】(1)解:bsinA＝ acosB,由正弦定理可得
.................2分
即得＞0............................................................................... ......................................4分
,......................................................................
..........5分
........................................................................ ..................................................................6分..
(2)解:sinC ＝2sinA,由正弦定理得c＝
2a,............................................................................. ..8分
由余弦定理 ,
,
解得
.......................................................................... .....10分
....................................................................... .........12分
【分析】(1)利用正弦定理边化角,得B角的正切,求得B.
(2)利用正弦定理角化边,再用余弦定理解得a和c.
18.【解答】(1)解：根据题意得2×2列联表如下：
..........................2分
根据2×2列联表中的数据,得 的观测值为
,...........................................
............4分
在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.............6分
（2）由题可知 的可能取值为
0,1,2,3........................................................................7分
； ；
； 34
315
4455
(3)C C P X
===
.
的分布列为：
............................
..................10分 所以
.................................
..............12分
【分析】 (1)将列联表填写完整,结合K 2的计算公式,计算结果,即可得出答案。

(2)分别计算出X ＝0,1,2,3的概率,列出分布列,计算期望,即可得出答案。

19. 【解答】(1)证明：∵
,
∴ ,
,
∴
....................................................
....1分
又∵ 底面
,
∴
..................................................
......2分 ∵ ,
∴
平面
.............................................3分
平面
,.......................................4分 ∴平面
平面
...................................5分
(2)解：由(1)知,DA,DB,DP 两两垂直 ,分别以 , , 为 轴, 轴, 轴建立空间直
角坐标系
,
如图所示,设AD ＝1得AB ＝2, ,令
,
则
, ,
,
, ,...............6分
∴1
22(1,0,),(,)t AP t BQ =-=- .
∴2
1
21t AP BQ +⋅== ,∴
.....................................................................7分 故
cos,
2
m n
<>==
3
1111
222
2
(,,),(,)
DQ BQ
=-=-
, ........................................... ......8分
设平面
的法向量为n(,,)
x y z
= ,
则
11
22
11
22
n DQ x y z
n BQ
x y z
⎧⋅=-++=
⎪
⎨
⋅=--+=
⎪⎩
,
令 ,得0,1
y z
==,即
(10,1
n
=，
） ..........................................................9分
易知平面的一个法向量为
(0,0,1)
m= ,........................................10分
则 .............................................................11分
∴二面角的大小为
. ............................................................12分
【分析】(1)根据勾股定理得出BC⊥BD,结合PD⊥BC可得BC⊥平面PBD,利用平面与平面垂直的判定得出平面PBD⊥平面PBC；
(2)建立坐标系,求出平面QBD和平面BCD的法向量,用空间向量求平面间的夹角,得出二面角的大小.
(注：由于命题出现失误,此题第2问存在问题,应该没有固定结果,为使评价近似合理,建议阅卷作如下标准记分：学生采用“设AD＝1”方法所得出参考答案中结果的记满分,学生采用设其他具体数据算出余弦值或角度的记满分,如果学生考虑周密认为只能设AD为字母参数而算不出结果也得满分。

命题组给大家带来麻烦还敬请谅解)
20.【解答】解：(1)由题意得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
=
2
2
2
2
2
2
c
b
a
a
c
b
.........................................2分
解得⎪⎩
⎪
⎨⎧===2222c b a ........................................4分
所以椭圆方程为
.........................5分
方法二：由2
1
2
2=
=
=
a
c e
得c a 2=....................................1分
c
c a b =-=∴22..............................................................
.......................2分
由椭圆经过点P(0,2))得2==c b ...................................3分
所以
a =..............4分 所以椭圆方程为22
84
1y x +
= ..................................................5分
(2)由题知直线
的斜率存在,不妨设为
,则
：
.........................6分
若
时,直线
的方程为
, 的方程为
,易求得
,
,此时
........................................7分
若
时,则直线
：
.
圆心
到直线
的距离为
.
直线
被圆
截得的弦长为
.......................................8分
.由 ,
得 ,
故
......................................
.9分 所以
.......................................10分
当 时上式等号成
立......................................11分 因为 ,
所以
面积取得最大值时直线 的方程应该是
.....................................12分
【分析】(1)结合椭圆的基本性质列方程,即可得出答案。

(2)分k ＝0和k 不为0两种情况讨论,结合直线l 1的方程和圆方程,用k 表示|AB |的长,结合直线l 2和椭圆方程,利用所截的弦长为
,表示线段PD ,结合三角形面积计算公式,即可得出答案。

21 【解答】解：(1)'()2x
f x e ax =-,.................................1分 由题设得,'(1)2f e a b =-=,(1)1f e a b =-=+,...........2分
解得,1,2a b e ==-. ................................3分
（2）法1：由(1)知,2)(x e x f x -=,f ()2x x e x '=-.........4分 因为当0≥x 时1+≥x e x ,所以当[]1,0∈x 时,
01212)('≥-=-+≥-=x x x x e x f x ,
故()f x 在[]0,1上单调递增,.................................5分 所以max ()(1)1f x f e ==-.................................6分
法2：由(1)知,2(),'()2,''()2x x x f x e x f x e x f x e =-∴=-=-,.........4分
'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增,
所以,'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->
所以)(x f 在[]1,0上单调递增,...........................5分 所以,1)1()(max -===e f x f . ...........................6分
（3）因为(0)1f =,又由(2)知,()f x 过点(1,1)e -, 且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ,
故可猜测：当1,0≠>x x 时,)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.........7分 下证：当0x >时,()(2)1f x e x ≥-+,
设()()(2)1,0g x f x e x x =--->,则'()2(2),''()2x x g x e x e g x e =---=-, 由(2)知,'()g x 在()0,ln 2上单调递减,在()ln 2,+∞上单调递增,
又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<, 所以存在()00,1x ∈,使得0)(0'=x g
所以当()
()00,1,x x ∈+∞时,'()0g x >；当0(,1)x x ∈,'()0g x <,
故()g x 在()00,x 上单调递增,在()0,1x 上单调递减,在()1,+∞上单调递增,
又2
(0)(1)0,()(2)10x g g g x e x e x ==∴=----≥(当且仅当1x =时取等号)
故
(2)1
,0x e e x x x x
+--≥>.............................10分
因为当0≥x 时1+≥x e x ,故当0>x 时ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥,
当且仅当1x =时取等号,所以当0>x 时
(2)1
ln 1x e e x x x x
+--≥≥+,
即
(2)1
ln 1x e e x x x
+--≥+,所以(2)1ln x e e x x x x +--≥+,
即(1)ln 10x
e e x x x +---≥成立(当1x =时等号成立). ……12分
22【答案】解：(Ⅰ)消去参数φ 得到1C 的普通方程为
22(x (1)1y +-=..........................2分
再将cos x ρθ=,y sin ρθ= 代入 1C 的普通方程中,得到1C 的极坐标方程为
22sin )30ρθθρ++=—（...............................................
.......................4分
(Ⅱ)将=θα 代入22sin )30ρθθρ++=—（ , 得
22sin )30ρααρ++=—（...............................................
......................6分
令2=2sin )120αα∆+->（ ,得126sin(2)1π
α<+≤ ,
已知20πα<< ,解得
30πα<< ..................................................................
....7分
设 1212(,)()A
B ραραρρ>（，）和,则
122sin ρραα+=+,12=3ρρ
则
12ρρ—............................................8分
所以122
112
1
11
1
OB
OA
ρρρρρρ--
=
-=
=
......................9分
又 126sin(2)1πα<+≤,所以当 6sin(2)=1π
α+
即6=πα 时
11OB OA —的最大值为
23
................................................10分
【解析】(1)将参数方程化成普通方程,再利用cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
代入,化简,即可得出答案;
(2)把题目所求的式子转化成三角函数的形式,再求三角表达式的最大值,即可得出
答案。