云南省丽江市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析

云南省丽江市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．
16
625
B ．
96625
C ．192
625
D ．256625
【答案】B 【解析】 【详解】
解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，
()222
4441962()()55625
P C ==
故选B ．
2．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为
，则，两地的球
面距离是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆
半径
，由
两地经度差为
，在
中算出
，从而得到
，利用球面距离的公式即可得到
两地球面的距离.
详解：
设在北纬纬圆的圆心为，球心为，
连结
，则
平面
，
在中，，同理，
两地经度差为，， 在中，
，
由此可得
是边长为的等边三角形，得
，
两地球面的距离是
，故选C.
点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，
考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题. 3．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0
200,x x R e
x ∃∈>
C ．0
200,x x R e x ∃∈≤
D ．2,x x R e x ∀∈<
【答案】C 【解析】 【分析】
命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定. 【详解】
命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：∀为限定词，x ∈R 为条件，2e x x >为结论；而∀的否定为∃，2e x x >的否定为2x e x ≤， 所以2
,x
x R e x ∀∈>的否定为0
200,x x R e x ∃∈≤
故本题正确答案为C. 【点睛】
本题考查了命题的否定,属于简单题.
4．设a R ∈，则“1a >”是“21a >”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
【详解】
∵21a >可得1a <-或1a >，
∴由“1a >”能推出“21a >”，但由“21a >”推不出“1a >”， ∴“1a >”是“21a >”的充分非必要条件， 故选A. 【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.
5．已知二项式2(*)n
x n N
⎛∈ ⎝
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3
x 的系数
为（ ） A ．14 B ．14-
C ．240
D ．240-
【答案】C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2
︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+⎛= ⎝
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：1
2
:2:5n n C C =. 解得：6n =.
所以()
()3
662
16221r
r n r
r r
r r r n T C x C x
---+⎛==- ⎝
令3
632
r -
=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题． 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2π＋3
B ．4π＋3
C 23
D 23
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长22213-=2，高是2，所以组合体的体积是21123
22312232ππ⨯
⨯⨯⨯⨯=+，故选C. 考点：几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】
本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.
7．已知全集U =R ，集合2
{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =I
【答案】D 【解析】 【分析】
首先解出集合A ，B ，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。

由题可得{}|02A x x =<<，{}|-22B x x =<<； 所以{}|02A B x x A ⋂=<<=，则D 选项正确； 故答案选D 【点睛】
本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。

8．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
9．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则()P B A =( ) A ．
2
3
B ．
25
C ．
13
D ．
14
【答案】D 【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出()|P B A ． 【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖， 所以()1|4
P B A =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
10．一个随机变量ξ的分布列如图，其中A 为ABC ∆的一个内角，则ξ的数学期望E ξ为（ ）
A ．
2
B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得sin A ，然后根据数学期望的计算公式可得结果. 【详解】
由cos2sin 1A A +=， 得212sin sin 1A A -+=， 所以1
sin 2
A =
或sin 0A = (舍去) 则1cos 2sin 2
A A ==
， 113
12222
E ξ∴=⨯+⨯=
故选：D 【点睛】
本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.
11．设不等式组1
11x y y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
所表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+的图象经过区域M ，则实数k 的
取值范围是（ ）
【答案】C 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，由直线()2y k x =+过定点，数形结合求得定点与可行域内动点连线的斜率的范围，则答案可求． 【详解】
由不等式组111x y y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪-≤⎩
作出可行域M ，如图
.
直线()2y k x =+表示过点(2,0)P -斜率为k 的直线. 直线()2y k x =+的图象经过区域M 即将x 轴绕点P 沿逆时针旋转到点B 的位置.
()101
022
OB k -=
=--.
所以直线()2y k x =+的图象经过区域M ，其斜率102
k ≤≤. 故选：C 【点睛】
本题考查了直线系方程，考查了直线的斜率，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12．已知Y ＝5X ＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为 A ．1 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】
11
1Y -
详解：Y ＝5X ＋1，E(Y)＝6，则E(X)=()11
1 1.555Y E E Y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是期望的计算，两个变量如果满足线性关系，
()()()()2,,X aY b E X aE Y b D X a D Y =+=+=.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a ．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为
1
4
，则cos α=_____________．
【答案】71
4
+ 【解析】 【分析】
设正方形边长为1，可得出每个直角三角形的面积为
1
sin 24
α，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为
34
，可求出3sin 24α=，由04π
α<<得出cos20α>并得出cos2α的值，再利用降幂公式
21cos 2cos 2
α
α+=
可求出cos α的值. 【详解】
设正方形边长为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α和cos α，则每个直角三角形的面积为
11
sin cos sin 224ααα=，由题意知，阴影部分正方形的面积为14
， 所以，四个直角三角形的面积和为114sin 2144α⨯=-，即3
sin 24
α=，
由于α是较小的锐角，则04
π
α<<
，022
π
α∴<<
，所以，27
cos 21sin 24
αα=-=
， 因此，
711cos 2827714cos 2
2164
α
α+
++=
===，故答案为71
4
+.
二倍角升幂公式求出cos α的值，考查计算能力，属于中等题．
14．如图为一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓是正方形，则该几何体的侧而积为_______.
【答案】8 【解析】 【分析】
首先根据三视图转换成立体图形，进一步利用几何体的侧面积公式求出结果． 【详解】
解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2，高为3的正四棱锥． 如图四棱锥
所以：正四棱锥的侧面的高为：132h =+=，
则正四棱锥的侧面积为：1
42282
S =⨯⨯⨯=． 故答案为8. 【点睛】
本题考查的知识要点：三视图和立体图形之间的转换，几何体的侧面积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力． 15)
224x x dx -=__________
【解析】 【分析】
根据定积分的几何意义求出0
ò
，再由微积分基本定理求出2
xdx ⎰，进而可得出结果.
【详解】
因为
ò
表示圆224x y +=面积的
14
，所以2
0124ππ=⋅=⎰；
又2
20
2
1202xdx x ==⎰，
所以
)
2
2x dx π=+⎰
.
故答案为2π+ 【点睛】
本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型. 16．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_________（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】
先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果． 【详解】
先排三个奇数，共有3
36A =种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有
33212A =种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有33
3
3272A A =个． 故答案为：72． 【点睛】
对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知集合A ={}
|2,0x x a a -，集合B =22|13x x x -⎧
⎫
<⎨⎬+⎩⎭
. （1）若1a =，求A B I ；
【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<<（2）{}|03a a <≤ 【解析】
分析：（1）先化简集合A,B ，再求A B ⋂.(2)先化简集合A,B ，再根据A ⊂
≠B 得到23
250
a a a -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
，解不等式得
到实数a 的取值范围.
详解：（1）当1a =时，21x -<，解得13x <<.则A = {|13}x x <<.
由
22
13
x x -<+，得35x -<<.则B = {|35}x x -<<. 所以{|13}A B x x ⋂=<<.
（2）由2a(0)x a -<>，得22a x a -<<+.
若A ⊂
≠B ，则2325.0
a a a -≥-⎧⎪
+≤⎨⎪>⎩
解得03a <≤.
所以实数a 的取值范围是{|03}a a <≤.
点睛：（1）本题主要考查集合的运算和集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)
把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f x g x ≥的形式→化成不等式组()0
()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩
→解不等式组得解集.
18．已知()()()3
2
31ln ,2
x
f x x e e x
g x x x a =--=-+
+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
. 【解析】 试题分析：
（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在
()0,+∞上的值域为[)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有
1个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()10
20g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩
，由此可得所求范围．
试题解析：
（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞． 因为()()1ln x
f x x e e x =--，
所以()x
e f x xe x
'=-
， 令x
e y xe x =-
，则20x x
e y e xe x
+'=+>， 所以当0x >时，()x
e f x xe x
'=-是增函数，
又()10f e e '=-=，
故当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．
所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增． （2）由（1）知当1x =时，()f x 取得最小值， 又()10f =，
所以()f x 在()0,+∞上的值域为[
)0,+∞．
因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个． 因为()3
2
32
g x x x a =-+
+， 所以()()2
3331g x x x x x =-+'=--，
所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
所以()()1020g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，即10
220
a a ⎧+≥⎪⎨⎪-+<⎩，
解得1
22
a -
≤<． 所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
． 点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）． 19．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示．墩的上半部分是正四棱锥P ﹣EFGH ，下半部分是长方体ABCD ﹣EFGH ．图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧视图；
（2）求该安全标识墩的体积．
【答案】(1)见解析（２）64000（cm3）
【解析】
【分析】
（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P﹣EFGH，下半部分是长方体ABCD﹣EFGH，故其正视图与侧视图全等．
（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果．
【详解】
（1）该安全标识墩侧视图如图所示．
（2）该安全标识墩的体积
V＝V P﹣EFGH+V ABCD﹣EFGH
1
=⨯40×40×60+40×40×20
3
＝64000（cm3）．
【点睛】
根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果
三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 20．选修4-5：不等式选讲 已知函数2
()3f x x x =-+. （Ⅰ）求不等式()3f x x ≥的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式2
()2
x
f x x a -≤
+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】 (1){}
31x x x ≥≤或;(2)(][),33,-∞-+∞U . 【解析】
分析：（Ⅰ）对x 分两种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（Ⅱ）
问题等价于32
x a x ++≥恒成立，因为22222222x x x x x x x x
a x a a a a ++=+++≥+-+=+≥，只需3a ≥即可得结果.
详解：（Ⅰ）当0x ≥时，()2
33f x x x x =-+≥,即2430x x -+≥,
解得3x ≥或1x ≤.所以3x ≥或01x ≤≤；
当0x <时，()2
33f x x x x =++≥，此不等式2230x x -+≥恒成立，所以0x <.
综上所述，原不等式的解集为{}
31x x x ≥≤或. （Ⅱ）()2
2x f x x a -≤
+恒成立，即33x x a -+≤+恒成立，即32
x
a x ++≥恒成立， ∵
22222222
x x x x x x x x
a x a a a a ++=+++≥+-+=+≥ 当且仅当0x =时等式成立，∴3a ≥，解得3a ≥或3a ≤-. 故实数a 的取值范围是(][
),33,-∞-⋃+∞. 点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
21．设数列{}n a 满足13a =，21
143n n n a a -+-=⨯，*n ∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2
3
n n b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）()
(
)
1*391
2
n n a n -+=∈N （2）()
*9(81)1(1)64642
n
n
n n n S n -+=++∈N 【解析】 【分析】
（1）由数列恒等式()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得()1192
3
n n n b na n -=
=+，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】
（1）13a =，21
143n n n a a -+-=⨯
当2n ≥时，()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L
(
)
(
)123
25
391
43
3
332
n a n ---+=++++=
L
而13a =，符合上式，
所以数列{}n a 的通项公式为()
()1*
391
2
n n a n -+=∈N
（2）()1192
3
n n n b na n -=
=+， 设21
1129399n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅L ，
2391929399n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
相减可得2
1
81999
9n n
n T n --=+++⋯+-⋅19919
n
n n -=-⋅-，
化简可得18)19(64
n
n n T +-⋅=，
可求和得：()
*9(81)1(1)
64642
n n n n n S n -+=++∈N
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
22．我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450)，[450,550)，[550,650)金额段的学
生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.
（1）求m ，n 值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 10 50 合计
附：22
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
()20P k k …
0.10
0.05
0.010
0.005
0k K0
2.706
3.841 6.635 7.879
【答案】（1）0.0025,0.0035m n ==，470x =（2）没有90%的把握 【解析】
分析：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+，得,m n ，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；
（2）由题知数据完善2×2列联表，计算2K ，查表下结论即可. 详解：（1）由题意知 ()1000.6m n +=且20.0015m n =+ 解得0.0025,0.0035m n == 所求平均数为：
3000.154000.355000.256000.157000.10470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)
（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：
根据上表数据代入公式可得()2
210015403510100
1.33
2.70625755050
75
K ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯ 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．
点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握
情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式1122·
··n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积.。