以直代曲，以曲代曲的替换思想以“证明不等式”为例

以直代曲，以曲代曲的替换思想以“证
明不等式”为例
摘要：以替换思想解决证明指数函数、对数函数与幂函数复合的不等式问题。

通过教材回顾、梳理、提炼、迁移看透一类不等式的证明。

关键词：替换思想；不等式；函数
本该在上学期举行的“百人千场”专家、名师送教活动由于疫情原因推迟，
终于在2022年3月4日在本校举行。

活动主要部分是由三位优秀教师同构异课，内容是人教版选择性必修二第五章《导数在研究函数中的应用-用导数证明不等式》。

其中让本人受益匪浅的一堂课就是余杭高级中学的林老师的课，标题是
《寻源悟新：证明不等式》，是一个很有意思的标题。

1教学过程
下面展示一下本节课的主要教学片段与流程，其中设计意图是本人自己添加。

1.1课题引入
据上课还有3分钟左右的时间，林老师在下面看了一下学生平时的课堂笔记
并与上课的学生交流。

上课铃声一响
教师：“听说你们（2）班是一个好学习的班，果然不错，刚才我看了你们
的笔记个个做得那么漂亮。

”
听了林老师幽默的语言，学生开心地笑了起来，一下子把学生的课堂氛围调
动起来了。

林老师首先在黑板上画出三个图象，然后，PPT展示了人教A版选择性必修
第二册书本上涉及的相关不等式模型。

以课本习题例题为例展开本堂让学生跟着
课本去旅行。

1.2课本寻型
P81习题5.2：4.已知函数，(2) 求这个函数的图象在点处的切线方程；
P81习题5.2:7.设函数的图象与轴相交于点P，求该曲线在点
处的切线方程；
P89例题4.设；
P94课本提炼了一个不等式，要我们证明一个不等式
.（证明方法：综合法）
P99课本习题5.3：12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）；（2） .
2替换思想
2.1引“形”得“式”
问题：同学们你能从以上图象上直观的得到哪些不等式？（PPT展示）
学生1：图1得到不等式；
学生2：图2得到不等式；
教师：整理得到不等式，，不从图中你能观察出两个不等式可以互相转化吗？
由于前面地引入学生立即想到：“”以替换，两边同时取对数得“”，
“”以替换，两边同时取对数得“”
设计意图：告诉学生两个非常重要的信息：1.直观想象与操作确认；2.指数、对数与幂函数的组合类问题是新高考重要问题之一，从两个基本不等式进行更多
有趣的探究。

2.2模型应用
问题：P104复习题参考题5第18题：已知函数，当
时，求证 .
学生：参变分离
分析：时，，要证，只需证明，
， .
设计意图：学以致用，用前面学习的方法解决高考真题，提高学生学习的积
极性。

方法主要采用参变量放缩，以替换 .
证明
变式1：
学生分析：，因为，所以 .
教师：上面证明过程出现等号，证明中是没有等号的，怎么回事？第一个取
等的条件和第二个取等的条件分别是什么？
学生：第一个等号成立的条件，第二个等号成立条件是，所以等号不成立。

教师：很好！
设计意图：趁热打铁，通过前面问题的铺垫，学生用类比得思想以替换，建立两个不等式之间的关系，迅速解决问题。

变式2：（2018年全国I文科21.2）已知函数证明当
时，
学生1：参变分离。

学生2：化有参为无参，以替换 .
分析：， .变式3：
证明当时，
学生：要证
，即证
，
以替换不等式
得
变式4：
证明
教师：前面都是我们的同学大展身手，此题老师也该露一手了，你们在下面看着。

分析：，左边
教师：是不是很完美？已证完。

学生：哇！
此时，班里响起了学生的掌声，就在这时有一位男同学小声地说：“好像不太对。

”
教师：“这不是很完美吗？哪有问题呢？看来女同学们都对老师的做法坚定不移，但是我们班的男同学就不坚定了，下面本人找一位男同学来说一下他的怀疑。

”
学生：“替换后不知道是正还是负的。

”此时学生们恍然大悟。

教师：“上面过程是当的证明，那呢？下面留给你们表演，新的方法失败，要回到原来的方法”
学生：左式=，，，
.
设计意图：从变式2至变式4主要考察学生证明不等式的放缩法与重要不等
式的替换思想，其中也有分析法，学生一开始掌握了替换的本质，在做题时激情
澎拜，教师通过一系列变式激发学生的热情，让学生喜欢上解题，不在畏惧证明
不等式，学生会发现证明不等式原来那么简单有趣啊！
3课题想法
3.1说方法
证明方法
1.
综合法
做查、参变分离或合一为二，求函数的最值。

2．放缩法
对参变量和代数式进行适当的放缩，以直代曲或以曲代曲。

1.
分析法
合理转化，寻求结论成立的充分条件。

3.2说设计
林老师说：“本节课第一个是想通过这样的一堂设计来再次看看自己所提炼
的东西在高考中是不是考察的核心，那么我想也找到了一些核心。

第二个是教材
的知识点是孤立的还是有内在的含义，我想告诉学生通过直观想象再去提炼蕴含
数学思维的东西，再去发现它们有没有内在的联系。

本节课讲了一些简单的方法，通过转化与化归的思想，对文科生来讲就是寻找一种替换，那么通过一些简单的
代数式的替换去揭示这种转化和化归的思想，想教给学生一种简单易操作的方法
解决问题。

在这个过程中也设置了一些障碍，让学生在思维当中不断地发现，包
括在证明当中想提炼出不等式证明地三种方法：一是综合法，二是放缩法，三是
分析法。

后面的命题当中实际上是想做一个逐步地深入，比如说分类讨论，有设
置陷阱的，还有观察数据分析想办法将核心素养的东西能够在这些简单的题目当
中都能够有所呈现，这是我想通过这节课想达到的目的。

”
4听后反思
本人听完这堂课受益匪浅，整堂课下来突出主题，解决了学生在学习中的思
维疼点。

本堂课激发了学习的兴趣，课堂氛围异常活跃，学生由开始掌握两个不
等式模型本质，接下来解决高考真题和变式便顺理成章了，做完之后还意犹未尽
的感觉。

导数的应用本身就是比较难，尤其对于文科生来说更难，而林老师通过
利用课本上出现的两个不等式放缩和替换将含有指数函数、对数函数与幂函组合
的不等式证明变得通俗易懂，教师教得好，学生学得轻松。

本节课体现了学生的主体地位，落实了数学数形结合与高考连接的核心素养，做到“放开手让学生
自己走”而不是由教师“牵着学生走”。

本节课体现了数学核心素养不是直
接由教师教出来的，而是在问题情境中借助问题解决的实践培育起来的。

纵观整
个教学过程，虽然也是教师问，学生答，但是整节课都是学生在解决问题，教师
好像就像一位观众倾听学生的想法。

整节课体现了三个点：1.目标明确，学生知
道“学什么”;2.学生动机激发很足，学生知道“为什么学”; 3.情境设计丰富，学生知道“怎么学”。

最重要的一点是林老师是从课本出发，平时在教学中，好
多教师包括笔者自己都很少研究课本，认为课本的知识简单，这节课让笔者重新
认识到高考的每一道题在课本上都可以找到根源，课本上的每一道题都值得每一
位教师去研究。

林老师真正做到带着学生“跟着课本去旅行”。

参考文献
[1]吕增锋. 牵着走，还是让学生自己走？基于核心素养的数学课堂教学思
考[J].中学数学参考，2019（11）：34-36.。