2021届高三新高考数学人教A版一轮复习：第九章第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

答案 B
6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0 与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析 根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)， 则|AB|＝ （－2－0）2＋（－1－3）2＝2 5，
|AC|＝ （－2－0）2＋（－1－m）2＝ 4＋（m＋1）2，|BC|＝|m－3|. ∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A， ∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. 即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2. 因此 r＝|AC|＝ 4＋（－2＋1）2＝ 5. 答案 －2 5
2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB| ＝2 r2－d2. (2)代数法：设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线 方程代入圆的方程中，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM·xN，则 |MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM·xN.
解析 (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件； (2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(老教材必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系 __d_＞__R_＋__r__ __d_＝__R_＋__r_
公切线条数
4
3
__R_－__r_＜____ __d_＜__R_＋__r__
2
_d_＝__R_－__r_ __d_＜__R_－__r_
1
0
[常用结论与微点提醒] 1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－ b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋ y0y＝r2.
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个 圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步 了解用代数方法处理几何问题的思想.
知识梳理 1.直线与圆的位置关系
设圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线 l：Ax＋By＋C＝0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距 离为 d，由（ Axx＋－Bay）＋2C＋＝（0y－b）2＝r2，
消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 图形
量化
方程观点 几何观点
相离
Δ__<__0 d__>__r
Hale Waihona Puke 相切Δ__＝__0 d_＝___r
相交
Δ__>__0 d__<__r
2.圆与圆的位置关系 设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用 下表表示：
3.(老教材必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为
________.
解析 由xx22＋ ＋yy22－ －44＝ x＋04，y－12＝0得两圆公共弦所在直线方程 x－y＋2＝0.又圆 x2＋
y2＝4
的圆心到直线
x－y＋2＝0
的距离为
2＝ 2
2.由勾股定理得弦长的一半为
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P， A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
4－2
＝ 2，所以，所求弦长为 2 2.
答案 2 2
4.(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝ ()
A.21
B.19
C.9
D.－11
解析 圆 C1 的圆心为 C1(0，0)，半径 r1＝1，因为圆 C2 的方程可化为(x－3)2＋(y－
4)2＝25－m，所以圆 C2 的圆心为 C2(3，4)，半径 r2＝ 25－m(m<25).从而|C1C2|＝
点，则|AB|＝______.
解析 由 x2＋y2－2x－4y＝0 得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，
半径 r＝
5.又圆心(1，2)到直线 3x－y－6＝0 的距离为 d＝|3－92＋－16|＝
210，由|A2B|
2＝
r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝ 10. 答案 10
考点一 直线与圆的位置关系
多维探究
角度1 位置关系的判断
【例1－1】 在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：
C.6±2 2
D.6±2 3
解析 因为圆的半径是 r＝2，圆心坐标是 C(3，－ 3)，∠MPN＝π3，且 P 在圆 C 上，
所以∠MCN＝23π，则|MN|＝2 3.又点 C 到直线 l 的距离 d＝|3＋13＋－3a|＝|a－2 6|，|M2N|2
＋d2＝r2，所以( 3)2＋（a－4 6）2＝4，则 a＝6±2，即 a＝4 或 8.
32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即 1＋ 25－m＝5，解得 m＝9. 答案 C
5.(2020·合肥质检)已知直线 l：x－ 3y－a＝0 与圆 C：(x－3)2＋(y＋ 3)2＝4 交于点 M，
N，点 P 在圆 C 上，且∠MPN＝3π，则 a 的值为(
)
A.2 或 10
B.4 或 8