内蒙古乌丹一中2018-2019学年高二上学期10月月考数学(理)试卷

乌丹一中第二次阶段性考试理科数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|log
2
x＞1}，B＝，则x∈A是x∈B的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.已知命题p:∀x≥9,log
3
x≥2,则下列关于命题的说法中,正确的是( )
A. :∀x≥9,log
3
x≤2为假命题
B. :∀x<9,log
3
x<2为真命题
C. :∃x
0≥9,log
3
x
<2为真命题
D. :∃x
0≥9,log
3
x
<2为假命题
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. 4x±9y＝0
B. 9x±4y＝0
C. 3x±2y＝0
D. 2x±3y＝0
4.已知空间直角坐标系中,A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),则点P(m,n,3)到平面ABC的距离是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5．抛物线错误！未找到引用源。

的准线方程为（）
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

6.若双曲线与椭圆有共同的焦点,且a>0,则a的值为( )
A. 5
B.
C.
D.
7．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为2
3
的直线与C交于
M，N两点，则FM FN
=（）
A．5 B．6 C．7
D．8
8．P是椭错误！未找到引用源。

P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

9.若椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在的直线方程为( )
A. x－2y＝0
B. 2x＋y－10＝0
C. 2x＋13y－34＝0
D. x＋2y－8＝0
10.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,P为平面ABCD外一点,若PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
11.已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若|AF|<|BF|，则＝( )
A. B. C. D.
12.设F1，F2是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一
点P，使(O为坐标原点)，且|PF
1|＝|PF
2
|，则双曲线的离心
率为( )
A. B. ＋1 C. D. ＋1
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13．空间直角坐标系中，已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当错误！未找到引用源。

取最小值时，点P的坐标为__________．
14．已知错误！未找到引用源。

是椭圆错误！未找到引用源。

的左焦点，错误！未找到引用源。

为椭圆错误！未找到引用源。

上任意一点，点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最大值为__________．
15．在直三棱柱ABC-A'B'C'中,所有的棱长都相等,M为B'C'的中点,N为A'B'
的中点,则AM 与BN 所成角的余弦值为_____________
16.已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于
点N 。

若M 为FN
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知命题p ：实数满足22450(0)x ax a a --<>， q ：实数x 满足
22
560{
560
x x x x --≤-+>
（1）若q 为真命题，求实数的取值范围.
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（12分）已知双曲线C ： 22
221x y a b
-=（0,0a b >>长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求OAB ∆的面积．
19．（12分）在四棱锥错误！未找到引用源。

中,平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,四边形错误！未找到引用源。

是边长为错误！未找到引用源。

的菱形，错误！未找到引用源。

,错误！未找到
引用源。

是错误！未找到引用源。

的中点.
(1)求证: 错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；
(2)求平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成的锐二面角的余弦值.
20. （12分） 已知定点错误！未找到引用源。

，定直线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

，动点错误！未找到引用源。

到错误！未找到引用源。

的距离比错误！未找到引用源。

到F 的距离大1.
（Ⅰ）求动点错误！未找到引用源。

的轨迹错误！未找到引用源。

的方程； （Ⅱ）过点错误！未找到引用源。

作两条倾斜角互补的直线分别交轨迹错误！未找到引用源。

于异于点错误！未找到引用源。

的两点错误！未找到引用源。

，试证明直线错误！未找到引用源。

的斜率为定值，并求出该定值。

21．
（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，
O 为AC
的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
22．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆
22
1
43
x y
C+=
：交于A，B两点．线段AB
的中点为(1,)(0)
M m m>．
（1）证明：
1
2
k<-；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA FB
++=0．证明：2||||||
FP FA FB
=+．
乌丹一中第二次阶段性考试理科数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|log
2
x＞1}，B＝，则x∈A是x∈B的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【详解】由log2x＞1，解得x＞2，由可化为，即(x＋1)(x－2)＞0，解得x＞2或x＜－1.则x∈A是x∈B的充分不必要条件．
2.已知命题p:∀x≥9,log
3
x≥2,则下列关于命题的说法中,正确的是( )
A. :∀x≥9,log
3
x≤2为假命题
B. :∀x<9,log
3
x<2为真命题
C. :∃x
0≥9,log
3
x
<2为真命题
D. :∃x
0≥9,log
3
x
<2为假命题
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，
所以,，
为真命题,
为假命题，故选D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. 4x±9y＝0
B. 9x±4y＝0
C. 3x±2y＝0
D. 2x±3y＝0
【详解】由方程知，所以渐近线方程为，即，故选C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及渐近线方程，属于中档题.
4.已知空间直角坐标系中,A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),则点P(m,n,3)到平面ABC的距离是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【详解】因为空间直角坐标系中 ,
所以都在平面上,
根据空间点的坐标的几何意义可知，
点到平面的距离是3，故选D.
5．抛物线错误！未找到引用源。

的准线方程为（）
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

详解：将错误！未找到引用源。

化为错误！未找到引用源。

，
则该抛物线的准线方程为错误！未找到引用源。

．故选D
6.若双曲线与椭圆有共同的焦点,且a>0,则a的值为( )
A. 5
B.
C.
D.
【详解】双曲线的焦点为,
所以椭圆的焦点为，
，解得，
又，故选A.
7．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为2
3
的直线与C交于
M，N两点，则FM FN
=（）
A．5 B．6 C．7
D．8
选D
8．P是椭错误！未找到引用源。

P作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则PM的中点的轨迹方程为()
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

详解：中点坐标为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，因错误！未找到引用源。

在椭圆上，故错误！未找到引用源。

，故选B.
9.若椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在的直线方程为( )
A. x－2y＝0
B. 2x＋y－10＝0
C. 2x＋13y－34＝0
D. x＋2y－8＝0
【详解】设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆方程并相减得
,因为x1+x2=8，y1+y2=2，所以k=,所以，所求直线方程为
x+2y-8=0，选择D
10.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,P为平面ABCD外一点,若PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系,
则，
易知平面的一个法向量为,
，
与平面所成的角为，故选A.
11.已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线，与抛物线交于A，B两点，若|AF|<|BF|，则＝( )
A. B. C. D.
【详解】如图，
作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，则AA1∥OF∥BB1，∴＝，又∵x A＜0，x B＞0，∴＝－ .设直线AB的方程为，与x2＝2py联立
得x2－px－p2＝0，得x A＝－p，x B＝p，∴＝.
12.设F1，F2是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一
点P，使(O为坐标原点)，且|PF
1|＝|PF
2
|，则双曲线的离心率
为( )
A. B. ＋1 C. D. ＋1
详解：，，
，，，
在中，，|PF1|＝|PF2|，，
由双曲线的定义得，，
，
，
.
故选：D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13．空间直角坐标系中，已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当错误！未找到引用源。

取最小值时，点P的坐标为__________．
【详解】
设P(x,0,0)，则＝(x－1，－2,0)，＝(x，－1,1)，
·＝x(x－1)＋2＝(x－)2＋，
∴当x＝时，·取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)．
故答案为：(错误！未找到引用源。

，0,0)
14．已知错误！未找到引用源。

是椭圆错误！未找到引用源。

的左焦点，错误！未找到引用源。

为椭圆错误！未找到引用源。

上任意一点，点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的最大值为__________．
【解析】
∵点错误！未找到引用源。

为椭圆错误！未找到引用源。

的左焦点，∴错误！未找到引用源。

，设椭圆的右焦点错误！未找到引用源。

，
∵点错误！未找到引用源。

为椭圆错误！未找到引用源。

上任意一点，点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，又∵错误！未找到引用源。

，
∴错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

的最大值为错误！未找到引用源。

，此时错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

共线．
故答案为：错误！未找到引用源。

15．在直三棱柱ABC-A'B'C'中,所有的棱长都相等,M为B'C'的中点,N为A'B'的中点,则AM与BN所成角的余弦值为_____________
【详解】
以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，
所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设直三棱柱中,所有的棱长都为2,
则，
，
设与所成角为，
则，故选B.
16.已知F是抛物线C:28
=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于
y x
点N。

若M为FN
【答案】6
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知命题p ：实数
满足22450(0)x ax a a --<>， q ：实数x 满足
22
560
{560
x x x x --≤-+> （1）若q 为真命题，求实数的取值范围.
（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数的取值范围. 试题解析：
（1）2
56016x x x --≤⇒-≤≤
25603x x x -+>⇒>或2x <
36x ∴<≤或12x -≤<
（2）是
的充分不必要条件
是的充分不必要条件
化简
():,5(0)p x a a a ∈->， 设
()[)(]
,5;1,23,6A a a B =-=-⋃
则B A ⊆且A B ≠
1{56a a -<-⇒> 65a ∴>
18.已知双曲线C ： 22
221x y a b
-=（0,0a b >>
4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点()0,1，倾斜角为045的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点， O 为坐标原点，求OAB ∆的面积． 试题解析：
(1)
依题意可得222{24 c
a
b c a b ===+，
解得1,2,a b c ===
∴双曲线的标准方程为2
2
1
4y x -=．
(2)直线l 的方程为1y x =+，
由221,
{
44,y x x y =+-=可得2
3250x x --=， 设
()
11,A x y 、
()
22,B x y ，
则
1223x x +=
， 125
3x x =-，
∴
3AB ===
又原点到直线l 的距离为
2d =
，
∴
114
22323OAB S AB d ∆=
⋅⋅=⨯=。

19．在四棱锥错误！未找到引用源。

中,平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,四边形错误！未找到引用源。

是边长为错误！未找到引用源。

的菱形，错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的中点.
(1)求证: 错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；
(2)求平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成的锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）连接错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的中点，得错误！未找到引用源。

，由平面错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，可得错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，又由于四边形错误！未找到引用源。

是边长为2的菱形，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，从而错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

.
（2）以错误！未找到引用源。

为原点，错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用源。

轴，建立空间直角坐标系，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，有错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，令平面错误！未找到引用源。

的法向量为错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

，可得一个错误！未找到引用源。

，同理可得平面错误！未找到引用源。

的一个法向量为错误！未找到引用源。

，所以平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成锐二面角的余弦值为错误！未找到引用源。

.
20. 已知定点错误！未找到引用源。

，定直线错误！未找到引用源。

：错误！未找到引用源。

，动点错误！未找到引用源。

到错误！未找到引用源。

的距离比错误！未找到引用源。

到F的距离大1.
（Ⅰ）求动点错误！未找到引用源。

的轨迹错误！未找到引用源。

的方程；（Ⅱ）过点错误！未找到引用源。

作两条倾斜角互补的直线分别交轨迹错误！未找到引用源。

于异于点错误！未找到引用源。

的两点错误！未找到引用源。

，试证明直线错误！未找到引用源。

的斜率为定值，并求出该定值。

【详解】
（Ⅰ）设点错误！未找到引用源。

到直线x=-1的距离为错误！未找到引用源。

，依题意错误！未找到引用源。

设错误！未找到引用源。

，则有错误！未找到引用源。

化简得错误！未找到引用源。

所以点错误！未找到引用源。

的轨迹错误！未找到引用源。

的方程为错误！未找到引用源。

（Ⅱ）设直线错误！未找到引用源。

的斜率为错误！未找到引用源。

，则直线错误！未找到引用源。

的斜率为错误！未找到引用源。

.令错误！未找到引用源。

， 联立方程组：错误！未找到引用源。

，消去错误！未找到引用源。

并整理得：错误！未找到引用源。

设错误！未找到引用源。

，因为点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，
从而点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，用错误！未找到引用源。

去换点错误！未找到引用源。

坐标中的错误！未找到引用源。

可得点错误！未找到引用源。

的坐标为错误！未找到引用源。

，所以直线错误！未找到引用源。

的斜率为错误！未找到引用源。

21．
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．解：
（1）因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =
连结OB
．因为2
AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=． 由222OP OB PB +=知PO OB ⊥． 由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC ．
（2）如图，以O 为坐标原点，OB uu u r
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．
由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r
取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r
．
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-u u u r
．
设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n ．
由0,0AP AM ⋅=⋅=u u u r u u u r n n
得20(4)0
y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩
，可取,)a a =--n ，
所以cos ,OB =
uu u r
n ．
由已知可得|cos ,|OB =uu u r n ．
2
．解得4a =-（舍去），43a =．
所以4
()3
=-n ．
又(0,2,PC =-u u u r ，所以cos ,4PC =uu u r n
所以PC 与平面PAM 22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +
=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：
2||||||FP FA FB =+．
22．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +
=，22
22
143
x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212
043
x x y y k +++⋅=． 由题设知
1212x x +=，122y y m +=，于是3
4k m
=-
． 由题设得302m <<
，故1
2
k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．
由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =
，从而3
(1)2
P -，，3||=2FP uu r ．
于是1||22
x FA =-uu r ．
同理2||=22
x
FB -uu r ．
所以121
4()32
FA FB x x +=-+=u u r u u r ．
故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ．。