滤波器结构鲁棒设计

2 2 将 （ "+ ） 、 （ ", ） 代入 （ "- ） ， 则得一系列等式， 再将 （ "( ） 考虑计入， 使得其第一阶固有频率对于制造偏差 的敏感性为零， 就得到解决结构参数的限制条件。参 数的数量远大于方程个数， 因此这些方程是不确定方 程， 有很大的设 计 自 由。从 几 何 及 制 造 工 艺 方 面 考 虑， 假设鲁棒补偿孔个数为 , $ ,， 设计得到简化。基 于整体配置尺寸的考虑， 可先设定参数 3、 .、 连接处 参数 $ ! $ & !、 及根据静电力和梳齿尺寸决定的 ( ) ， &， ’。由 #， % 与 .， ( 的关系可知， 在设计其尺寸可由整 体尺寸加以限定， 令 % - 4#。而梳齿部分整体的宽度 不能超过谐振器质量块的宽度， 即 (（ ) ’ 1 * ）5 ( 。因 &， ’， 参数 !， "， ,， 4 待定。满 此已确定的参数有 3， () ， 足第一阶固有频率对制造偏差的敏感性为 零： +! 5 ( 0。即 +, !& 1 ( ) & （ $ ’ / ! ）/ "- !" 1 （ # 1 %） （ % !" / & ,! / $ ," ） 1$ （ # / "） （ % / "） "& 1 "& !,# 1 $ ,#% （ & " 1 ,）- （ $ ’ / ! ）1 （ 4# / " ） （ # / "） "& 1 +, !& 1 ( ) & 62 2 $ ［ （ % ! / $ ,） （ 4 1 "） # / "- !］ "/ ( 4,#& " 1 $ ,& 4#& 1 & ,! （ 4 1 "） # 1 "& !,# - （ ". ） 观察上式， 注意到其中前五项是远远大于零的 （ 对于 含有 , 的项中由于 #& 是远大于零的） ， 因此后三项应 该为负时才有解， 因此有： ［ （ % ! / $ ,） （ 4 1 "） # / "- ! ］ " 1 & !,# （ % / 4）5 -! 得到： !6 "6 & ,# （ % / 4）/ $（ , 4 1 "） # 或 # "- " / % （ 4 1 "）
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& , 为耦合梁的宽度。梳状 式中 ) % 为耦合梁的长度，
［ (］ 为 振子等效质量
" " （ &% $ $ $ ） （ & %% $ $ $） $ ］ $ (・ ［ )" )" % （ ’" ） ! !（ $ $） （ 3% 1 # &% ） ・$ $ * #) （ &% $ $ $ ） ］ ［ " -% $
关键词： )*)+， 谐振器 # 滤波器， 梳状谐振器， 结构鲁棒设计
中图分类号： ,$-. ， /0.&$! ! ! 文献标识码： 1
&! 引! ! 言
微机械谐振器 $ 滤波器由于具有优异的性能和巨 大的应用前景， 使得各国学者纷纷开展研究， 提出了
［ " 2 -］ 许多种结构形式的微机械滤波器 。由于频率选
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第" 期
杨! 华等： 考虑微加工误差的微机械谐振器 # 滤波器结构鲁棒设计 ’
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“ 鲁棒补偿孔” 以满足式 （ "& ） ， 如图 & 。现设定边壁厚 度等于折叠梁宽度 !， 推导折叠宽度 ! 与补偿孔壁厚 "、 补偿孔数量 # $ % 的关系。 矩形振子的结构尺寸参数见图 $ ， 单位 !’， 结构 对称。现设梳齿长 &， 梳齿宽 ’， 梳齿个数 ( ) ， 梳齿间 距 *， 折叠梁宽度 !， $ ! $ & ! 为折叠梁与振子连接部分 面积。取鲁棒补偿孔尺寸为 + $ ,， 均匀对称分布， 数 量为 # $ % （ #， % 为正整数） ； 补偿孔之间壁厚为 "， 边 壁厚为 !。需要确定的参数： 鲁棒补偿孔面积 + $ ,、 壁 厚 " 和鲁棒补偿孔 # $ %。其内部的尺寸： +(/ （ % / "） " / &! ./ （ # / "） " / &! ， ,（ "( ） # % （"+）
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如果能合理设计梳状振子的几何形状， 使
%!（ ’ $） %$ $ !% ! %， 则误差 $ 对第一阶固有频率的影响将为二次小， $ &% ( %!（ ’ ’ $） ! "・ " " 1 $ （ %$ " -% $ * #)&% ）) $ !%
［ (］ 。 - 为梳状振子面积， 为等效质量面积 # ! % / "* 是 ［ (］ （#） 、 （&） 、 对应于折 叠 梁 的 等 效 面 积 系 数 。将 式
（)） 代入式 （$） 和 （"） 得 !’ !
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’ / $! 固有频率对工艺误差的灵敏度模型 微加工工艺过程， 常见的误差主要是因为腐蚀不 足或过度， 微结构周边及上、 下面 （ + 方向） 出现一层 等厚度 $ 误差。由式 （+） 、 （*） 知， 微结构 + 方向 （厚 度方向） 尺寸 ’ 的制造误差对固有频率没有影响。在 误差影响下， 梁的实际宽度 & ! &% $ $ $， &% 是梁的理想 （ 0% ） ・ $ $ * #) ・ （ &% $ 宽度； 等效质量面积 - . ! -% $ 0% 是梳振子的理想周 $ $） ， -% 是梳状振子的理想面积， 开近似为万方数据 长。则第一阶固有频率 ［式 （+） ］ 可以用 ,-./01 线性展
［ "］ ［ 5］ 出电流为 ： *1
择的需要， 微机械滤波器带宽必须非常精确， 这就要 求固有频率必须十分精确。但由于微加工工艺误差 的影响， 固有频率不可能是理想值， 如一个典型微梁 宽度制造误差可达 "& %［ (］。目前广泛采用的固有频
［ .］ ［ 3］ 率补偿方法ห้องสมุดไป่ตู้所谓的改变直流偏压的 “ 电调法” ，
考虑微加工误差的微机械谐振器 # 滤波器结构鲁棒设计 ’
杨! 华! 孙蓓蓓! 李! 普! 孙庆鸿
（ 东南大学机械工程系， 南京! %"&&’( ）
! ! 摘! 要! 基于结构鲁棒设计思想， 针对两个振动自由度的静电梳驱动折叠梁微机械滤波器， 在指定耦合梁宽度等
于振子折叠梁宽度的前提下， 推导出了两个固有频率对微梁宽度工艺误差的灵敏度模型， 得到了对工艺误差不敏感的条 件。并以矩形作为振子基本形状， 提出了振子结构鲁棒设计方法， 推导出了折叠梁宽度 !& 与补偿孔壁厚 "、 补偿孔数量 # 的重要关系。最后， 给出了设计实例。得到的相关结论对其它类型的微机械滤波器的设计也有指导意义。
# 为梳状振子 式中 " 为折叠梁刚度， " % 耦合梁刚度， $ &" ’( )" （#）
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式中 ( 为弹性模量， & 为梁的宽度 （ * 方向尺寸） ， ’为 梁的厚度 （ + 方向尺寸） ， ) 为折叠梁的长度。耦合梁
［ ’］ 刚度
响将为二次小。这个结论与文献 ［(］ 一致。 再看第二阶固有频率。在误差影响下， 耦合梁的 & ,% 是耦合梁的理想宽度， 则 实际宽度为 & , ! & ,% $ $ $， 第二阶固有频率 （式 （*） ） 为
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第" 期 第 %5 卷第 " 期
振 动 与 冲 击 杨! 华等： 考虑微加工误差的微机械谐振器 # 滤波器结构鲁棒设计 ’ 6,78019 ,: ;<=81/<,0 10> +?,@A
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［ ’］ 等效质量。折叠梁刚度
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由于 "$ #)&% 4 4 ) ・ -% ， 所以当梳状振子的理想面积 -% 和理想周长 0% 满足 3% ・&% 5) ・-% 时就有 （ ’$ ） %!（ ’ $） ! %， 误差 $ 对第一阶固有频率的影 %$ $ !%
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即 如果指定耦合梁与折叠梁具有相同的宽度 & , ! &， & ,% ! &% ， 这样的微机械滤波器结构将更加简单。则第 二阶固有频率为 ! !（ ・ （’ 2 !（ $ $） ’ $） 用 ,-./01 线性展开近似为 ［ !’ 5 !（ $ $）
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式中 " 为密度， ’ 为厚度 （ + 方向尺寸） ， - . ! - $ * #)&
它要求对每一个滤波器件都进行单独调试， 批量生产 时效率显然很低。文献 ［’］ 首次采用结构鲁棒设计方 法， 以矩形作为振子基本形状， 采用了网格状的 “ 鲁棒 补偿孔” ， 设计了单个振动自由度的微机械谐振器， 使 固有频率对典型微梁宽度工艺误差不敏感， 具有重要 的应用价值。但这种方法设计难度很大， 设计过程繁 琐， 得到的结构边壁太薄。 将结构鲁棒设计方法应用于两个振动自由度的 静电梳驱动折叠梁微机械滤波器， 在指定耦合梁宽度 等于振子折叠梁宽度的前提下， 推导出了两个固有频 率对微梁宽度工艺误差的灵敏度模型， 得到了对工艺 误差不敏感的梳状振子应满足的几何条件， 从而将文 的结论推广到了多振动自由度微振动系统， 并 献 ［’］ 以矩形作为振子基本形状， 提出了振子结构鲁棒设计 方法， 推导出了折叠梁宽度 !& 与补偿孔壁厚 "、 补偿孔 数量 # 的重要关系。这些关系对微机械滤波器的结 构设计具有重要指导意义。同文献 ［’］ 的方法相比， 本文的方法大大降低了设计难度， 简化了设计过程， 避免了边壁过薄。最后， 给出了设计实例。 !
可以忽略。而
图 ’! 静电梳驱动折叠梁硅微机械滤波器结构示意图
由于封装在真空中的微机械滤波器阻尼比很小， 所以
［ ’% ］ 微机械滤波器的两个固有频率为
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$ &" %( （ 0% $ ’) #)） ・ " "・ （ " -% $ * #)&% ）) 令上式为零可得 ) ・-% 1 3% ・&% $ "$ #)&% ! %
"! 硅微机械滤波器振动模型及固有频率对工 & 艺误差的灵敏度模型
" ’ "! 硅微机械滤波器振模型 图 " 是常见的两个振动自由度的静电梳驱动折 叠梁微机械滤波器结构示意图。该结构是一平面结 构， 在 ( 方向具有相同尺寸 （ 厚度） 。图中左端是梳状 静电驱动端， 其电容为 ) * ， 待处理的信号电压 +（ 就 * "） 加在这一端； 基底平面加有直流偏压 , - ， 且 ,- . . +* （ "） ； 两个梳状振子通过折叠梁、 锚点支承分别与基底 平面固定并高于基底平面 % !4， 两个梳状振子通过耦 合梁相连接。梳状振子在驱动端静电力作用下产生 / 向振动； 仅考虑交流项并忽略二次小项， 则静电驱动 !) 4 " ［ "］ ［ 5］ % !) * 力 。 为： 0 （ "）1 （ , - 2 + （ ） （ 5 2 ,- + * "） * "） % !3 !3 则输 右端是梳状静电感应端 （ 输出端） ， 其电容为 )& ， （ , - )& ） !)& 53 56 5 1 1 ,， 相应的放 5" 5" !3 5" !)& 53 +（ ・ 7 !8- 。为了 大电路输出电压为： & " ）1 2 , !3 5"
（ 项目批准号： -&$&-&&% ） ’ 国家自然科学基金资助项目
设计制造方便， 两个梳状振子及相应的折叠梁被设计 成具有相同的几何形状， 即具有相同的质量和刚度，
［ "& ］ 刚微机械滤波器的振动方程为
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万方数据 第一作者 ! 杨! 华! 女， 硕士生， "’3& 年 "" 月生
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因此当 （ ’$ ） 满足时， 不仅误差 $ 对第一阶固有频率的 影响是二次小， 而且对第二阶固有频率的影响也是二 次小！
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$! 微机械滤波器结构鲁棒设计方法
结构鲁棒设计的实质是， 设计出满足式 （ ’$ ） 的梳 状振子几何形状。满足式 （ ’$ ） 的几何形状有无数个 种， 但要符合实际需要的并不多。图 ’ 所示的梳状振 子几何形状非常紧凑， 不适合开设 “ 鲁棒补偿孔” 。为 此这里以矩形作为振子基本形状， 采用了网格状的