无锡市八年级上第一学期第二次月考数学试卷

无锡市八年级上第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题
1．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）
A ．甲的速度是4km/h
B ．乙的速度是10km/h
C ．乙比甲晚出发1h
D ．甲比乙晚到B 地3h
3．下列图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．正比例函数y kx =的图象经过第一、三象限，则一次函数y x k =+的图象大致是（） A ． B ．
C ．
D ． 5．如图，直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1），则不等式组
,0mx n kx b mx n +≥+⎧⎨+≤⎩
的解集是（ ）
A ．3x ≤
B ．n x m ≥-
C ．3n x m -≤≤
D ．以上都不对
6．下列说法中正确的是（ ）
A ．带根号的数都是无理数
B ．不带根号的数一定是有理数
C ．无限小数都是无理数
D ．无理数一定是无限不循环小数 7．下列一次函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A ．y=﹣3x
B ．y=x ﹣2
C ．y=﹣2x+3
D ．y=3﹣x 8．变量x 与y 之间的关系是y ＝2x+1，当y ＝5时，自变量x 的值是（ ）
A ．13
B ．5
C ．2
D ．3.5 9．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，
E 为AC 上一点，且AE ＝85
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．185
B ．245
C ．4
D ．265
10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，下列说法中，不一定正确的是（ ）
A ．BC 2+AC 2＝A
B 2
B ．2B
C ＝AB
C ．若△DEF 的边长分别为1，2，3，则△DEF 和△ABC 全等
D ．若AB 中点为M ，连接CM ，则△BCM 为等边三角形
二、填空题
11．4的算术平方根是 ．
12．如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_____．
13．矩形ABCD 中，其中三个顶点的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（5，3），则第四个顶点的坐标是______．
14．点(2,1)P 关于x 轴对称的点P'的坐标是__________．
15．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -．把一条长为2020个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A B C D A -----…的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．
17．一个等腰三角形的两边分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是_________.
18．等腰三角形的一个内角是100︒，则它的底角的度数为_________________.
19．如图，已知ABD CBD ∠∠=，若以“SAS”为依据判定ABD ≌CBD ，还需添加的一个直接条件是______．
20．已知以点C（a，b）为圆心，半径为r的圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）为圆心，半径为2的圆的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，则以原点为圆心，过点P（1，0）的圆的标准方程为____.
三、解答题
21．已知一次函数的图象经过点P（0，－2），且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式．
22．用函数方法研究动点到定点的距离问题．
在研究一个动点P（x，0）到定点A（1，0
）的距离S时，小明发现：
S与x的函数关系为S＝
1,1,
10,1,
1,1,
x x
x x
x x
-<
⎧
⎪
-==
⎨
⎪->
⎩
并画出图像如图：
借助小明的研究经验，解决下列问题：
（1）写出动点P（x，0）到定点B（－2，0）的距离S的函数表达式，并求当x取何值时，S取最小值？
（2）设动点P（x，0）到两个定点M（1，0）、N（5，0）的距离和为y．
①随着x增大，y怎样变化？
②当x取何值时，y取最小值，y的最小值是多少？
③当x<1时，证明y随着x增大而变化的规律．
23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE分别是AB边上的中线和高．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AC=2，求△CDE的周长．
24．计算或求值
（1）计算：（2a+3b）（2a﹣b）；
（2）计算：（2x+y﹣1）2；
（3）当a ＝2，b ＝﹣8，c ＝5时，求代数式242b b ac a
-+-的值； （4）先化简，再求值：（m+252m --）243m m -⨯-，其中m ＝12
-． 25．已知甲，乙两名自行车骑手均从P 地出发，骑车前往距P 地60千米的Q 地，当乙骑手出发了1.5小时，此时甲，乙两名骑手相距6千米，因甲骑手接到紧急任务，故甲到达Q 地后立即又原路返回P 地甲，乙两名骑手距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数图象如图所示．（其中折线O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣D （实线）表示甲，折线O ﹣E ﹣F ﹣G （虚线）表示乙）
（1）甲骑手在路上停留 小时，甲从Q 地返回P 地时的骑车速度为 千米/时； （2）求乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（3）在乙骑手出发后，且在甲，乙两人相遇前，求时间x （时）的值为多少时，甲，乙两骑手相距8千米．
四、压轴题
26．如图，直线2y x m =-+交x 轴于点A ，直线122
y x =+交x 轴于点B ，并且这两条直线相交于y 轴上一点C ，CD 平分ACB ∠交x 轴于点D ．
（1）求ABC 的面积．
（2）判断ABC 的形状，并说明理由．
（3）点E 是直线BC 上一点，CDE △是直角三角形，求点E 的坐标．
27．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC
∆≅∆；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为
O，试判断AOB
∠是否为定值？并说明理由．
28．如图，A，B是直线y=x+4与坐标轴的交点，直线y=-2x+b过点B，与x轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A—B—C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由
29．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点
E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF ；
（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，
求ABF
ACF
S
S的值．
30．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴因此.
【详解】
A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B.
【点睛】
考核知识点：轴对称图形识别.
2．C
解析：C
【解析】
甲的速度是：20÷4=5km/h；
乙的速度是：20÷1=20km/h；
由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，
故选C．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐一分析即可．
【详解】
A选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C选项不是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D选项是轴对称图形,故本选项符合题意;
故选D．
【点睛】
此题考查的是轴对称图形的识别,掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据正比例函数的图象及性质即可求出k的取值范围,然后根据一次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
=的图象经过第一、三象限，
解:∵正比例函数y kx
k>
∴0
∵一次函数y x k =+中,1＞0, 0k >
∴一次函数y x k =+经过一、二、三象限
故选A ．
【点睛】
此题考查的是正比例函数的图象及性质和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】 首先根据交点得出
3b n m k -=-，判定0,0m k ＜＞，然后即可解不等式组. 【详解】
∵直线y mx n =+与y kx b =+的图像交于点（3，-1）
∴31,31m n k b +=-+=-
∴33m n k b +=+，即3b n m k
-=- 由图象，得0,0m k ＜＞
∴mx n kx b +≥+，解得3x ≤
0mx n +≤，解得n x m
≥- ∴不等式组的解集为：3n x m -
≤≤ 故选：C.
【点睛】
此题主要考查根据函数图象求不等式组的解集，利用交点是解题关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据无理数的定义判断各选项即可．
【详解】
A 2=，是有理数，错误；
B 中，例如π，是无理数，错误；
C 中，无限循环小数是有理数，错误；
D 正确，无限不循环的小数是无理数
故选：D
【点睛】
本题考查无理数的定义，注意含有π和根号开不尽的数通常为无理数．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵一次函数y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
B、∵正比例函数y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函数中y随x增大而增大，故本选项正确；
C、∵正比例函数y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
D、正比例函数y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x
的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．8．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接把y＝5代入y＝2x+1，解方程即可．
【详解】
解：当y＝5时，5＝2x+1，
解得：x＝2，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了函数值，关键是掌握已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB22
AC BC
+22
68
+，
∴CH=AC BC
AB
⋅
=
24
5
，
∴AH22
AC CH
-=
2
2
24
6
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
18
5
，
∴AE=AE′=8
5
，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE22
CH E H'
+
2
2
24
2
5
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
26
5
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系. 10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理、等边三角形的判定以及相似三角形的判定即可求出答案．
【详解】
A、由勾股定理可知BC2+AC2=AB2，故A正确；
B、∵∠C=90︒，∠B=60︒，
∴∠A=30︒，
∴AB=2BC，故B正确；
C、若△DEF的边长分别为1，23DEF和△ABC不一定全等，故C错误；
D、∵CM是△ACB的中线，
∴CM=BM=CB，
∴△BCM是等边三角形，故D正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定，本题属于基础题型．
二、填空题
11．【解析】
试题分析：∵，∴4算术平方根为2．故答案为2．
考点：算术平方根．
解析：【解析】
试题分析：∵224
，∴4算术平方根为2．故答案为2．
考点：算术平方根．
12．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠EAC＝40°，
∴∠BAD＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝1
2
（180°﹣∠BAD）＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB＝AD和求出∠BAD＝∠EAC是解此题的关键．
13．（0，3）
【解析】
【分析】
画图分析，由矩形的性质求得第四点的坐标，再解答．
如图，根据图形易知第四点的坐标是（0，3）．故填：（0，3）．
【点睛】
用到的知识点为：矩形的邻边垂直
解析：（0，3）
【解析】
【分析】
画图分析，由矩形的性质求得第四点的坐标，再解答．
【详解】
如图，根据图形易知第四点的坐标是（0，3）．故填：（0，3）．
【点睛】
用到的知识点为：矩形的邻边垂直，对边平行．本题画出图后可很快求解．
14．（2，-1）
【解析】
【分析】
关于轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
点关于轴对称的点的坐标是（2，-1）
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称.
解析：（2，-1）
【解析】
【分析】
关于x轴对称的点坐标（横坐标不变,纵坐标变为相反数）
【详解】
P关于x轴对称的点P'的坐标是（2，-1）
点(2,1)
故答案为：（2，-1）
【点睛】
考核知识点：用坐标表示轴对称. 理解：关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的
解析：5
【解析】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4=
②长为3、45；
∴或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用． 16．【解析】
【分析】
根据各个点的坐标，分别求出AB 、BC 、CD 和DA 的长，即可求出细线绕一圈的长度，然后用2020除以细线绕一圈的长度即可判断．
【详解】
解：∵，，，
∴AB=2，BC=3，CD
解析：()1,1
【解析】
【分析】
根据各个点的坐标，分别求出AB 、BC 、CD 和DA 的长，即可求出细线绕一圈的长度，然后用2020除以细线绕一圈的长度即可判断．
【详解】
解：∵()1,1A ，()1,1B -，()1,2C --，()1,2D -
∴AB=2，BC=3，CD=2，DA=3
∴细线绕一圈所需：AB+BC+CD+DA=10个单位长度
2020÷10=202（圈），即细线正好绕了202圈
故细线另一端所在位置正好为点A ，它的坐标为()1,1
故答案为：()1,1．
【点睛】
此题考查的是探索点的坐标规律题，掌握把坐标转化为线段的长是解决此题的关键．
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当
解析：22
【解析】
【分析】
等腰三角形两边的长为4cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
考查等腰三角形的性质以及三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 18．【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是
解析：40
【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
19．AB=BC
【解析】
【分析】
利用公共边BD以及∠ABD=∠CBD，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件．
【详解】
如图，∵在△ABD与△CBD中，∠ABD=∠CBD
解析：AB=BC
【解析】
【分析】
利用公共边BD以及∠ABD=∠CBD，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件．
【详解】
如图，∵在△ABD与△CBD中，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴添加AB=CB时，可以根据SAS判定△ABD≌△CBD，
故答案为AB=CB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
20．x2＋y2＝1
【解析】
因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程为: （x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为: x2＋y2＝1.
解析：x2＋y2＝1
【解析】
因为原点为圆心,过点P（1,0）的圆即是以（0,0）半径为1的圆,则标准方程为:
（x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案为: x2＋y2＝1.
三、解答题
21．y=-1
3
x-2或y=
1
3
x-2．
【解析】
【分析】
分一次函数与x轴交点Q在正半轴与负半轴两种情况确定出Q的坐标，即可确定出一次函数解析式．
【详解】
解：设一次函数与x 轴的交点为Q,则
①当一次函数与x 轴交点Q 在x 轴负半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （-6，0），
设一次函数解析式为y=kx+b ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,b k b -⎧⎨-+⎩＝＝解得1,32.
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 此时一次函数解析式为y=-13
x-2； ②当一次函数与x 轴交点在x 轴正半轴时，
由OP=2，与两坐标所围成的直角三角形面积为6，得到Q （6，0），
设一次函数解析式为y=mx+n ，将P 与Q 坐标代入得：
2,60,n m n -⎧⎨+⎩＝＝解得1,32.
m b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 此时一次函数解析式为y=13
x-2． 故所求一次函数解析式为：y=-
13x-2或y=13x-2． 【点睛】
此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（1）S ＝2,2,20,2,
2,2,x x x x x x --<-⎧⎪+==-⎨⎪+>-⎩
,当x ＝－2时，S 的最小值为0；（2）①当x ＜1时，y 随x 增大而减小；当1≤x ≤5时，y 是一个固定的值；当x ＞5时，y 随x 增大而增大，②当1≤x ≤5时，y 取最小值，y 的最小值是4，③当x ＜1时，y 随x 增大而减小．
【解析】
【分析】
(1)根据x 轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，以及绝对值的意义可直接写出结论； （2）根据x 轴上两点之间的距离等于它们差的绝对值，得出PM 和PN 的距离，它们之和即为y.①分情况讨论，根据一次函数的性质可得y 的变化情况；②根据y 的变化情况可求；③当x <1时，62y x =-，根据函数的增减性可得.
【详解】
（1）S ＝2,2,20,2,2,2,x x x x x x --<-⎧⎪+==-⎨⎪+>-⎩
；∵当x ＜2时y 随x 增大而减小，当x ＞2时y 随x 的
增大而增大，∴当x ＝－2时，S 的最小值为0．
（2）由题意得y ＝|1|x -＋|5|x -，根据绝对值的意义，
可转化为y ＝62,14,
1526,5x x x x x -<⎧⎪⎨⎪->⎩
①当x ＜1时，y 随x 增大而减小；
当1≤x ≤5时，y 是一个固定的值；
当x ＞5时，y 随x 增大而增大．
②当1≤x ≤5时，y 取最小值，y 的最小值是4．
③当x ＜1时，62y x =-，∵-2＜0
∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一次函数的性质，化简绝对值.掌握x 轴上两点之间的距离公式，能分段讨论化简绝对值是解决此题的关键.
23．（1）证明见解析；（2
）3+【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD=AD ，根据直角三角形的两个锐角互余，得∠A=60°，从而判定△ACD 是等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（2）结合（1）中的结论，求得CD=2，DE=1，只需根据勾股定理求得CE 的长即可．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，
∴CD=AD=DB ．
∵∠B=30°，
∴∠A=60°．
∴△ACD 是等边三角形．
∵CE 是斜边AB 上的高，
∴AE=ED ．
（2）解：由（1）得AC=CD=AD=2ED ，
又AC=2，
∴CD=2，ED=1．
∴CE ==．
∴△CDE 的周长
=213CD ED CE ++=+=．
24．（1）4a 2+4ab ﹣3b 2；（2）4x 2+4xy+y 2﹣4x ﹣2y ﹣1；（3
）
42
+4）﹣2m ﹣6，-5
【解析】
【分析】
（1）利用多项式乘多项式展开，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先计算出24b ac -，然后计算代数式的值；
（4）先把括号内通分，再把分子分母因式分解后约分得到原式26m =--，然后把m 的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式224263a ab ab b =-+-
22443a ab b =+-；
（2）原式2(2)2(2)1x y x y =+-+-
2244421x xy y x y =++---；
（3）224(8)42524b ac -=--⨯⨯=，
= （4）原式(2)(2)52(2)[]23m m m m m +---=
--- (3)(3)2(2)23
m m m m m +--=--- 2(3)m =-+
26m =--，
当12
m =-时，原式12()652=-⨯--=-． 【点睛】
本题考查了多项式乘法和、分式的化简求值以及代数式求值．掌握整式乘法和分式运算法则熟练运算是解题关键．
25．（1）1小时，30千米/时；（2）y =24x ﹣24（1≤x ≤3.5）；（3）x =173
27 【解析】
【分析】
（1）根据题意结合图象解答即可；
（2）求出乙的速度，再利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论列方程解答即可．
【详解】
（1）由图象可知，甲骑手在路上停留1小时，甲从Q 地返回P 地时的骑车速度为：60÷（6﹣4）=30（千米/时），
故答案为：1；30．
（2）甲从P 地到Q 地的速度为20（千米/时），所以乙的速度为：（6+1.5×20）÷1.5=24（千米/时），
60÷24=2.5（小时），
设乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函
数关系式为y =24x +b ，则
24+b =0，解得b =﹣24．
∴乙从P 地到Q 地骑车过程中（即线段EF ）距P 地的路程y （千米）与时间x （时）的函数关系式为y =24x ﹣24（1≤x ≤3.5）．
（3）根据题意得，
30（x ﹣4）+（24x ﹣24）=60﹣8，
解得x =17327
． 答：乙两人相遇前，当时间x =173
27时，甲，乙两骑手相距8千米． 【点睛】
此题考查了一次函数与一元一次方程的综合运用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
26．（1）5；（2）直角三角形，理由见解析；（3）44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭或82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）先求出直线122
y x =+与x 轴的交点B 的坐标和与y 轴的交点C 的坐标，把点C 代入直线2y x m =-+，求出m 的值，再求它与x 轴的交点A 的坐标，ABC 的面积用AB 乘OC 除以2得到；
（2）用勾股定理求出BC 的平方，AC 的平方，再根据AB 的平方，用勾股定理的逆定理证明ABC 是直角三角形；
（3）先根据角平分线求出D 的坐标，再去分两种情况构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出对应的边长，从而得到点E 的坐标．
【详解】
解：（1）令0x =，则10222y =
⨯+=， ∴()0,2C ，
令0y =，则1202
x +=，解得4x =-， ∴()4,0B -，
将()0,2C 代入2y x m =-+，得2m =，
∴22y x =-+，
令0y =，则220x -+=，解得1x =，
∴1,0A ，
∴5AB =，2OC =， ∴152
ABC S AB OC =⋅=△； （2）根据勾股定理，222224220BC BO OC =+=+=，
22222125AC AO OC =+=+=，
且22525AB ==，
∴222AB BC AC =+，则ABC 是直角三角形；
（3）∵CD 平分ACB ∠， ∴12
AD AC BD BC ==， ∴1533
AD AB ==， ∴23OD AD OA =-=
， ∴2,03D ⎛⎫- ⎪⎝⎭
①如图，CED ∠是直角，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，过点C 作CM EN ⊥于点M ， 由（2）知，90ACB ∠=︒，
∵CD 平分ACB ∠，
∴45ECD ∠=︒，
∴CDE △是等腰直角三角形，
∴CE DE =，
∵90NED MEC ∠+∠=︒，90NED NDE ∠+∠=︒，
∴MEC NDE ∠=∠，
在DNE △和EMC △中，
NDE MEC DNE EMC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DNE EMC AAS ≅，
设DN EM x ==，EN CM y ==，
根据图象列式：DO DN CM EN EM CO +=⎧⎨+=⎩，即232x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴43
EN CM ==，
∴44,33E ⎛⎫- ⎪⎝
⎭；
②如图，CDE ∠是直角，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，
同理CDE △是等腰直角三角形，
且可以证得()CDO DEG AAS ≅，
∴2DG CO ==，23EG DO ==
， ∴28233
GO GD DO =+=+=， ∴82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
综上：44,33E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，82,33E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数解析式的求解，与坐标轴交点的求解，图象围成的三角形面积的求解，还涉及勾股定理、角平分线的性质、全等三角形等几何知识，需要运用数形结合的思想去求解．
27．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
28．（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①点E 的位置见解析，E （43-
，0）；②D 点的坐标为（-1，3）或（
45
，125） 【解析】
【分析】 （1）先利用一次函数图象上点的坐标特点求得点A 、B 的坐标；然后把B 点坐标代入y=−2x ＋b 求出b 的值，确定此函数解析式，然后再求C 点坐标；
（2）①根据轴对称—最短路径问题画出点E 的位置，由待定系数法确定直线DB 1的解析式为y=−3x−4，易得点E 的坐标；
②分两种情况：当点D 在AB 上时，当点D 在BC 上时．当点D 在AB 上时，由等腰直角三角形的性质求得D 点的坐标为（−1，3）；当点D 在BC 上时，设AD 交y 轴于点F ，证△AOF 与△BOC 全等，得OF=2，点F 的坐标为（0，2），求得直线AD 的解析式为
122y x =
+，与y=−2x ＋4组成方程组，求得交点D 的坐标为（45
，125）． 【详解】 （1）在y=x +4中，
令x =0，得y=4，
令y =0，得x=-4，
∴A(-4，0) ，B(0，4)
把B(0，4)代入y=-2x+b ，得b =4，
∴直线BC 为：y=-2x+4
在y=-2x +4中，
令y =0，得x=2，
∴C 点的坐标为(2，0)；
（2）①如图
∵点D 是AB 的中点
∴D （-2，2）
点B 关于x 轴的对称点B 1的坐标为（0，-4），
设直线DB 1的解析式为y kx b =+，
把D （-2，2），B 1（0，-4）代入，得224k b b -+=⎧⎨=-⎩
，
解得k=-3，b=-4，
∴该直线为：y=-3x-4，
令y=0，得x=
4
3 -，
∴E点的坐标为（
4
3
-，0）．
②存在，D点的坐标为（-1，3）或（4
5
，
12
5
）．
当点D在AB上时，
∵OA=OB=4，
∴∠BAC=45°，
∴△ACD是以∠ADC为直角的等腰直角三角形，
∴点D的横坐标为42
1 2
，
当x=-1时，y=x+4=3，
∴D点的坐标为（-1，3）；
当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F．
∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，∴∠FAO=∠CBO，
又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，
∴△AOF≌△BOC（ASA）
∴OF=OC=2，
∴点F的坐标为（0，2），
设直线AD的解析式为y mx n
=+，
将A（-4，0）与F（0，2）代入得
40
2
m n
n
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
1
,2
2
m n
==，
∴
1
2
2
y x
=+，
联立1
2 2
2
4
y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，解得：
4
5
12
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴D的坐标为（
4
5
，
12
5
）．
综上所述：D点的坐标为（-1，3）或（
4
5
，
12
5
）
【点睛】
本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的最短路径问题、直角三角形问题，第（2）②题采用了分类讨论的思想，与三角形全等结合，解题的关键是灵活运用一次函数的图象与性质以及全等的知识．
29．（1）①见解析；②见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；
②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；
（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，
在Rt △BFD 中，∵∠FBD ＝30°，
∴BF ＝2DF ，
∵BF ＝2AF ，
∴BF ＝AD ，
∵∠BAE ＝∠FBC ，AB ＝BC ，
∴△BFC ≌△ADB ，
∴∠BFC ＝∠ADB ＝90°，
∴BF ⊥CF
（2）在BF 上截取BK ＝AF ，连接AK
．
∵∠BFE ＝∠2+∠BAF ，∠CFE ＝∠4+∠1，
∴∠CFB ＝∠2+∠4+∠BAC ，
∵∠BFE ＝∠BAC ＝2∠EFC ，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB ＝AC ，
∴△ABK ≌CAF ，
∴∠3＝∠4，S △ABK ＝S △AFC ，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE ＝∠AKB ，∠BAC ＝2∠CEF ，
∴∠KAF ＝∠1+∠3＝∠AKF ，
∴AF ＝FK ＝BK ，
∴S △ABK ＝S △AFK ，
∴ABF AFC
S 2S ∆∆=． 【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
30．（1
）5；（2）
221；（3）221 【解析】
【分析】 （1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；
（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA ，
在△ABM 和△CAN 中，
===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABM ≌△CAN （AAS ），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22251=+；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，
在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC ，
在△AMB 和△CNA 中，。