2019届中考数学《函数探究》专题复习试题含解析

2019届中考数学《函数探究》专题复习试题含解
析
【例1】 1.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于 ．
3.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 1＜y 3＜y 2
D ．y 3＜y 1＜y 2
方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-，
)来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2+4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）
A ．（﹣3，7）
B ．（﹣1，7）
C ．（﹣4，10）
D ．（0，10）
2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2+3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ．
3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．312y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．213y y y >>
考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系
【例2】 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：
①2a+b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．
方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
举一反三 1.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b 2﹣4ac ＞0； ②4a+c ＞2b ； ③（a+c ）2＞b 2； ④x （ax+b ）≤a ﹣b ．
其中正确结论的是 ．（请把正确结论的序号都填在横线上）
2.一次函数y=ax+b （a ≠0）、二次函数y=ax 2+bx 和反比例函数y=（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（ ）
A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0
考点三、二次函数图象的平移
【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
举一反三将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
考点四、确定二次函数的解析式
【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c 恰好经过x轴上A，B两点．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．
举一反三已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C 关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．
考点五、二次函数的实际应用
【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．
举一反三大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖
出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；
（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
考点六、二次函数的面积问题
【例6】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求点B的坐标．
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S
△POC =4S
△BOC
，求点P的坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
方法总结对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．
举一反三如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、
B的抛物线的一部分C
1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C
2
组合成一条封闭曲线，我们把这条
封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C
2
：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
考点七、二次函数的综合应用
【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方法总结此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边
相等是求出题中P 点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．
举一反三 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．
求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
一、选择题
1．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-
与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．已知下列命题：
①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+
c x c x 的根是c ； ②在反比例函数x
y 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；
④函数y= kx 2
+(3k+2)x+1，对于任意负实数k ，当x<m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-.其中真命题为（ ）
A ．①③
B ．③
C ．②④
D ．③④
3．(2013杭州，10)给出下列命题及函数x y =，2x y =和x
y 1=的图象 ①如果
21a a a
>>，那么10<<a ； ②如果a
a a 12>>，那么1>a ； ③如果a a a
>>21，那么01<<-a ； ④如果a a a >>12时，那么1-<a 。

则 （ ）
A. 正确的命题是①④
B. 错误．．
的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．
的命题只有③ 4．设二次函数y 1=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ≠0，x 1≠x 2）的图象与一次函数y 2=dx+e （d ≠0）的图象交于点（x 1，0），若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则（ B ）
A. a （x 1﹣x 2）=d
B.a （x 2﹣x 1）=d
C.a （x 1﹣x 2）2=d
D.a （x 1+x 2）2=d
5．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a ＜0）的图象经过点（﹣1，1），（4，﹣4）.下列结论：（1）c a ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）4=x 是方程ax 2+（b+1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜4时，ax 2+（b+1）x+c ＞0．其中正确的个数为( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过（0，5），（10，8）两点，若a ＜0，0＜h ＜10，则h 的值可能是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．1
7．（2016江干区一模，10）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，3），与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b 2-4ac ＞0；②c ﹣a=3；③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c=m （m ≥2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ）
A ．②③
B ．①③
C ．①②③
D ．①②④
二、填空题
1．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随 x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．
2．函数268(04)y x x x =-+≤≤的最大值与最小值分别为 .
3．已知函数()31()y k x x k =+-，下列说法：
①方程()31()3k x x k
+-=-必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移
动1个单位；③当k>3时，抛物线顶点在第三象限；④若k<0，则当x<-1时，y 随着x 的增大而增大. 其中正确的序号是 .
4.在平面直角坐标系中，点M 是直线y=3与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=x 2+bx+c 的顶点，则方程x 2+bx+c=2的解的个数是 ．
5．若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）+2=0的两根，且a ＜b ，则a ，b ，m ，n 的大小关系用“＜”连接的结果是
6.设二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（3，0），（7，﹣8），当3≤x ≤7时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是 ．
7．已知抛物线
与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为 ．
8．如图，将二次函数y=x 2﹣m （其中m ＞0）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y 1，另有一次函数y=x+b 的图象记为y 2，则以下说法：
（1）当m=1，且y
1与y
2
恰好有三个交点时，b有唯一值为1；
（2）当b=2，且y
1与y
2
恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜；
（3）当m=b时，y
1与y
2
至少有2个交点，且其中一个为（0，m）；
（4）当m=﹣b时，y
1与y
2
一定有交点．
其中正确说法的序号为．
9．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+（a≠0）经过y轴正半轴上的点A，点B，C分别是此抛物线和x轴上的动点，点D在OB上，且AD平分△ABO的面积，过D作DF∥BC交x轴于F点，则DF的最小值为．
三、解答题
1．当k分别取0，1时，函数y=（1﹣k）x2﹣4x+5﹣k都有最小值吗？写出你的判断，并说明理由．2．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．
（1）当k取1和2时的函数y
1和y
2
的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时的函数
的图象；
（2）根据图象，写出你发现的一条结论；
（3）将函数y
2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到的函数y
3
的图象，求函数y
3
的最
小值．
3．己知常数a（a是常数）满足下面两个条件：
①二次函数y 1=﹣（x+4）（x ﹣5a ﹣7）的图象与x 轴的两个交点于坐标原点的两侧；
②一次函数y 2=ax+2的图象在一、二、四象限；
（1）求整数a 的值；
（2）在所给直角坐标系中分别画出y 1、y 2的图象，并求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围．
4．复习课中，教师给出关于x 的函数2
2(41)1(y kx k x k k =-+-+是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写道黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动医院，又补充一些结论，并从中选择如下四条： ①存在函数，其图像经过（1,0）点；
②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；
③当1x >时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法。

5．已知函数y=（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）
（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；
（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：
①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；
②它一定经过哪个点？请说明理由．
6．已知抛物线p：y=x2﹣（k+1）x+﹣1和直线l：y=kx+k2：
（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：
①无论k取何实数值，抛物线p总与x轴有两个不同的交点；
②无论k取何实数值，直线l与y轴的负半轴没有交点；
（2）设抛物线p与y轴交点为C，与x轴的交点为A、B，原点O不在线段AB上；直线l与x轴的交点
为D，与y轴交点为C
1，当OC
1
=OC+2且OD2=4AB2时，求出抛物线的解析式及最小值．
7．已知抛物线y
1
=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，
且点A，C在一次函数y
2=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y
1
随着x的增大而减
小时，求自变量x的取值范围．
8．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．
（1）试写出b，c之间的关系式；
（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标
x 1与x
2
之间满足关系x
2
=6x
1
．
①求△ODE与△OEF的面积比；
②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
9．已知二次函数h=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m（m是常数，且m≠0）
（1）证明：不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；
（2）若A（n﹣3，n2+2）、B（﹣n+1，n2+2）是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和m的值；
（3）设二次函数h=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m与x轴两个交点的横坐标分别为x
1，x
2
（其中x
1
＞x
2
），若y
是关于m的函数，且y=2﹣，请结合函数的图象回答：当y＜m时，求m的取值范围．
10．为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升. 某公司在春节期间采购冷冻鸡
肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润y
1
(百元)与销售数量x(箱)的关系
为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+-≤<+=)6020(5.740
1)200(51011x x x x y ，在乡镇销售平均每箱的利润y 2(百元)与销售数量t （箱）的关系为⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≤<=)6030(815
1)300(62t t t y ： （1）t 与x 的关系是 ；将y 2转换为以x 为自变量的函数，则y 2＝ ；
（2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W （百元），当在城市销售量x （箱)的范围是0＜x ≤20时，求W 与x 的关系式；（总利润＝在城市销售利润＋在乡镇销售利润）
（3）经测算，在20＜x ≤30的范围内，可以获得最大总利润，求这个最大总利润，并求出此时x 的值.
11．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．
（1）当t=3时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；
（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．
12．已知函数y 1=ax 2+bx ，y 2=ax+b （ab ≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y 1的图象过点（﹣1，0），函数y 2的图象过点（1，2），求a ，b 的值． （2）若函数y 2的图象经过y 1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x ＜时，比较y 1，y 2的大小．
13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （0，﹣2）和点B （2，﹣2），且点C 与点B 关于坐标原点对称．
（1）求b ，c 的值，并判断点C 是否在此抛物线上，并说明理由；
（2）若点P 为此抛物线上一点，它关于x 轴，y 轴的对称点分别为M ，N ，问是否存在这样的P 点使得M ，N 恰好都在直线BC 上？如存在，求出点P 的坐标，如不存在，并说明理由；
（3）若点P 与点Q 关于原点对称，当点P 在位于直线BC 下方的抛物线上运动时，求四边形PBQC 的面积的最大值．
14．设抛物线y=（x+1）（x ﹣2）与x 轴交于A 、C 两点（点A 在点C 的左边），与y 轴交于点B ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）已知点D 在坐标平面内，△ABD 是顶角为120°的等腰三角形，求点D 的坐标；
（3）若点P 、Q 位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP 周长的最小值．
15．如图，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 经过原点，与x 轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C 1向右平移m （m ＞0）个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ．
（1）求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；
（2）以AC 为斜边向上作等腰直角三角形ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；
（3）若抛物线C 2的对称轴存在点P ，使△PAC 为等边三角形，求m 的值．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为3．过A（﹣7，9），B（0，9）的抛物线
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴交于D，E （点D在点E右边）两点，连结AD．
（1）若点D的坐标为D（3，0）．
①请直接写出此时直线AD与⊙O的位置关系；
②求此时抛物线对应的函数关系式；
（2）若直线AD和⊙O相切，求抛物线二次项系数a的值；
（3）当直线AD和⊙O相交时，直接写出a的取值范围．
17．在平面直角坐标系中，现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上，且点A（0，3），点C（﹣，0），如图所示，抛物线y=ax2+3ax﹣3a（a≠0）经过点B．
（1）写出点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；
（3）设过点B的直线与交x轴的负半轴于点D，交y轴的正半轴于点E，求△DOE面积的最小值．
18．如图，点P是直线：y=2x﹣2上的一点，过点P作直线m，使直线m与抛物线y=x2有两个交点，设这两个交点为A、B：
（1）如果直线m的解析式为y=x+2，直接写出A、B的坐标；
（2）如果已知P点的坐标为（2，2），点A、B满足PA=AB，试求直线m的解析式；
（3）设直线与y轴的交点为C，如果已知∠AOB=90°且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
19．如图，在△ABC中，点A，B分别在x轴的正、负半轴上（其中OA＜OB），点C在y轴的正半轴上，AB=10，OC=4，∠ABC=∠ACO．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点D的坐标为（﹣4，0），P是该抛物线上的一个动点．
①直线DP交直线BC于点E，当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
②连结CD，CP，若∠PCD=∠CBD，请求出点P的坐标．
1．物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法正确的有多少个
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线；
④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；
⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．要将抛物线y=x 2+2x+3平移后得到抛物线y=x 2，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
3．已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线y=ax 2+bx+c 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若
021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）
A ．50->x
B ．10->x
C ．150-<<-x
D ．320<<-x 4．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：
①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2+bm ；④a ﹣b+c ＞0；⑤若ax 12+bx 1=ax 22+bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ D ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②⑤
D ．②③⑤
5．二次函数y=x 2+bx+c 与直线y=x 的图象如图所示，有以下结论： ①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当x 2+bx+c ＞1时，x ＜1；④当x 2+bx+c ＞时，x ＞；⑤当1＜x ＜3时，
x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．
其中正确结论的编号是 ．
6．已知函数的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≤8时，对应的自变量x的取
值范围是．
7．函数y=kx+3﹣3k必过定点，若其与函数的交点恰好有2个，则k 的值为．
8．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有四个，则k的取值范围
为．
9．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点
Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．
（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．
10．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
y=．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（3）设（2）小题中第m 天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m 天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？
11．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”． 求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+3x ﹣2可知，a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x 2+mx ﹣2与y=x 2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n ）2015的值；
（3）已知函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数．”
12.如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，0)、B(1，0)、C(－2，6)．
(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？
13.已知函数y= ()2
-+-+(m为常数)。

m x x m
12
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有交点；
（2）当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；
（3）在(2)的情况下，怎样平移使得顶点落在x轴上，直接写出平移前后图象、对称轴和y轴围成的图形的面积。

14.已知关于x 的函数)]2()1)[(1(-+--=k x k x y （k 是常数），设k 分别取0，1，2时，所对应的函数为0y 、1y 、2y ，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论： ①满足1y ＞2y 的x 取值范围是－1＜x ＜1； ②当k ≥1时，在直线1
2(1)
x k =
-的左侧，必有函数图象y 随x 的增大而减小；
③函数0y 与2y 的图象的关于点（0, 1）中心对称；
④若0y 与2y 的图象交于A ，B 两点，存在整数k ，函数图象k y 与y 轴交于点C ，满足△ABC 为直角三角形.
请你判断结论的真假，并说明理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
15.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
16.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；
（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．
答案
【例1】1.A
2. 3
解：∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，
∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x==，又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，
∴=﹣2，
∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，
∴当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，
x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．
3.D
解：y=ax2﹣2ax+1（a＜0），
对称轴是直线x=﹣=1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x=1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x=1的对称点是D（3，y
1
），
∵2＜3＜4，
∴y
2＞y
1
＞y
3
，
举一反三 1.D
解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，
a2﹣4ab+4b2+4a﹣8b+10=2﹣4ab，
（a+2）2+4（b﹣1）2=0，
∴a+2=0，b﹣1=0，
解得a=﹣2，b=1，
∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，
2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，
∴点A的坐标为（﹣4，10），
∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．
2.
解：根据题意，得
①该函数是一次函数，即2m﹣1=0，
解，得m=；
②该函数和x轴有一个交点，即△=9﹣4m（2m﹣1）=﹣8m2+4m+9=0，
解，得m=；
③该函数是二次函数，与y轴的交点是原点，与x轴有2个交点，即m=0．故答案为．
3. B
【例2】①③④
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故选项①正确；
令ax2+bx+c=0，抛物线与轴交于（x
1，0），（x
2
，0）则x
1
•x
2
=，
由图不能准确判断与1大小，则无法确定a，c的大小关系，故选项②不正确∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x=﹣＞1，＞2，m+n，故选项③正确；
当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．
故答案为：①③④．
举一反三 1. ①②④
解：①∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
①正确；
②由图象可知，当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
②正确；
③∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∵a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，
∴（a+c）2＜b2，
③错误；
④∵x=﹣1时，y有最大值a﹣b+c，
∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，
∴x（ax+b）≤a﹣b，
④正确．
故答案为：①②④．
2.C
解：∵根据图示知，一次函数与二次函数的交点A的坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，
∴b=2a．
∵由图示知，抛物线开口向上，则a＞0，
∴b＞0．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴k＞0．
A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则k＞0，
∴2a+k＞2a，即b＜2a+k．
故A选项错误；
B、∵k＞0，b=2a，
∴b+k＞b，
即b+k＞2a，
∴a=b+k不成立．
故B选项错误；
C、∵a＞0，b=2a，
∴b＞a＞0．
故C选项错误；
D、观察二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）图象知，当x=﹣=﹣=﹣1时，y=﹣k＞﹣
=﹣=﹣a，即k＜a，
∵a＞0，k＞0，
∴a＞k＞0．
故D选项正确；
故选：D．
【例3】C
解：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x －1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
举一反三 A
【例4】
解：(1)由抛物线的对称性可知AE＝BE.
∴△AOD≌△BEC.
∴OA＝EB＝EA.
设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中，
m 2＋(3)2＝(2m)2，解得m ＝1.
∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.
∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．
(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3.
∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.
解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A(1,0)，B(3,0)，C(2，3)三点，
得⎩⎨⎧ a
＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，
4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.
∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.
举一反三 y=x 2﹣2x ﹣3
解：∵y=x 2+2x+1=（x+1）2，
∴A 点坐标为（﹣1，0），
解方程组
得或，
∴点C ′的坐标为（1，4），
∵点C 和点C ′关于x 轴对称，
∴C （1，﹣4），
设原抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4，
把A （﹣1，0）代入得4a ﹣4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=（x ﹣1）2﹣4=x 2﹣2x ﹣3．
故答案为y=x 2﹣2x ﹣3．
【例5】
解：（1）当1≤x ＜50时，y=（200﹣2x ）（x+40﹣30）=﹣2x 2+180x+2000，
当50≤x ≤90时，
y=（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x+12000，
综上所述：y=；。