浅谈四边形探究性问题

浅谈四边形探究性问题
湖北 柯四清 尚良萍
近年各地中考试题中，出现了大量与四边形有关的探究性问题，这类试题大多立意新颖别致，特别注重考查同学们综合运用知识、大胆创新探索和实践的能力，下面列举几例加以说明．
一、规律探索型问题
例1 如图，ABC D 是面积为a ２的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形1111A B C D ，再顺次连接1111A B C D 各边中点得到四边形2222A B C D ，重复同样的方法得到四边形A B C D n n n n ，则四边形n n n n A B C D 的面积为________．
分析：本题涉及到很多个中点，显然考查的是三角形的中位线性质的灵活运用，因此，连接对角线A C ，BD ，利用三角形中位线知识可以判定四边形1111A B C D 为平行四边形，同理，四边形n n n n A B C D 也为平行四边形．
为发现规律可以先求出第一个平行四边形1111A B C D 的面积，进而可探究它与a 2的关系
−由相似三角行的有关知识可得1111
2
2
A B C D a
S
=
四边形，再计算出第二个平行四边形2222A B C D 的
面积，进而可探究出它与四边形ABC D 面积的关系−
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
12
2
A B C
D A B C D a S S =
=
四边形四边形，……，
这样从特殊到一般就探究出规律了−
2
2
n
n
n
n
A B C
D n
a S =
四边形．
点评：本题是平行四边形、三角形中位线及相似三角形知识的综合运用，属于图形面积的规律探究问题，要将四边形的问题转化为三角形的问题来解决．所以连接对角线A C 与BD 是解题的关键．规律探索型问题，通常是先特殊，再一般，最后观察它们的共性特征，得出规律．
二、条件探索型问题
例2 如图，在矩形ABC D 中，20AB =cm ，4BC =cm ，点P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm / s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿C D 边以1cm / s 的速度移动，
如果点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动．设
运动时间为t （s ）．请你探索：当t 为何值时，四边形APQD 为矩形？
分析：应抓住四边形APQD 为矩形这一结论作为解题的突破口，由此展开联想：如果要使四边形A P Q D 为矩形，则必须满足条件：
90A =
∠，AP DQ ∥，且AP DQ =
，再根据
Q
题中已知条件，得到90A =
∠，AP DQ ∥，因此自然就想到要使四边形APQD 为矩形，只需要条件AP DQ =．而线段AP 与DQ 都可以用含t 的代数式表示，这样就建立了关于t 的方程，问题得到解决．
解：在矩形ABC D 中，AB D C ∥，90A =
∠，∴当AP DQ =时，四边形APQD 为矩形．
又∵4AP t =，20DQ t =-， ∴420t t =-，即4t =． ∴当4t =（s ）时，四边形APQD 为矩形．
点评：本题解题的关键是发现当P ，Q 运动时必须始终满足条件AP DQ =，这个条件就是所谓的“静”．本题属于探索条件型问题，此类问题通常涉及到几何动态问题，因此需要“动”中求“静”．解决这类问题时，一般是先假设结论成立，探求该结论成立的条件，找出等量关系，通过建立方程或比例式，求出所求的未知量．
三、结论探索型问题
例3 如图，正方形ABC D 和正方形EFG H
的边长分别为
对角线BD ，FH 都在直线l 上，点1O ，2O 分别是两个正方形的中心，线段12O O 的长叫做两个正方形的中心距，当中心2O 在直线l 上移动时，正方形EFG H 也随之平移，在移动时正方形EFG H 的形状、大小没有改变．
（1）计算：1O D = ；2O F = ；
（2）当中心2O 在直线l 平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距12O O = ； （3）随着中心2O 在直线l 平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．
分析：首先要读懂题意，明白正方形的中心距的含义，其次要注意线与线的交点个数问题，如两条直线重合，那么它们的公共点就有无数个．所以当正方形移动时，其公共点的个数问题就转化为两条线段的公共点问题。

尤其是第（3）问，要观察当小正方形向左移动时，两个正方形的边有下面几种变化：不相交----相交------重合----不相交---重合---相交---不相交，因此两个正方形的边共有三种位置关系，而且不相交时还包括特殊情况120O O =．
解：（1）2，1； （2）3；（3）没有公共点时，321>O O 或12O O 0≤<1；2个公共点时，12O O 1<<3；无数个公共点时，121O O =．
点评：对于文字比较长的题目，首先要仔细读题，认真审题，如果有新的概念，一定要
弄清楚．对于结论不明确的问题，有时候需要分类讨论；对存在性问题的探索，则要首先作出肯定，然后看能否得到与已知相符的条件，或可以求出符合条件的某待定字母的取值．
四、操作实验型问题
例4如图．现有两种规格的钢板原料，规格分别为1m×5m和由5个1m×1m的小正方形组成．电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）．
（1）焊接后的正方形工件的边长是．
（2）分别在两个图中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意图（保留要焊接的痕迹）；
（3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪
种原料较好？
分析：本题是等积变形，所以可以根据已
知图形的面积求出未知正方形的边长为5，再用分割法得
到边长为5的直角三角形，其直角边必然为2和1，然后可
以用纸片剪裁与拼接，动手实验，画出图形．
解：（1）5m；
（2）如图；
（3）从节约焊接材料的角度考虑（1）需要焊接的边线长度为4⨯2=8m；（2）需要焊接的边线长度为2⨯2+1=5m所以（2）好些；
点评：首先通过测量、观察、操作等实践，得到感性上的认识，然后再从理论上计算、证明，这是探索问题，发现结论的一种重要方法．解决此类问题要求动手操作实践，探索图形规律，具有创新意识．。