2018-2019学年高中数学 章末综合测评1 常用逻辑用语 苏教版选修1-1

章末综合测评(一) 常用逻辑用语
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x ) ＞0”用“∃”或“∀”可表述为________．
【解析】 “有些负数”表示存在量词用“∃”来描述． 【答案】 ∃x ＜0，使不等式(1＋x )(1－9x ) ＞0 2．命题“∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1＞0”的否定是__________.
【导学号：95902056】
【解析】 全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定为存在性命题“∃x 0∈M ，﹁
p (x 0)”，故填∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1≤0.
【答案】 ∃x 0∈R ，x 2
0＋x 0＋1≤0
3．在命题“若m ＞－n ，则m 2
＞n 2
”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
【解析】 原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
【答案】 3
4．设θ∈R 则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的__________条件．(填“充分不必要”，“必要条件”，“充要”或“既不充分也不必要”)
【解析】 由⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12
即sin θ＜12⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12
，
故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件 5．下列命题：
①∃x ∈R ，sin x ＝52 ；②∃x ∈R ，log 2x ＝1；③∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
>0；④∀x ∈R ，x 2≥0.
其中假命题是________.
【导学号：95902057】
【解析】 因为∀x ∈R ，sin x ≤1<
5
2
，所以①是假命题；对于②，∃x ＝2，log 2x ＝1；所以②是真命题；对于③，根据指数函数图象可知，∀x ∈R ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
>0；所以③是真命题；对于④，根据二次函数图象可知，∀x ∈R ，x 2
≥0，所以④是真命题．
【答案】 ①
6．设n ∈N *
，一元二次方程x 2
－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 【解析】 由Δ＝16－4n ≥0得n ≤4，又∵n ∈N *
，故n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4，符合题意；反之，当n ＝3,4时，可以推出一元二次方程有整数根．
【答案】 3或4
7．若“x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x 的取值范围是________.
【导学号：95902058】
【解析】 根据题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＜2或x ＞5，1≤x ≤4，解得1≤x ＜2，故x ∈[1,2)．
【答案】 [1,2) 8．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x ∈N ，x 3
>x 2
”的否定是“∃x 0∈N ，使x 3
0>x 2
0”； ③“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件； ④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题． 其中真命题的序号是________．
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题． 【答案】 ③
9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *
，使得n ≥x 2
”的否定形式是________.
【导学号：95902059】
【解析】 由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *
，使得n ≥x 2
”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *
，使得n <x 2
”．
【答案】 ∃x ∈R ，∀n ∈N *
，使得n <x 2
10．若命题“∀x ∈R ，ax 2
－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
a <0，Δ＝a 2
＋8a ≤0，
得－8≤a <0. 综上，－8≤a ≤0. 【答案】 [－8,0]
11．有下列几个命题：
①“若a >b ，则a 2
>b 2
”的否命题；
②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2
<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________.
【导学号：95902060】
【解析】 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2
≤b 2
”假命题． ②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”真命题． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”真命题． 【答案】 ②③
12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2
－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，
又{x |x 2
－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤m －1m ＋1<3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1<m －1，
m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.
【答案】 [0,2]
13．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1＞0.给出下列结论：
①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁
q )”是假命题；③命题“(﹁
p )∨q ”是真命题；④命题“p ∨(﹁
q )”是假命题．
其中所有正确结论的序号为________.
【导学号：95902061】
【解析】 对于命题p ，取x 0＝10，则有10－2＞lg 10，即8＞1，故命题p 为真命题；对于命题q ，方程x 2
＋x ＋1＝0，Δ＝1－4×1＜0，故方程无解，即∀x ∈R ，x 2
＋x ＋1＞0，所以命题q 为真命题．综上“p ∧q ”是真命题，“p ∧(﹁
q )”是假命题，“(﹁
p )∨q ”是真命题，“p ∨(﹁
q )”是真命题，即正确的结论为①②③.
【答案】 ①②③ 14．下列结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1
2>0.则命题“p ∧(﹁q )”是
假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3；
③“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2＋b 2>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2
＋b 2
≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 在①中，命题p 是真命题，命题q 也是真命题，故“p ∧(﹁
q )”是假命题是正确的．在②中l 1⊥l 2⇔a ＋3b ＝0，所以②不正确．在③中“设a ，b ∈R ，若ab ≥2，则a 2
＋b 2
>4”的否命题为：“设a ，b ∈R ，若ab <2，则a 2
＋b 2
≤4”正确．
【答案】 ①③
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)写出命题“若a ≥0，则方程x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
【导学号：95902062】
【解】 逆命题：“若方程x 2
＋x －a ＝0有实根，则a ≥0”． 否命题：“若a ＜0，则方程x 2＋x －a ＝0无实根．” 逆否命题：“若方程x 2
＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”． 其中，原命题的逆命题和否命题是假命题，逆否命题是真命题．
16．(本小题满分14分)判断下列语句是全称命题还是存在性命题，并判断真假． (1)有一个实数α，tan α无意义；
(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； (3)圆内接四边形，其对角互补； (4)指数函数都是单调函数．
【解】 (1)存在性命题．α＝π
2，tan α不存在，所以存在性命题“有一个实数α，
tan α无意义”是真命题．
(2)含有全称量词，所以该命题是全称命题．又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．
(3)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．
(4)虽然不含全称量词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．
17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2
＋|x ＋a |＋b (x ∈R )，求证：函数f (x )是偶函数的充要条件为a ＝0.
【导学号：95902063】
【证明】 充分性：定义域关于原点对称．
∵a ＝0，∴f (x )＝x 2
＋|x |＋b ，∴f (－x )＝(－x )2
＋|－x |＋b ＝x 2
＋|x |＋b ，
所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
必要性：因为f (x )是偶函数，则对任意x 有f (－x )＝f (x )，
得(－x )2
＋|－x ＋a |＋b ＝x 2
＋|x ＋a |＋b ，即|x －a |＝|x ＋a |，所以a ＝0. 综上所述，原命题得证．
18．(本小题满分16分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2
＋mx ＋1＞0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．
【解】 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，所以当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.
又因为对∀x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2
＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2
－4＜0， 所以－2＜m ＜2.所以当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2， 同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.
当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2， 即－2≤m ＜2.
综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2.
19．(本小题满分16分)已知命题p ：关于x 的方程x 2
－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2
＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围.
【导学号：95902064】
【解】 命题p 等价于Δ＝a 2
－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a
4≤3，即a ≥
－12.
由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假． 若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4. 故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．
20．(本小题满分16分)命题p ：实数x 满足x 2
－4ax ＋3a 2
＜0(其中a ＞0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
|x －1|≤2x ＋3
x －2
≥0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若﹁
p 是﹁
q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由x 2
－4ax ＋3a 2
＜0得(x －3a )(x －a )＜0， 又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ， 当a ＝1时，1＜x ＜3，
即p 为真时，实数x 的取值范围是1＜x ＜3，
由⎩⎪⎨⎪⎧
|x －1|≤2，x ＋3
x －2
≥0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ≤3
x ≤－3或x ＞2，解得2＜x ≤3，
即q 为真时，实数x 的取值范围是2＜x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是(2,3)．
(2)由(1)知p ：a ＜x ＜3a ，则﹁
p ：x ≤a 或x ≥3a ，
q ：2＜x ≤3，则﹁q ：x ≤2或x ＞3，
因为﹁
p 是﹁
q 的充分不必要条件， 则﹁
p ⇒﹁
q ，且﹁
q ⇒/﹁
p ，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
0＜a ≤2，
3a ＞3，解得1＜a ≤2，
故实数a 的取值范围是(1,2]．。