《运筹学》复习例题

线性规划的表格单纯形法
一工厂生产A 、B 、C 三种产品所需的劳力分别为6、3和5个工作日单位，所消耗的原材料分别为3、4和5kg ，各单位产品的收益分别为2、1和5元,工厂每日能提供的劳力数为100人，材料量为80kg 。

问该工厂应如何安排生产才能使总的收益达到最大。

（1） 建立线性规划的数学模型； （2） 用表格单纯形法求解；
（3） 当劳力数增加10人，材料量增加20kg 时新的最优方案； （4） 写出对偶问题和对偶问题的最优解。

（5） 求x1的价值系数在什么范围变化最优解不变 解:(1）设A 、B 、C 三种产品的产量分别为321,,x x x ,则数学模型为
,,8054310053652max 321321321321≥≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x z
（2）化为标准型
,,,,8054310053652max 5432153214321321≥=+++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x x z
最优解为x 1= x 2=0，x 3=16，最大的利润z=80元。

(3）由上表知最优基矩阵的逆
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-5/10111
B ,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-20101001105/10111b B
所以新的最优解为x 1= x 2=0，x 3=20，最大的利润z=100元。

(4）对偶问题为
,55514333680100min 2121212121≥≥+≥+≥++=y y y y y y y y y y w
对偶问题的最优解y 1=0,y 2=1.
互补松弛性的应用
该问题的对偶问题为
21128m in y y w +=
s.t 。

⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥≥+0
,625122
22212121221y y y y y y y y y ()()()()4321
由互补松弛性：若∧
∧
Y X ,分别是原问题和对偶问题的可行解,那么00==∧
∧X Y YX s s 和，当且仅当∧
∧
Y X 与为最优解. 设(
)
T
x x x x X *4
*
3*2*1*
,,,=为原问题的最优解。

()T
s x x X 65,=
其中65,x x 为原问题约束条件的松弛变量。

而 ()
()1,4,*
2*
1*
==y y Y
为对偶问题的最优解。

()6543,,,y y y y Y s =
其中6543,,,y y y y 为与（1）(2)(3）（4)相对应的松弛变量. ∴0X Y *=s 且 0X *
=s Y ∵1,4*
2*
1==y y
∴(3）（4）为等式，故065==y y (1)(2)为不等式，故0,043≠≠y y 由0X *=s Y 即
0*46*35*24*13=+++x y x y x y x y
得0*
2*1==x x ∵0,21>y y 由0X Y *
=s 即06*
25*
1=+x y x y 得065==x x
即原问题的约束条件应取等号 ∴⎩⎨
⎧=+=+12
284343x x x x 解得⎩⎨⎧==44
43x x
所以，原问题的最优解为
()T
X 4,4,0,0*=
目标函数最优值
4446450102max =⨯+⨯+⨯+⨯=z
运输问题例题
设有产量分别是8，9的两个原料产地A 1, A 2， 欲将原料运往需求量分别为6,5，8的三
个销地，单位运价表如下，试写出该问题的数学模型并求运费最省的调运方案。

(20分)
解：因总产量为17，总销量为19,所以是产小于销的运输问题，增加一个产地转化为产销平衡的运输问题为：
按表上作业法,首先用伏格尔法求得初始基可行解如下表:
用位势法求得检验数为：
由于检验数全部非负，则该初始基可行解即为最优解，最优值为53。

数学模型为
用分枝定界法求解下面的整数规划： 为整数
321321*********
21,,,0,,4
21326223max x x x x x x x x x x x x x x x x x z ≥≤+-≤+-≤-+++=
解：123z 0=71/3， x 1=0，x 2=0,x 3=0为一整数可行解,目标函数值为z=0，定界3/710≤≤z 。

分枝
4,322≥≤x x 或,相应的问题设为21B B 或，解1B 如下表：
得到一个整数最优解x 1=5，x 2=3，x 3=1,最优值为22,因该最优解是满足整数条件，所以该整数规划的下界z=22。

同理求解另一个线性规划问题(要写出求解的单纯形表)2B ，因无可行解，因此该整数规划的上界也为22，所以整数规划的最优值为22,上面的这个解即为最优解。

指派问题题解
某公司有五个经理分别派往五项五个地区负责市场开拓，预计相应的净收益如下表（单位：百万元），试求使总收益最大的分派方案并写出该问题的数学模型（每人只负责一个地区）。

解：数学模型为
5
,,2,1j i,0,1x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 1x x x x x 8x 3x 5x 5x 6x 10x 8x 13x 5x 11x 7x x 8x 3x 10x 6x 8x 5x 7x 9x 12x 6x 7x 7x 11x z max ij 554535251555545352515444342414454443424153433323133534333231524232221225242322215141312111151413121155
545352514544434241353433323125242322211514131211 ===++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++++++++++++++++++++++++++=或
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------------------------8355610813511718310685791267711813
109
12
----- ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡0533235082
39270
3142006551
min ｛1,3,5,5,2，1,3,4｝=1，
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊕⊕⊕⊕⊕φφφφ3214462482544442则最优解为⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010
00100000010100010000
，最优值为48。

线性规划与灵敏度分析题解
一工厂生产A 、B 、C 三种产品所需的劳力分别为6、3和5个工作日单位,所消耗的原材料分
别为3、4和5kg,各单位产品的收益分别为2、1和5元,工厂每日能提供的劳力数为100人，材料量为80kg 。

问该工厂应如何安排生产才能使总的收益达到最大。

（6） 建立线性规划的数学模型； （7） 用表格单纯形法求解;
（8） 当劳力数增加10人,材料量增加20kg 时新的最优方案； （9） 写出对偶问题和对偶问题的最优解。

解：（1)设A 、B 、C 三种产品的产量分别为321,,x x x ,则数学模型为
,,8054310053652max 321321321321≥≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x z
(2）化为标准型
min 2 1
min
,,,,8054310053652max 5432153214321321≥=+++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x x z
123（3)由上表知最优基矩阵的逆
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-5/10111B ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-='-20101001105/10111
b B 所以新的最优解为x 1= x 2=0，x 3=20，最大的利润z=100元。

（4)对偶问题为
,55514333680100min 2121212121≥≥+≥+≥++=y y y y y y y y y y w
对偶问题的最优解y 1=0，y 2=1。

最大流的标号法
用标号法求下图所示的公路交通网络的最大流量（要求写出标号过程并说明得到的的确是最大流），其中，弧旁的数字是（c ij ，f ij ）. 。

解:
(1) 首先，给v s 标上（0，∞+)
(2) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号（v s ,)(2v l ),其中
8]715,m in[]),(m in[)(222=-+∞=-=s s s f c v l v l
其它点不符合标号条件。

(3) 检查2v ，给2v 为终点的非零流弧的未标号的起点3v 标号(2v -，)(3v l )，其中
4]4,8m in[]),(m in[)(3223===f v l v l
其它点不符合标号条件。

(4) 检查3v ,给3v 为起点的未饱和弧的未标号的终点64v v 、标号（4v ，)(4v l )、（6v ,)(6v l ）
其中，1]45,4m in[]),(m in[)(343434=-=-=f c v l v l
4]15,4m in[]),(m in[)(363636=-=-=f c v l v l
其它点不符合标号条件。

(5) 检查6v ，给6v 为起点的未饱和弧的未标号的终点t v 标号（t v ，)(t v l )其中，
4]510,4m in[]),(m in[)(666=-=-=t t t f c v l v l
其它点不符合标号条件。

由于t v 已标号，反向搜索可得增广链)},(),,(),,(),,{(663232t s v v v v v v v v =μ，在该增广链的前相弧),(),,(),,(6632t s v v v v v v 上增加4)(=t v l ，在后向弧),(23v v 上减去4)(=t v l ，其它弧上的流量不变，则可得一流量20)(=f v 的新的可行流如下图.
v 2 (5，5） v 5
（6,6） （2,2) (12,7) (15，11）
v s （4,0） (4，4) v t (5,4) v 4 （4，4） (9,9） (10,9)
v 3 (5,5) v 6 重新开始标号：
(6) 首先,给v s 标上（0，∞+)
(7) 检查v s ，给v s 为起点的未饱和弧的未标号的终点v 2标号（v s ,)(2v l )，其中
4]1115,m in[]),(m in[)(222=-+∞=-=s s s f c v l v l
其它点不符合标号条件。

(8) 检查2v ，没有以2v 为起点的未饱和弧的未标号终点和以2v 为终点的非零流弧的未标号起点，因此不能增加标号点，标号进行不下去了，所以该可行流必为最大流，最大流的流量为v （f ）=20。

事实上，可令},,,,{},,{6543121t s v v v v v V v v V ==，则最小截集),(11V V 的截量
)(20659),(2425311f v c c c V V C s ==++=++=。

最短路的标号法
用Dijkstra 标号法求v s 到v t 的最短路及最短路线
v 2 6 v t
10 2 5 v s 5 12 v 4 3 v 3
解：i=0,给v s 标上(0)(=s v P ，0)(=s v λ），其余各点均为T 标号点，
4,3,2j ,)(,)(j j ==+∞=M v v T λ,t ，记{}s k ,v S s 0==。

i=1，考察以v s 为起点的弧的终点v 2、v 3，由于+∞<=+=+01010)(2s s w v P 、
∞
<=+=+330)(3s s w v P ,修改v 2、v 3的T 标号分别为
s v v T s v v T ====)(,3)(,)(,01)(3322λλ.计算{}
)()(min 3v T v T j =，将v 3的T 标号改为P
标号，即,3)(3=v P 记{}.3,,31==k v v S s
i=2,考察以v 3为起点的弧的终点v 2、v 4，由于01853)(323<=+=+w v P ，
+∞<=+=+51213)(343w v P ，修改v 2、v 4的T 标号分别为。

计算，将v 2的T 标号改为P
标号,即，记
i=3，考察以v2为起点的弧的终点v4、v t，由于，，修改、v4的T标号为，.计算,将的T标号改为P标号，即，记
i=4,考察以v4为起点的弧的终点v t，由于，修改的T标号为，计算，将的T标号改为P标号，即，记。

由于v t得到了标号，所以得到了v s到v t的最短路，最短路的权为.。