电磁场与电磁波课后习题与答案四章习题解答

)
由此可设
(r,
)
Eor cos
Ar1cos
C
由条件①，
有
Eoa cos
A1a
1cos C
C
于是得到
A1
a2
Eo
故圆柱外的电位为
(r,
)(
2
r a r
1)E0cos
C
方向外加一均匀电场EoexEo，求空腔和空腔外的电位函数。
解 在电场Eo的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔、外的电场E为外
解 由于在（0,d）处有一与z轴平行的线电荷ql，以x0为界将场空间分割为x0和x0两个区域，则这两个区域中的电位1（x,y）和2（x, y）都满足拉普拉斯方程。 而在x0的 分界面上，可利用 函数将线电荷qi表示成电荷面密度（y） qi（y y。）。
电位的边界条件为
J
L
J-
a
■
d
y
ox
题4.6图
①
解 由题意可知，圆柱面部的电位函数满足边界条件为 ①
(0,)为有限值;
U。
0
(b,)
U0
0
由条件①可知,
3 .2
圆柱面部的电位函数的通解为
代入条件②，有
由此得到
An
(b,
Bn
bn0
(b,
(r,
rn(Ansin n
1
Bncos n )
(r b)
bn(Ans inn Bncos n )
)sin n
)cos n
(、2q
1(x,y)-
2(x, y)组
n y
x)]si n()
b
b两个区域,
si nh[— (b
1nsinh(nb a)a
sin(n Xo)sinh(-)sin(
aa
1…ny。)
yo)]
(Xo
a)
则可类似地得到
(o yyo)
sinh(
on 1nsinh(n b a)a
•」Xonn x、
si n()si nh[(b y)]s in()
aaa
如题4.8图所示，在均匀电场EoexEo中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，
圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位和电场E以及导体表面的感应电荷密度。
解 在外电场Eo作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场Eo的电位o与
感应电荷的电位m的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系
1(x,0) =
1(x,a)
0
2(X,0) =
2(x,a)
0
②
1(x, y)
0 (x
)
2(x, y)
0 (x
)
③
1(0, y)
2(0, y)
(」—
_L)x 0
鱼
0
x x
可设电位函数的通解为
(y d)
由条件①和②,
i(x, y)
Anen xasin(U)
1a
(x
0)
由条件③，有
2(x,y)
Bnen xasin(U)
2(x, y)组
sinh[ J(a x°)]
1nsinh( n a b) b
./ n yo、•— n x、./ n y、si n( )si nh( )si n()bbb
1••‘n xo)
(0
Xo)
sinh(on 1nsinh(n a b)b
• J yo n /
si n()si nh[(a
bb
y yo为界将场空间分割为o y yo和yo
解
位
(1)
(r
b)
介电常数为ql,计算空间各部分的电位。
在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化， 介质圆柱外的电位（r,）均为线电荷ql
）
，在距离轴线
的电
位为
）与极化电荷的电位p（r,
-
20
i
严1n」2
20
r
(1)
的电
p（r,）满足拉普拉斯方程，且是2（r,）满足的边界条件为分别为
1（0,）为有限值；2亿）
n n y n x0Ansin( )cosh(-)
n 1bbb
Bn^sin(n y)cosh[—(a x。)]乩(y y°)
n 1bbb0
由式(1)，可得
Ansinh(n x°) Bnsinh[」(a x0)]0
bb
将式(2)两边同乘以sin( )，并从o到b对y积分，有
b
Ancosh(n-Xo) Bncosh[—(a Xo)]
oa x
题4.7图
i(x, y)Ansin(n y)slnh(n x)(0x x°)
n 1bb
2(x, y)Bnsin(n y)sinh[n(ax)] (x°x a)
n 1bb
由条件③，有
Ansin(n y)sinh(n x°)Bnsin(n y)sinh[丄(a x0)](1)
n 1bbn 1bb
qi• ,n d、
— si n( )
n0a
」」sin(呕)enxasin(U)0 n 1n aa
(X 0)
ql1 n dn x.an y
2(x,y)-sin( )e sin( )(x 0)
o n in aa
4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷qi。求槽的电
b―I
q*(xo,yo)
(b,)
2
[U°s inn
0
2U0
n bn
0，
2
[U0cosn
0
32
U0sinn d ]
1,3,5,L
2,4,6,L
32
d U0cosn d ]
U0bnn
(1 cosn )
U
2 2
0
b
2U0
b
n 1,3,5,L
n 2,4,6,L
(r,)
-（
4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为r°（r0a）处，有一与圆柱平行的线电荷
四章习题解答
4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的 盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为u0，求槽的电位函数。
解 根据题意，电位(X,y)满足的边界条件为
1(0,y) (a, y)0
2(x,0)0
3 (x,b) U。
4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y d到y b(x )。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片 平面上，从y0到y d，电位线性变化，(0,y) U0y;d。
bb
2qi
b
(y
y°)si n(
0
0
2qi亠/n yo
)dy
由式(3)
和(4)
解得
若以
An
Bn
nosir)
1n
si nh[(a
sinh(n a b) n0b
2ql1n x0…八
-si nh(-)si n(-)
obb
1
2qi
n xo
n yo
Xo购n(〒)
n yo
sinh(n a b) n
1(x,y)组
A20
a2Eo
0
0
所以
i(r,)
2
(r a)
2（r, ）[1—（旦）2]E°rcos（r a）
or
4.10—个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，
示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位
如题4.10图所
U0和U0。
题4.10图
求圆柱面部的电位函数。
/、U。2bU。
(x,y) —y20
b d2
故得到
2Uob(1
bd(d
2 sin(n-)sin(
in b
£)ysin(卫y)dy bb
b)e
…d
(n )2dsin(=
2Uo
~2
4.3
2We
Cf厂定出边缘电容。
U0
解在导体板(y
求在上题的解中，除开
U°y;b—项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
0) 上，相应于
2(x, y)的电荷面密度
20U01•,n d、P
si n()e
则导体板上(沿z方向单位长)相应的总电荷
Cf4_obJl_si门(鸣
Uodninb
4.4如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位Uo，其余两面电位为零，求槽的电位的解。
1(0,y) (a, y)0
U0
题4.4图a
2 (x, y) 0(y)
n x
U0Ansin()
n 1a
n x
两边同乘以sin(9)，并从0到a对x积分，得到
a
xz
y(y b)s in( )si n()
a c
的电荷。求体积的电位。
解在体积，电位满足泊松方程
2,4,6,L
4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷
位置为（0,d）。求板间的电位函数。
2(r,)的边界条件为
①
r
时，2(r,)
Eor cos；
②
r
0时,
1(r,)为有限值；
③
r
a时，
1(a,)
2(a,)，
1
0
2
r
r
由条件①和②，
可设
1
(r,)
Eor cos
Ar cos
(r
a)
2
(r,)
Eor cos
典1
A2「cos
(r
a)
带入条件③，有
Aa
Aza1，
0E00A
Eo
a
2a
由此解得
A
oEo，
(yoy b)
4.8
o
Eo的电位
中，外电场的电位为o(r,)EoX C Eor cos C(常数C的值由参考点确定)，而感
应电荷的电位in(r,)应与o(r,)一样按cos变化，而且在无限远处为o。由于导体是等位
体，所以(r,)满足的边界条件为
y
题4.8图
①
(a,
)
C
②
(r,
)
E(
)r cos
C (r
其中，
i(x, y)
为：
①
应用叠加原理，设板间的电位为
(x,y)i(x,y)2(x, y)
i(x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为u°y. b；
Uo)的电位，即2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，
其边界条件
2(x,0)
2(x, y)
2(x,b)
0 (x
2(0,y) (o,y)
根据条件①和②,
可设
2(x, y)的通解为2(x, y)
U0
1(0，y)U0Байду номын сангаас
『b
U)eM
b)e
Asin(
1
由条件③有
U。n y人sin()
1b U0
(0
d)
(0
y d)
U。
(d
b)
U0y
(d
y b)
两边同乘以sin(U)，并从0到b对y积分，得到
b
d
2U0y n y、‘
-(1 )sin( )dy
b0b b
a
(x
0)
由式（1）,可得
将式（2）两边同乘以
AnBn
由式（3）和（4）
An
n y
Ansin()
n 1a
An
n 1
sin (m
2qi
n
解得
Bn
i(x,y)
Bnsin(
1
(1)
An
Bnnsin(n
1a
Bn
y），并从0到a对y积分，有
9 (y d)
0
(3)
(y d)si n(
□)dy纽sin&
an0
(4)
而极化电荷的电位
的偶函数。介质圆柱外的电位
1
l
(r
r a时,
2,
由条件①和②可知,
1
1
r
2
2
0
r
）的通解为
1
i
A
1
(0
a)
(2)
2
)
n
B
n 1
(a
(3)
将式（1）〜（3）带入条件③，可得到
A
n 1
n
cos n
Bn
n
a cos n
(4)
(An
n 1
n 1
na
Bn
0
In R
(5)
1
当
n in ro
故得到圆柱、外的电位分别为