宁波市八校联考高二数学(文)试题

八校联考高二数学(文）试题
审题人 宁海中学 陈金伟
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的. 1．“1>x ”是“2>x ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．椭圆22925225x y +=焦距是 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 3．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：
①若m l ⊥则,//βα；②若βα//,则m l ⊥;③若m l //,则βα⊥;④若βα⊥则,//m l . 其中正确命题的是 （ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④
4．如图,正四面体ABC S -中，如果E 、F 分别是SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 ( ) A ．
90 B ．
45 C ．
60 D ．
30
5．设抛物线28y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A 、
B 两点，若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3，则弦AB 的为 （ ）
A ．5
B ．8
C ．10
D ．12
6．如图，已知六棱锥ABCDEF P -的底面是正六边形，AB PA ABC PA 2,=⊥平面，则下列结论正确的是
（ ） A ．AD PB ⊥
B ．PAB 平面PB
C 平面⊥ C ．直线BC ∥PAE 平面
D ．直线ABC PD 与平面所成的角为45°
7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作圆222
x y a +=的切线FM （切点为
M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是 （ ）
A B C ．2 D
8．已知各个顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ． π20 C ．π24 D ．π32
9．若直线022=+-by ax )0,0(>>b a 被圆01422
2=+-++y x y x 所截得的弦长为
4，则b a 1
1+的最小值为 （ ）
A ． 41
B ． 2
1 C ．
2 D ． 4
10．若直线4:1=+ny mx l 和圆4:2
2
1=+y x C 无公共点，则过点),(n m P 的直线2l 与
椭圆14
9:2
22=+y x C 的公共点的个数为 （ ） A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ． 0个
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11．双曲线422
2
=-y x 的焦点到渐近线的距离是 ．
B
C
S E F
（第4题）
A P
E F D C B （第6题）
12．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
抛物线上的一点)3,(-m A 到
13．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且焦点F 的距离是5，则=m ．
14．已知ABCD 是矩形，边长3=AB ，4=BC ，正方形ACEF
的边长为5，平面ACEF
⊥平面ABCD ，则多面体ABCDEF 的外接球的体积是 ．
15．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
16．设变量x 、y 满足约束条件34,|3|2y x
x y z x y x ≥⎧⎪
+≤=-⎨⎪≥-⎩
则的最大值为 ．
17．已知以)0,2(1-F 、)0,2(2F 为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且只有一个交点， 则椭圆的长轴长为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）已知命题p ：存在,R x ∈使04)1(2
<+++-a x a x ；命题q ：方程
16
32
2=---a y a x 表示双曲线.若命题“q p ∧⌝
)(”为真命题，求实数a 的取值范围.
19．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直， AC EF //，2=
AB ，1==EF CE ， 60=∠ECA
（Ⅰ）求证：BDE AF 平面//；
（Ⅱ）求异面直线DE AB 与所成角的余弦值.
20.（本小题满分14分）已知抛物线E ：)0(22
>=p py x 的准线方程是2
1-
=y （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）过点)2
1,0(F 的直线l 与抛物线E 交于Q P 、两点，设)0( ),0(<a a N ，且
（第19题）
（第12题）
1
B 1
A 1
C
A
90≤∠PNQ 恒成立，求实数a 的最大值.
21．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知2,11==BB BC ，
2
1π
=
∠BCC ，C C BB AB 11侧面⊥.
（Ⅰ）求直线B C 1与底面ABC 所成角正切值；
（Ⅱ）在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位 置， 使得1EB EA ⊥（要求说明理由）； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若2=
AB ，求二面角B EB A --1的大小.
22．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xoy 中，点B 与A )1,1(-点关于原点O 对称， P 为动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2
1-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 、BP 分别与直线3=x 交于点N M 、，问是否存在点P ，使 BM AN //，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
5分，共50分.
二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分. 11．2 12．1 13．
21 或 2
9
14．32125π
（第21题）
15． )2
2
,
0( 16．8 17．72 三、解答题：本大题共5小题，共72分．
18．解：若p 为真，则0)4(4)1(2>+-+=∆a a ，解得：53>-<a a 或
p ⌝
∴为：53≤≤-a ； ----------------------------------------------------------- 4´
若q 为真，则0)6)(3(>--a a ，解得：3<a 或6>a ---------------- 7´
因为q p ∧⌝
)(为真，所以p ⌝
与q 都为真， 可得⎩
⎨⎧><≤≤-6353a a a 或， ---- 12´
故实数a 的取值范围是：33<≤-a . --------------------------------------- 14´
19．（Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，且2=
AB ，1=∴AO ，又AC EF //，1=EF ，
EFAO ∴为平行四边形，则OE AF //，而BDE AF 面⊄，BDE OE 面⊂， BDE AF 面//∴. ---------------- 5´
（Ⅱ）解：ABCD 是正方形，CD AB //∴
EDC ∠∴为异面直线AB 与DE 所成的角或其补角-- 7´ 又ACEF ABCD AC BD ⊥⊥面,，
且AC ACEF ABCD =面面
ACEF BD 面⊥∴，又ACEF OE 面⊂，OE BD ⊥∴. -------- 10´
6011
=∠===ECA ，OA ，OC EC 由 211=
==∴ED ，OD ，OE 则又,4
3
cos 12=
∠∴==EDC ，，CE CD .---13´ 所以，异面直线AB 与DE 所成的角的余弦值为
4
3
. ----------- 14´ 20.解：（Ⅰ） 抛物线的准线方程是21-=y 2
1
2-=-∴p ， 解得 1=p ，
抛物线E 的方程是y x 22
=. ---------------------------------------------------- 4´ （Ⅱ） 设直线l 方程是2
1+
=kx y 与y x 22
=联立，消去y 得， 0122
=--kx x ，---------------------------------------------------------- 5´ 设),(),,(2211y x Q y x p ，则1,22121-==+x x k x x ，-------------------------- 6´ 0cos ,90≥∠∴≤∠︒
PNQ PNQ ，∴0≥⋅→
→
NQ NP ，- ---------------------- 8´
0))((2121≥--+∴a y a y x x ，2
2,42
22121222121x
x y y x x y y +=+=，
得a
a k 43
122
-≥+恒成立，- -------------------------------------------------------- 11´
而1122≥+k )0(143<≤-
∴a a
a 解得 21
-≤a ， ------------------------ 13´
∴ a 的最大值是2
1
-
. ------- --------------------------------------------------------- 14´
21．解：（Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ABC ⊥平面,
1C B ∴在平面ABC 上的射影为CB .
1C BC ∴∠为直线1C B 与底面ABC 所成角
112,1CC BB BC === ，1tan 2C BC ∴∠=.
即直线1C B 与底面ABC 所成角正切值为2.--4´
（Ⅱ）当E 为中点时，1EA EB ⊥.
1111,1CE EC BC B C ==== 1145BEC B EC ∴∠=∠= ，
190BEB ∴∠= ，即1B E BE ⊥. ----------------------------------- 6´ 又11AB BB C C ⊥ 平面，111EB BB C C ⊂ 平面1AB EB ∴⊥.
BE AB B = 1EB ABE ∴⊥平面，ABE EA 平面⊂，1EA EB ⊥. --- 9´ （Ⅲ）连结BE ，由（Ⅱ）E B BE 1⊥ E
B AE 1⊥，
AEB ∠ 为二面角B EB A --1的平面角. --------------------------- 12´
在Rt AEB ∆中， 2
==BE AB ，
∴AEB ∠45︒
=
∴二面角B EB A --1的大小为45︒
. ----------------------------- 15´ 22.解：（Ⅰ）设),(y x P ，则
2
11111-=-+⋅+-x y x y , 即)1(3222±≠=+x y x 为动点P 的轨迹方程.--------------------- 5´ （Ⅱ）设直线AP 的方程)1(1+=-x k y 代入)1(3222±≠=+x y x 得 0142)1(4)21(222=-+++++k k x k k x k ------------------- ----- 7´ 设),(11y x P 则1,1-x 是方程的两
根，有221211
42)1(k k k x +-+=-⋅, 2
2
121241k k k x +--= ,
2
2
121221k
k k y +-+=, 把3=x 代入)1(1+=-x k y 得 14+=k y M , 把3=x 代入)1(21
1--
=+x k
y 得 1
B 1
A 1
C
A
11
--=k
y N , ----------------------------------------------- 10´
BM AN //BM AN k k =∴，即131
131-+=+-M N y y , ---------------------- 12´ 整理得01682
=++k k , 解得21-=k 或4
1-=k ，---------------------- 13´
∴351=x ，311±=y ，故存在点)3
1
,35(±P 满足题意.----------------------15´。