广东省广州市2017-2018学年高二上学期学业水平测模拟C卷数学试题(解析版)

广州市高中二年级学生学业水平模拟测试C
一、选择题
1. 已知集合，集合，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
2. 已知，，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则：.
本题选择D选项.
3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图可得，该几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥所得的几何体，
其中三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2，
三棱锥底面是边长为2的正三角形，高为1，
该几何体的体积：.
本题选择A选项.
点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
4. 已知过A(－1，a)，B(a,8)两点的直线与直线2x－y＋1＝0平行，则a的值为( ).
A. －10
B. 17
C. 5
D. 2
【答案】D
【解析】由题意结合直线平行的充要条件可得：，
结合斜率公式有：，
解得：.
本题选择D选项.
5. 执行如图所示的程序框图，那么输出的值为（）
A. 9
B. 10
C. 45
D. 55
【答案】D
【解析】阅读流程图可得该流程图的功能是计算：的值，
结合等差数列前n项和公式可得：输出的值为.
本题选择D选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．
6. 某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：根据分层抽样的定义，即可得到结论．
解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，
∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，
故选：D．
点评：本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．
7. 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(，)图像的一部分.为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
【答案】A
【解析】很明显，
结合函数的图象可得：，则，
当时，，
令可得：，
故三角函数的解析式为：，
据此可知，要得到此函数的图象，
只需将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.
本题选择A选项.
点睛对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成，最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向．
8. 已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则等于（）
A. -2
B. -6
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】由题意可得：，
利用平面向量数量积的坐标运算法则有：.
本题选择A选项.
9. 在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若,b+c=7,cosB=,则=（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】A
【解析】由题意结合余弦定理可得：，①
由可知：，②
代入①式可得：，
求解关于边长的方程可得：.
本题选择A选项.
10. 等差数列,的前项和分别为,，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意结合等差数列的性质有：
.
本题选择C选项.
二、填空题
11. 若函数的零点在区间上,则的值为________.
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为：
导函数：，则函数在定义域内单调递增，
且：，
结合函数零点存在定理可得.
点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
12. 若圆与圆外切，则的值为_______.
【答案】2
【解析】两圆外切，则圆心距等于半径之后，即：.
13. 已知向量=（-1，2），=（3，），若⊥，则=___________.
【答案】4
【解析】由题意可得：
由向量垂直的充要条件结合向量的坐标运算法则可得：
，
求解关于实数的方程可得：.
14. 若实数a、b满足，则的最小值是_______
【答案】
【解析】由指数函数的性质可知：，
结合均值不等式的结论有：，
当且仅当时等号成立，
综上可得，的最小值是6.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
三、解答题
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得；
(2)利用二倍角公式可得，则.
试题解析：
（1）因为，所以，于是
（2）因为，故
所以中.
16. 某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机抽取名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表.
（1）求、、的值；
（2）若从第三、四、五组中用分层抽样方法抽取名学生，并在这名学生中随机抽取名学生与张老师面谈，求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率
【答案】（1），，；（2）.
【解析】试题分析：（1）先根据相应组的频数除以样本总容量等于相应组的频率列式求出、、的值；（2）先利用分成抽样的方法确定从第三、四、五组抽取的人数，并将从每组抽取的人进行编号，利用列举法将所有的基本事件列举出，并确定基本事件总数，然后确定问题中设计事件的基本事件及其数目，利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率.
试题解析：（1）依题意，得，，，
解得，，；
（2）因为第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，
则第三、四、五组分别抽取名，名，名.
第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，
则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，
，，，，，，，，
其中第三组的名学生、、没有一名学生被抽取的情况有种，具体如下：、、，
故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为.
考点：1.分层抽样；2.古典概型
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱⊥底面，，是的中点，为的中点.
（1）证明：平面
（2）若为直线上任意一点，求几何体的体积；
【答案】（1）证明见解析；（2）4
【解析】试题分析：
(1)
由题意结合几何关系可得，利用线面平行的判断定理可得平面
(2)由题意结合(1)的结论有：.
试题解析：
（1）连结交与，连结.
∵底面是正方形，∴点是的中点.
又∵是的中点∴在△中，为中位线∴∥.
而平面，平面，∴∥平面.
（2）∥平面，
18. 已知⊙C经过点、两点，且圆心C在直线上.
（1）求⊙C的方程；
（2）若直线与⊙C总有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)解法1：由题意利用待定系数法可得⊙C方程为.
解法2：由题意结合几何关系确定圆心坐标和半径的长度可得⊙C的方程为.
(2)解法1：利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到关系k的不等式，求解不等式可得. 解法2：联立直线与圆的方程，结合可得.
试题解析：
（1）解法1：设圆的方程为，
则，
所以⊙C方程为.
解法2：由于AB的中点为，，
则线段AB的垂直平分线方程为
而圆心C必为直线与直线的交点，
由解得，即圆心，又半径为，
故⊙C的方程为.
（2）解法1：因为直线与⊙C总有公共点，
则圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，
将其变形得，
解得.
解法2：由，
因为直线与⊙C总有公共点，则，
解得.
点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
19. 设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n满足且
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式：
（2）设T n为数列{S n}的前n项和，求T n.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：
(1)由题意结合通项公式与前n项和公式之间的关系可得，结合数列的通项公式可得数列
的通项公式为.
(2)由题意可得，分组求和可得.
试题解析：
（1）由，，
，即，
又，故.
，，公差，
.
（2），所以数列其前项和，
.
20. 已知函数.
（1）作出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间；以及在各单调区间上的增减性.
（2）求函数当时的最大值与最小值.
【答案】(Ⅰ)单调区间，，，，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增。

(Ⅱ)最小值最大值
【解析】试题分析：
(1)由题意结合函数的解析式绘制函数图象，然后结合图象可得函数的单调区间和函数的单调性；
(2)
结合函数图象可得函数的最小值为，最大值为.
试题解析：
(Ⅰ)当时，增区间为，减区间为，当时，增区间为，减区间为
（Ⅱ）结合图像可知最小值，最大值。