高考数学一轮复习 第六章数列6.4数列的通项与求和收尾精炼 理 新人教A版

2014届高考一轮复习收尾精炼： 数列的通项与求和
一、选择题
1．已知函数f (n )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2
，当n 为正奇数时，
－n 2
，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3
＋…＋a 100等于( )．
A ．0
B ．100
C ．－100
D ．10 200
2．数列112，214，318，41
16，…的前n 项和为( )．
A ．12n ＋n 2＋n 2
B ．－12n ＋n 2
＋n 2
C ．－12＋n 2
＋n 2＋1 D ．－12＋n 2＋n 2
3．在10到2 000之间，形如2n (n ∈N *
)的各数之和为( )．
A ．1 008
B ．2 040
C ．2 032
D ．2 016
4．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等于( )．
A ．(3n －1)2
B ．12(9n －1)
C ．9n
－1 D ．14
(3n －1)
5．如果一个数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝h (h 为常数，n ∈N *
)，则称数列{a n }为等和数列，h 为公和，S n 是其前n 项和．已知等和数列{a n }中，a 1＝1，h ＝－3，则S 2 011等于( )．
A ．3 014
B ．3 015
C ．－3 014
D ．－3 015
6．设函数f (x )＝x m
＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1f
n (n ∈N *)的前n 项和是( )．
A ．n n ＋1
B ．
n ＋2
n ＋1 C ．
n
n －1
D ．n ＋1n
7．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
等于( )． A ．n n ＋2 B ．－n n ＋2
C ．(－1)n ＋1n n ＋2
D ．以上答案均不对 二、填空题
8．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *
)，则S 100＝__________. 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________. 10．(2013届湖南雅礼中学月考)如图所示，将数以斜线作如下分类：(1)，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第1类，第2类，第3类，第4类，第5类，…，… (1)第6类中的第2__________
(2)第n类中n个数的和是：__________.
三、解答题
11．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2S n ＝3a n－3.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列{b n}的通项公式是b n＝1
log3a n·log3a n＋1
，前n项和为T n，求证：对于任意的正整数n，总有T n＜1.
12.已知数列{a n}和{b n}中，数列{a n}的前n项和为S n.若点(n，S n)在函数y＝－x2＋4x 的图象上，点(n，b n)在函数y＝2x的图象上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.
参考答案
一、选择题
1．B 解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002
－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.
2．C 解析：由题意，得a n ＝n ＋1
2
，
∴S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
4
＋ (12)
＝n (n ＋1)2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－
1
2
＝n 2
＋n 2＋1－12n .
故选C.
3．C 解析：S ＝24＋25＋…＋210＝24(1－27)1－2
＝(27－1)·24
＝2 032.
故选C.
4．B 解析：因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1
－1(n ≥2)．
则n ≥2时，a n ＝2·3n －1
.
当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *
)．
则数列{a n 2
}是首项为4，公比为9的等比数列．
∴a 12＋a 22＋…＋a n 2
＝4(1－9n
)1－9
＝12
(9n
－1)． 故选B.
5．C 解析：由公和h ＝－3，a 1＝1，得a 2＝－4， 并且数列{a n }是以2为周期的数列，
则S 2 011＝1 005(a 1＋a 2)＋a 1＝－3 015＋1＝－3 014.
6．A 解析：∵f ′(x )＝mx m －1
＋a ， ∴m ＝2，a ＝1.
∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2
＋n .
∴1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
. ∴S n ＝1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n －1)＋1
f (n )
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.
7．C 解析：当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－(2n －1)＝－n
2
(3＋2n －1)
2＝－n (n ＋1)
2
；
当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2
＝－n －1
2[3＋2(n －1)－1]2＋n 2
＝n (n ＋1)2，
综上可得，1－4＋9－16＋…＋(－1)
n ＋1n 2
＝(－1)n ＋1n (n ＋1)
2
.
故选C.
二、填空题
8．2 600 解析：由已知，得a 1＝1， a 2＝2， a 3－a 1＝0， a 4－a 2＝2， …
a 99－a 97＝0， a 100－a 98＝2，
累加得a 100＋a 99＝98＋3， 同理得a 98＋a 97＝96＋3，…， a 2＋a 1＝0＋3，
则a 100＋a 99＋a 98＋a 97＋…＋a 2＋a 1 ＝50×(98＋0)2
＋50×3
＝2 600.
9．9 解析：∵a n ＋1＝3S n ， ∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．
两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n ，即
a n ＋1
a n
＝4. ∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3，
∴n ≥2时， a n ＝3·4n －2
， S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3(1＋4＋…＋48
)＝1＋3×1－49
1－4
＝1＋49－1＝49
.
∴log 4S 10＝lo g 449
＝9.
10．(1)48 (2)3·2n
－2n －3 解析：由题意数列可以转化为：
1 2 3 4 6 5
8 12 10 7
16 24 20 14 9
32 48 40 28 19 11 …
类似杨辉三角，可知每一列都是等比数列，每一行最后一个数是等差数列，公差为2，
所以第6类中的第2项是：3×24
＝48.
第n 个群中n 个数的和为：S n ＝1×2n －1＋3×2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －1)·20
，①
2S n ＝1×2n ＋3×2n －1＋5×2n －2＋…＋(2n －1)·21
，②
②－①得，S n ＝2n ＋2×2n －1＋2×2n －2＋…＋2×21
－2n ＋1 ＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋22
－2n ＋1
＝2n
＋4(1－2n －1
)1－2－2n ＋1
＝3·2n
－2n －3. 三、解答题
11．(1)解：由已知得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3，(n ≥2)． 故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1， 即a n ＝3a n －1(n ≥2)．
故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，
∴a 1＝3.∴a n ＝3n
.
(2)证明：∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
.
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1＜1. 12．解：(1)由已知得S n ＝－n 2
＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.
(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n
.
T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，
2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1
， 两式相减得
T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝23(1－2n －1)1－2
＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6
＝(7－2n )·2n ＋1
－14.。