2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级期中质量检测

准考证号： 姓名：
（在此卷上答题无效）
2024~2025学年第一学期福建省部分优质高中高二年级期中质量检测
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟；总分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1．直线x +3y−2=0的倾斜角为（ ）A ．π
3
B ．
5π6
C ．−3
D ．−
33
2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点 M (3, −2, −1)关于原点对称的点的坐标为（ ）A ．(−3, −2, 1)
B ．(3, −2, 1)
C ．(−3, 2, −1)
D ．(−3, 2, 1)
3．已知方程mx 2+(2m−1)y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,
12
) B ．
(1
2
, 1) C ．(1, +∞)
D ．(0, 1)
4．“m =1”是“直线l 1:x +(m +1)y +1=0与直线l 2:(m +1)x−my−1=0垂直”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．如图，三棱柱ABC−DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA =a ，BC =b ，BD =c ，则CG =（ ）A ．
1a−b +1
c B ．
1a +b +1
c C ．3a−1
2b +1
c D ．3
a +1
2b +1
c
6．过点P (0, −1)作直线l ，若直线l 与连接A (−2, 1)，B (23, 1)两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（ ）
A ．
[π6, π
4
] B ．
[π
6, 3π
4
] C ．
[0, π6
]∪[3π
4, π) D ．
[π
6, π
2
]∪[3π4, π)7．已知直线l 1:mx−y−3m +1=0(m ∈R)与直线l 2:x +my−3m−1=0(m ∈R)相交于点P ，则P 到直线x +y =0的距离d 的取值范围是（ ）A ．[2, 32]
B ．[3, 23)
C ．[3, 33)
D ．[2, 32)
8．已知F 1，F 2分别是椭圆E :
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，P 是椭圆E 上一点，PF 1与y 轴交于
点M ．若|OP |=|OF 1|，|MF 1|=5a
6，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．5
9或
5
8
B ．
53
或
104
C ．34或14
D ．
32
或
12
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。

9．给出以下命题，其中错误的是（）
A．平面α, β的法向量分别为n1=(0, 1, 3), n2=(1, 0, 2)，则α∥β
B．直线l的方向向量为a=(0, 1, −1)，平面α的法向量为n=(1, −1, −1)，则l⊥α
C．直线l的方向向量为a=(1, −1, 2)，直线m的方向向量为b=(2, 1, −12)，则l与m垂直
D．平面α经过三个点A(1, 0, −1), B(0, −1, 0), C(−1, 2, 0)，向量n=(1, u,t)是平面α的法向量，则u+t=1
10．已知直线l1:y−2=m(x+1)(m∈R)，直线l2:x−2y+λ=0(λ∈R)，则下列说法正确的为（）
A．若l1⊥l2，则m=−2B．若两条平行直线l1与l2间的距离为25，则λ=−5
C．直线l1过定点(−1, 2)D．点P(2, 6)到直线l1距离的最大值为210
11．已知椭圆C：x2
4
+y2
3
=1的左右焦点分别为F1，F2，且点M是直线x=4上任意一点，过点M作C的两条切线MA，
MB，切点分别为A,B，则（）
A．△AF1F2的周长为6B．A，F2，B三点共线
C．A，B两点间的最短距离为2D．∠AMF1=∠BMF2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分。

12．已知圆C:x2+y2−2ax+2ay+2a2−25=0(a>0)与圆O:x2+y2=4有且仅有一条公切线，则该公切线方程为.
13．已知椭圆C:x2
4+y2
b
=1和直线l:y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围
是．
14．斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面ABB1A1，若AB=33，AC=BC=3，sin∠A1AB=1
3
，在三棱柱ABC−A1B1C1内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱ABC−A1B1C1的高为．
四、解答题：本题共 5 小题，共77 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知△ABC顶点A(1, 2)、B(−3,−1)、C(3, −3)．
(1)求边BC的垂直平分线l1的方程；
(2)若直线l2过点A，且l2的纵截距是横截距的2倍，求直线l2的方程．
数学试卷第2页，共4页
16．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥PA,AD⊥CD，AD//BC,PA=AD=CD=2,
∠BAD=150°, E为PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PCD;
(2)求平面PAB与平面ECD夹角的余弦值.
17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为
1
2
，
长轴长为4.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若PF2⊥F1F2, l1与椭圆E的相交于M,N两点，求MN的长度；
(3)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
18．（17分）已知⊙C的圆心在x轴上，经过点(1, 3)和(2, 2)．
(1)求⊙C的方程；
(2)过点P(3, 1)的直线l与⊙C交于A、B两点．
①．若|AB|=23，求直线l的方程；
②．求弦AB最短时直线l的方程．
19．（17分）法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已
知椭圆C:x 2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)过点(3
2
,−1
2
).且短轴的一个端点到焦点的距离为3.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求△OMN的面积(O为坐标原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB面积的最小值.
数学试卷第4页，共4页。