3.3旋转
3.3生活中的旋转
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 定点 某个方向转动一个角度 转动一个角度， 某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转。 动称为旋转。
这个定点称为旋转中心， 这个定点称为旋转中心，转动的角称 旋转中心 旋转角。 为旋转角。
A B
旋转角
o
旋转中心
议一议 它绕O点旋转得 它绕 点旋转得
（3）旋转角是什么？ ∠AOD和∠BOE都是旋转角 ）旋转角是什么？ ∠AOD和 BOE都是旋转角 的长有什么关系？ 与 呢 （4）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？AO=DO，BO=EO ） 与 的长有什么关系 ， 有什么大小关系？ （5）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？ ） AOD与 BOE有什么大小关系
1．（ ）时针和分针的交点 ．（1） ．（ （2）30° ） ° （3）75° ） ° 2．3次 90° ． 次 ° 3．图形（1）是通过一条线段绕点 旋转 旋转360°而 ．图形（ ）是通过一条线段绕点O旋转 ° 得到的；图形（2）可以看作是“一个Rt△ABC” 得到的；图形（ ）可以看作是“一个 △ 绕线段AC旋转 旋转360°而得到的；图形（3）将矩 绕线段 旋转 °而得到的；图形（ ） 旋转一周而得到的． 形ABCD绕AD旋转一周而得到的． 绕 旋转一周而得到的 • 4．是 5．D ． ． • • • • •
如图，如果把钟表的指针看做四边形 如图，如果把钟表的指针看做四边形AOBC， ， 到四边形DOEF. 在这个旋转过程中： 在这个旋转过程中： 到四边形
（1）旋转中心是什么 旋转中心是 ）旋转中心是什么? 旋转中心是O
和点E的位置 和点 分别移动到什么位置？ （2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 点D和点 的位置 ）经过旋转， 、 分别移动到什么位置
图形的平移与旋转易错题集：3.3 生活中的旋转
第3章《图形的平移与旋转》易错题集（02）：生活中的旋转选择题1．工地上有甲、乙两块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为a且tan a＝，腰长为10cm，铁板乙形状为直角梯形，两底边分别为4cm、10cm，且有一内角为60°，现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为的圆洞中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过2．按图中第一、二两行图形的平移、轴对称及旋转等变换规律，填入第三行“”处的图形应是（）A．B．C．D．3．将图按顺时针方向旋转90°后得到的是（）A．B．C．D．4．将叶片图案旋转180°后，得到的图形是（）A．B．C．D．5．用方块布料缝制一块挂毯，方块形成的花纹如图所示．试问应该选择下面给出的四块布料中的哪一块，填在图中①的位置才能使花纹保持原来的模式（）A．B．C．D．6．下列图中的“笑脸”，由下图按逆时针方向旋转90°得到的是（）A．B．C．D．7．下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（）A．B．C．D．8．如图，小慧用如图的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上，下列给出的四个图形中，符合胶滚滚出的图案是（）A．B．C．D．9．将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是（）A．B．C．D．10．如图是北京奥运会会标，在图中是由左图顺时针旋转90度得到的是（）A．B．C．D．11．用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形运动是（）A．平移和旋转B．对称和旋转C．对称和平移D．旋转和平移12．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）A．B．C．D．13．如图，下面的图形绕着一个点旋转120°后，能与原来的位置重合的有（）A．②④⑤B．②③C．②③④D．①②④14．将如图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．15．以下现象：①荡秋千；②呼啦圈；③跳绳；④转陀螺．其中是旋转的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④16．如图，下列各图均是由左边的图形旋转而成的，其中逆时针旋转72°得到的图形是（）A．B．C．D．17．如图，经过平移和旋转变换可能将甲图案变成乙图案的是（）（默认三角形都是全等的）A．B．C．D．18．图案（1）是一张等腰直角三角形纸片，在纸片的三个角上分别画出“●”，“▲”，“■”，将纸片绕斜边中点旋转180°所得的图形和原图形拼成的图案是（）A．B．C．D．19．按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A．B．C．D．20．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A′B′C，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°21．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90度．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③22．将一图形绕着点O顺时针方向旋转70°后，再绕着点O逆时针方向旋转120°，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转的角度是（）A．顺时针方向50°B．逆时针方向50°C．顺时针方向190°D．逆时针方向190°23．一个直角三角形两条直角边为a＝6，b＝8，分别以它的两条直角边所在直线为轴，旋转一周，得到两个几何体，它们的表面面积相应地记为S a和S b，则有（）A．S a＝S b B．S a＜S b C．S a＞S b D．无法确定24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有EF＝AP．（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（）A．1个B．3个C．D．填空题25．如图，△ADB是由△AEC绕点A沿顺时针方向旋转42度得到，则∠BAC＝度．26．如图所示，可以看成由一个图形经过次旋转得到的，每次分别旋转了度．27．要使正六边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转度．第3章《图形的平移与旋转》易错题集（02）：生活中的旋转参考答案选择题1．A；2．B；3．A；4．D；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．C；11．B；12．D；13．C；14．A；15．D；16．D；17．A；18．B；19．A；20．A；21．D；22．A；23．C；24．D；填空题25．42；26．2；120；27．60；。
3.3 生活中的旋转 课件1
1、钟表的指针绕着什么转动？沿什么方向转动？ 2、运动过程中，指针的形状、大小是否发生了变化？位置呢？
动动脑筋： 上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
在平面内，将一个图形绕着一个定点 沿某个方向转动一个角度，这样的图形 运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称 为旋转角。
旋转不改变 图形的大小 和形状
做一做 在图中，正方形ABCD与正方形 EFGH边长相等，这个图案可以看作 是哪个“基本图案”通过旋转得到 的 。
E A D
F
O
H
B G
C
由正方形ABCD旋转45。 前后的图形共同组成
A
D
O
B
C
由三角形ABC分别旋转45。、 。 。 。 。 90 、135 、180 、225 ， 前后的所有图形共同组成。
它是_______
轻轻的我走了，
正如我轻轻的来，
美丽的奚仲中学和热情的奚仲 人给我留下了深刻的印象，
我会珍藏这段与大家共处的美 好时光。谢谢！再见！
1、在平面内，将一个图形绕一个 定点 ， 沿某个方向 这个定点 称 转动一个 角度 ，这样的图形运动称为旋转， 为旋转中心，转动的角称为 旋转角 。 2、旋转不改变 大小和形状 。 3、做旋转图形需要确定个三要素，它们是旋转中心和旋转角 。 4、经过旋转后的图形与原图形关系是 全等 ， 相等 ，对应角 相等 它们的对应线段 。 相等 对应点到旋转中心的距离 。 5、旋转前后的两个图形上的任意一对 对应顶点 与 旋转中心 的连线所成的角，都是旋转角。 6、钟表的时针匀速转一周需 12 小时，经过1小时， 时针转了 30 度，分针转了 360 度。
解：（1）它的旋转 中心是钟表的轴心； （２）分针匀速旋转一 周需要 60分钟 ，因此旋转 1分钟，分针旋转的角度 为 ，6度 所以20分钟所转过的角 度为 360 20 。 12基本图案” 通过怎样的旋转而得到的？
笛卡尔坐标旋转变换
笛卡尔坐标旋转变换一、介绍笛卡尔坐标旋转变换是一种常见的几何变换方法，用于将点或图像绕指定的点或轴旋转一定角度。
本文将详细介绍笛卡尔坐标旋转变换的原理、公式和应用，并结合实例详细说明其具体操作和实现方法。
二、原理及公式2.1 笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是平面上最常用的坐标系之一，它由两个互相垂直的轴组成，分别为x轴和y轴。
每个点可以用它在x轴和y轴上的坐标来表示，记作(x, y)。
2.2 坐标旋转变换公式在笛卡尔坐标系中，对一个点P(x, y)进行旋转变换，可以通过以下公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)：x’ = x * cosθ - y * sinθ y’ = x * sinθ + y * cosθ其中，θ为旋转角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
2.3 旋转中心点坐标旋转变换通常需要指定一个旋转中心点，该点为坐标系中的一个点，围绕该点进行旋转变换。
这个旋转中心点可以是任意点，根据实际需求选择。
三、操作步骤3.1 确定旋转中心点根据实际需求，确定需要进行旋转变换的图形，然后选择一个旋转中心点。
在平面上可以任意选择一个点，或者指定已知的点作为旋转中心点。
3.2 计算旋转角度确定旋转中心点后，根据实际需求确定旋转角度θ。
旋转角度可以根据需要顺时针或逆时针旋转选择。
根据旋转角度计算该角度的余弦和正弦值。
3.3 进行旋转变换根据公式计算旋转后的坐标。
对于图形上的每个点P(x, y)，根据公式计算旋转后的新坐标P’(x’, y’)。
重复该计算过程，对所有需要进行旋转变换的点进行计算。
3.4 绘制旋转后的图形根据计算得到的新坐标，绘制旋转后的图形。
连接所有点，绘制出旋转后的图形。
四、应用示例4.1 旋转平面上的点假设有一个平面上的点A(2, 3)，现需要将该点绕坐标原点逆时针旋转30度。
根据以上步骤进行计算：•确定旋转中心点：坐标原点•计算旋转角度：30度•进行旋转变换：x’ = 2 * cos30 - 3 * sin30 = 0.732 y’ = 2 * sin30 + 3 * cos30 = 3.598•绘制旋转后的图形：在坐标系上绘制点A’(0.732, 3.598)4.2 旋转平面上的图形假设有一个三角形ABC，其中A(1, 1)，B(2, 3)，C(3, 2)，现需要将该三角形绕点B顺时针旋转45度。
《3.3生活中的旋转》教学案例
3.3 生活中的旋转》教学案例湖北省当阳市坝陵中学鲍玉龙一、教学目标知识目标：①通过对生活中旋转现象本质的探究，理解旋转的定义；②通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本性质；③通过实际问题的解答，使学生了解、应用旋转的有关性质。
技能目标：经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展。
情感目标：进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度和审美意识的发展。
二、教材分析《3.3 生活中的的旋转》这一课时是探究旋转的定义与基本性质以及主动应用有关旋转知识解决简单实际问题。
它与已以学习过的轴对称、平移都是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷形式之一，探究它们的性质，认识和欣赏它们在现实生活中广泛应用，是第三学段学习的重要目标。
本节的基本定位是“生活中的旋转”，旨在引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观，使学生学到活生生的数学，并能主动应用有关性质。
因此，确定本节课上面的教学目标，以及如下的教学重点与教学难点：教学重点：旋转的性质。
教学难点：旋转性质的探究及应用。
为了达到目标、突出重点、突破难点，在认真分析本节教材的基础上，我认为在教学过程中，要引导学生在以下几个关键问题上去探究：①研究旋转是解决现实问题的需要，于是我让学生在欣赏、观察、分析现实生活中的摆钟、方向盘、辘轳的基础上引入课题，让学生体会“数学来源于生活” ，进而引导学生探究旋转的共性、特性，从而得出旋转的定义，这是第一个关键问题：探究定义；②旋转的基本性质的归纳得出，是一个难点，我针对具体实例设计了问题串引导学生进行探究，这是第二个关键问题：探究性质；③“旋转性质的简单应用”对学生来说也是一个难点，为此，我准备了两个例题、一组“尝试练习”，鼓励学生从不同的角度理解性质，讲评中配以动画演示，在讲评过程中我并不是直接给学生答案，而是引导学生探究如何应用性质，这是第三个关键问题：探究如何应用；④为了及时反馈教与学的效果，我准备了一组“评价练习”，使教师从反馈的信息中找出前面教学中的经验与不足，让教学效果落到实处，这是第四个关键问题：探究经验教训；⑤为了让零乱的数学知识系统化，要引导学生归纳小结，梳理知识，理清结构，探究本节课的心得，并记入成长记录袋，这是第五个关键问题：探究心得。
CAD中常用的旋转和缩放快捷键命令有哪些
CAD中常用的旋转和缩放快捷键命令有哪些在CAD软件中，旋转和缩放是常用的操作，能够帮助用户快速调整和修改图形。
下面将介绍一些常用的旋转和缩放快捷键命令，以帮助CAD用户提高工作效率。
1. 旋转命令：旋转命令能够帮助用户将选定的对象绕指定点进行旋转。
以下是一些常用的旋转快捷键命令：1.1 RO（Rotate）：通过输入RO命令或点击工具栏上的旋转图标，用户可以选择需要旋转的对象，然后选择旋转的基点，最后输入旋转的角度或通过鼠标拖动完成旋转。
1.2 ROE（Rotate>Entity）：ROE命令是旋转命令的扩展，它使用户能够旋转单个对象而无需选择基点。
用户只需输入ROE命令，选择需要旋转的对象，然后输入旋转的角度或通过鼠标拖动完成旋转。
1.3 ROTATE3D（Rotate3D）：ROTATE3D命令用于将对象绕三维空间的轴进行旋转。
用户可以选择需要旋转的对象，然后输入旋转的角度或通过鼠标拖动完成旋转。
2. 缩放命令：缩放命令用于改变图形的大小比例，使得图形可以在不同的比例下显示。
以下是一些常用的缩放快捷键命令：2.1 Z（Zoom）：用户可以通过输入Z命令或点击工具栏上的缩放图标，选择缩放的模式，例如窗口缩放（W）、指定缩放比例（S）或上一次缩放的比例（P），然后选择需要缩放的对象或界限，完成缩放操作。
2.2 ZE（Zoom>Extents）：ZE命令能够快速缩放到所有图形对象的界限，使所有图形对象都能在当前窗口大小下完全显示。
2.3 ZP（Zoom>Previous）：ZP命令可以快速返回到上一次的缩放比例，方便用户在不同的缩放级别之间切换。
2.4 ZR（Zoom>Scale）：ZR命令用于指定绝对缩放比例。
用户只需输入ZR命令，然后输入所需的缩放比例，即可完成缩放操作。
3. 其他常用快捷键命令：除了上述的旋转和缩放命令，还有一些其他常用的快捷键命令可以帮助CAD用户更快速地进行操作。
空间几何体的旋转问题分析
空间几何体的旋转问题分析一、旋转的定义与性质1.1 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
1.2 旋转的性质：（1）旋转不改变图形的大小和形状；（2）旋转改变了图形的位置；（3）旋转中心点不变，旋转角度不变。
二、空间几何体的旋转2.1 空间几何体的定义：由平面图形旋转形成的几何体，如圆柱、圆锥、球等。
2.2 空间几何体旋转的定义：将一个空间几何体绕着某一条轴旋转一个角度的几何变换。
2.3 空间几何体旋转的性质：（1）旋转不改变空间几何体的大小和形状；（2）旋转改变了空间几何体的位置；（3）旋转中心点不变，旋转角度不变。
三、空间几何体旋转问题的分析方法3.1 确定旋转轴：旋转轴是空间几何体旋转的核心，一般有固定轴和动轴两种。
3.2 确定旋转方向：旋转方向可以是顺时针或逆时针。
3.3 确定旋转角度：旋转角度可以是任意实数，通常取特殊角度（如90°、180°等）进行分析。
3.4 分析旋转前后的几何体的位置和形状变化：通过绘制旋转前后的图形，分析空间几何体的位置和形状变化。
四、空间几何体旋转的应用4.1 旋转对称：空间几何体绕着某一条轴旋转一个角度后，能与原图形重合，则称为旋转对称。
4.2 空间几何体的展开与折叠：通过空间几何体的旋转，可以进行展开和折叠，从而分析其表面积和体积等性质。
4.3 空间几何体的视角问题：通过空间几何体的旋转，可以改变观察角度，从而分析几何体的可视区域。
空间几何体的旋转问题分析是中学数学中的重要内容，掌握旋转的定义与性质、空间几何体的旋转以及分析方法等，能够帮助我们更好地理解和解决空间几何相关问题。
习题及方法：1.习题：一个圆柱以底面圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，求旋转后的圆柱与原圆柱的相对位置关系。
（1）画出圆柱的侧面展开图；（2）将圆柱的侧面展开图绕着底面圆心旋转90°；（3）观察旋转后的图形与原图形的相对位置关系，得出结论：旋转后的圆柱与原圆柱是关于底面圆心轴对称的。
旋转的方法
旋转的方法旋转是指物体在固定点或固定轴周围旋转的运动方式，是我们日常生活和工作中常见的一种现象。
旋转不仅具有实际应用价值，还被广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的研究和实践中。
本文将详细介绍旋转的方法及其相关概念和应用。
1. 旋转的定义和基本概念旋转是指某物体在一个固定点或固定轴周围不断改变位置和方向的运动形式。
在物理学中，我们通常采用角度来描述旋转的程度。
旋转的基本概念包括：•旋转轴：物体旋转的轴线，可以是任意直线或曲线。
•旋转半径：旋转轴上一点到物体的距离，也可以是物体上某点到旋转轴的垂直距离。
•角速度：物体单位时间内绕旋转轴转过的角度大小。
角速度通常用符号ω表示。
•转动惯量：物体对旋转运动的惯性，决定了物体在旋转过程中的转动状态和惯性特性。
2. 旋转的方法旋转的方法根据不同的旋转轴和应用环境可以有多种方式。
下面将介绍其中常见的几种旋转方法。
2.1 自由旋转自由旋转是指物体在没有外力作用下，在固定轴周围自由旋转的运动形式。
自由旋转是一个稳定的旋转状态，在物体的转动惯量与转轴的位置关系合适时，物体可以保持稳定的旋转状态。
自由旋转的角速度与物体的转动惯量和应用力矩的关系由转动定律给出。
2.2 强制旋转强制旋转是指物体在外力的作用下，在固定轴周围旋转的运动形式。
外力可以通过施加力矩或扭矩来实现，使物体发生旋转运动。
在强制旋转下，物体的转动状态受到外力大小和方向的影响，而且通常需要外界力的持续作用才能保持旋转。
2.3 应用实例旋转的方法在实际生活和工作中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用实例。
2.3.1 机械工程旋转方法在机械工程中的应用非常广泛。
例如，发动机内部的曲轴在工作时进行旋转，带动汽缸的工作；风力发电机利用风的动能使旋转的叶片带动发电机产生电能；摩托车和自行车的车轮在行驶时进行旋转，推动车辆前进等。
2.3.2 物理学旋转方法在物理学中的应用非常重要。
例如，刚体旋转运动是刚体力学的重要研究内容之一；旋转力矩和转动惯量是描述旋转运动的基本物理量；旋转动能和角动量是研究旋转运动的重要指标。
3.3生活中旋转
想一想
(4)汽车的方向盘在转动过程中,其 形状、大小、位置是否发生改变?
（5）在提水的过程中，辘轳的摇 动把手也在不停地转动着．
转动着的辘轳摇把的形状、大小、 位置是否发生改变?
方向盘、转动着的辘轳摇把的 形状、大小不变,位置改变。
什 么 是 旋 转 ？
在平面内,将一个图形绕一个定点沿某 个方向转动一个角度,这样的图形运动 称为旋转。
A
M.
解(1)旋转中心是点A (2) 旋转角为：∠DAE和∠BAC, ∠DAE=∠BAC= 60 ° (3)点M转到了AC的中点上。
E
B
D
C
做一做
下图中,正方形ABCD与正方形EFGH 边长相等,这个图案可以看做是哪 个”基本图案”通过旋转得到的?
E A
解（一）：可看做是正方形 D ABCD绕点O旋转45°前后的图形
3、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，
将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP’重合。 如果AP=3，求PP’的长。
解：∵ △ABP绕点A逆时针旋转后， 能与△ACP’重合，
A
∴AP’=AP=3, ∠PAP’= ∠BAC=90°
P’
∴ △ PAP’为等腰直角三角形，
PP’为斜边
P
∴ PP’2=AP2+AP’2=32+32=1B8
这些图形都可以看成由一个或几个基本平面图形转动而产 生的奇妙画面.想一想是由什么基本图形怎样旋转形成的?
今天这节课你学到了 什么吗？
小结： 1.旋转的概念；旋转的性质以及平 移与旋转的区别联系 2.利用旋转的性质解决几何问题， 实际问题 3.利用旋转来设计图案
自我检 测
1两、个要重想要把因图素形，在它平们面是内_旋旋__转转__方，_向除_ 了和有__旋_旋_转转_中_角_心度. 还需要 2、如图，正方形ABCD可以看成由三角__A_O__D_旋转 而成的，其旋转中心为___O___点，旋转角度依次为 ____9_0_°__，___1_80_°___，___2_7_0_°__.
2024专题3.3旋转---半角模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
A
D
2
2
⑤CE= 2 DM,DF= BG,EF= GM, ⑥ = =
CE FC 2
M
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长；
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
F
角度之间的关系： ①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
G
O
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
四点共圆：①ABEM ②ADFG ③GEFM ④CEMF ⑤CEGMF
=
=
= .
A
(1)∵∠MEN=∠MFN=45º,∴M、N、F、E四点共圆
D
45º
∴∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE,
∴△AMN∽△AFE.
N
F
M
B
E
C
变式训练
考点3-1
半角模型---90°+45°
【变式6】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于
A
上且∠EDF=60º.求证：EF=BE+CF.
【分析】将△BDN绕点D顺时针旋转120º得△DCG,
E
F
易证：△DBE≌△DCG(SAS)→DE=DG,∠FDG=∠FDE=60º
易证：△DFE≌△DFG(SAS)→EF=GF,
∴EF=GF=GC+CF=BE+CF.
B
60º
D
C
针对训练
考点3-2
半角模型---120°+60°
图形示例
A
模型分析
当一个角包含着这个角的半角
等边三角形
,常将半角两边的三角形通过
3.3生活中的旋转
第二课时
1.旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度； 2.旋转前后的大小、形状不变； 3.对应边，对应角相等
讨论: （1）图形上的点绕着旋 转中心转过的角度之间 有何关系？ （2）你能发现图中线段 之间、角之间有什么关系？ （3）ΔABC和 ΔA’B’C’的形状、大 小有何变化？ 1、图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小 的角度（任意一对对应点与旋转中心的连线所 成的角都是旋转角）。 2、对应点到旋转中心的距离相等。
（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋
转后，点M转到了什么位置？ 解:（1）旋转中心是A; （2）旋转了60度; Ｂ Ｄ （3）点M转到了AC的中点位置上.
． Ｍ
Ａ
Ｅ Ｃ
练习2. 如图：P是等边ABC内的一点，把 ABP按不同的方向通过旋转得到BQC和 ACR， （1）指出旋转中心、旋转方向和旋转角度？ （2） ACR是否可以直接通过把BQC旋转 得到？ A
个过程中，你有什么发现？
A
C B
想一想 如果旋转中心在△ABC形外，
在这个旋转过程中，你有什么发现?
.O
A
C B
随堂练习4.
将等边△ABo绕着点o
按某个方向旋转450后得到 △A/B/O
旋转的基本性质
◆旋转前、后的图形全等.
◆对应点到旋转中心的距离相等.
◆每一对对应点与旋转中心的 连线所成的角彼此相等.
◆图形的旋转是由旋转中心和 旋转的角度决定.
随堂练习1
下列现象中属于旋转的有( )个 ①地下水位逐年下降；②传送带的移 动；③方向盘的转动；④水龙头开关
的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运
动.
煤矿井下常用钻机型号
煤矿井下常用钻机型号1. 引言煤矿是我国重要的能源资源，为了有效开采和利用煤炭资源，钻机在煤矿井下的开采作业中起着重要的作用。
本文将介绍几种常用的煤矿井下钻机型号，包括岩心钻机、旋转式钻机和锚杆钻机。
2. 岩心钻机岩心钻机是一种常见的井下钻机，主要用于地质勘探和岩层取样。
它可以在井下进行不同深度的岩心取样，并提供有关地质情况和煤层结构的重要信息。
以下是几种常见的岩心钻机型号：2.1 液压式岩心钻机液压式岩心钻机采用液压系统驱动，具有稳定性好、工作效率高等特点。
它通常由液压泵、油缸、电动机等部件组成。
这种类型的钻机适用于不同类型的地质条件，如软土层、硬岩等。
2.2 电动式岩心钻机电动式岩心钻机采用电动机驱动，具有操作简便、噪音小等优点。
它通常由电动机、减速器、钻杆等部件组成。
这种类型的钻机适用于较小规模的岩心取样工作。
2.3 气动式岩心钻机气动式岩心钻机采用气动系统驱动，具有结构简单、维护方便等特点。
它通常由气压缸、气源装置、控制阀等部件组成。
这种类型的钻机适用于井下无电源供应的情况。
3. 旋转式钻机旋转式钻机是一种常见的井下开采设备，主要用于钻孔和爆破作业。
它可以在井下进行不同直径和深度的钻孔，为煤层开采提供必要支持。
以下是几种常见的旋转式钻机型号：3.1 旋转挖掘器旋转挖掘器是一种高效率的井下开采设备，它通过旋转刀具进行地层切削和破碎。
它通常由电动机、行走装置、刀具等部件组成。
这种类型的钻机适用于硬质煤层的开采作业。
3.2 旋转钻探机旋转钻探机是一种多功能井下开采设备，它可以进行钻孔、取样、爆破等作业。
它通常由电动机、变速器、钻杆等部件组成。
这种类型的钻机适用于不同深度和直径的钻孔作业。
3.3 旋转锚杆机旋转锚杆机是一种专用的井下开采设备，主要用于锚杆安装和支护作业。
它通常由电动机、液压泵站、支架等部件组成。
这种类型的钻机适用于煤层支护和安全工作。
4. 锚杆钻机锚杆钻机是一种常见的井下工程设备，主要用于煤层支护和加固作业。
大班科学教案旋转的世界
大班科学教案：旋转的世界1. 引言在我们身边，很多物体都在旋转，如地球自转、风扇转动等。
旋转是什么？旋转有什么特点？本次科学教案将带领大班幼儿一起探究旋转的世界。
2. 学习目标通过学习，幼儿应该能够：•理解旋转的概念和特点；•识别日常生活中的旋转物体；•探究不同的旋转物体的旋转速度和方向；•学会用简单的语言描述旋转的过程。
3. 教学内容和步骤3.1 旋转的概念和特点•引导幼儿观察旋转的物体，如风扇、游泳轮胎等；•与幼儿一起探究旋转的特点：旋转物体是围绕一个中心轴旋转，旋转物体在旋转中具有一定的速度和方向，旋转的速度可以快可以慢，旋转的方向可以顺时针也可以逆时针；•向幼儿展示动画或视频，帮助幼儿更好地理解旋转的概念和特点。
3.2 识别日常生活中的旋转物体•引导幼儿观察周围的事物，看看哪些物体在旋转；•帮助幼儿说出这些物体的名称和旋转的方向；•让幼儿尝试模仿这些物体的旋转动作，如坐在木马上或转动游泳轮胎。
3.3 探究不同的旋转物体的旋转速度和方向•提供不同的旋转物体，如风扇、扇子、旋转木马等；•向幼儿提出问题，如“哪个物体的旋转速度更快？”“哪个物体的旋转方向与其他不同？”等；•让幼儿尝试旋转这些物体，并比较它们的旋转速度和方向。
3.4 描述旋转的过程•向幼儿提出“旋转的过程是什么？”的问题；•让幼儿组成小组，每个小组选择一个旋转物体进行探究，并用简单的语言描述这个物体旋转的过程；•向其他幼儿展示他们的描述，并评价其他小组的描述是否准确、有趣和易懂。
4. 小结通过本次科学教案，幼儿们对旋转有了更深入的理解，他们能够识别日常生活中的旋转物体，能够探究不同物体的旋转速度和方向，并能够用简单的语言描述旋转的过程。
5. 参考文献•Anderson, M. (2010). Wheels, clocks, and rockets: A history of technology. Ontario: Crabtree Publishing Company.•Barrow, J. D. (2012). The book of nothing: Vacuums, voids, and the latest ideas about theorigins of the universe. New York: Vintage Books.•Cooke, P. (2011). The beauty of science. New York: DK Publishing.。
三维坐标系旋转变换公式绕定轴__解释说明
三维坐标系旋转变换公式绕定轴解释说明1. 引言1.1 概述在三维空间中，我们经常需要对物体进行旋转变换。
三维坐标系旋转变换公式是一种用于描述和计算物体在三维空间中绕定轴进行旋转的数学表达式。
通过通过旋转角度和确定的轴向，我们可以准确地描述物体在空间中的姿态变化。
1.2 文章结构本文将详细介绍三维坐标系旋转变换公式以及围绕定轴进行旋转的推导过程。
首先，我们将解释旋转变换的概念，并介绍表示三维坐标系旋转的方法。
接下来，我们将讨论如何确定旋转轴和角度。
然后，我们将详细推导围绕定轴进行旋转的公式，并讨论其他情况下的公式推导。
最后，我们将通过实例分析和解释说明不同情况下该公式的应用原理和效果差异，并讨论多次连续旋转对结果产生的影响以及计算方法。
最后，在结论与总结部分，我们将总结主要观点和发现，并对该方法在实际应用中的局限性和改进方向进行讨论，并展望未来相关研究方向。
1.3 目的本文的主要目的是提供一个清晰和详细的理论基础，以帮助读者理解三维坐标系旋转变换公式及其应用。
通过对公式推导和实例分析的介绍，我们希望读者能够掌握使用该公式进行旋转变换的方法，并理解不同情况下公式应用的原理和效果差异。
同时，我们也将指出该方法在实际应用中存在的局限性，并提出改进方向。
最后，我们将展望未来相关研究的方向，为读者进一步深入研究提供参考。
2. 三维坐标系旋转变换公式2.1 说明旋转变换概念在三维空间中，我们经常需要对物体进行旋转操作。
旋转变换是指通过某个轴和角度对对象进行旋转的数学操作。
它可以改变对象在三维空间中的位置和方向。
2.2 表示三维坐标系旋转的方法在三维坐标系中，常用的表示旋转的方法有欧拉角和四元数。
欧拉角使用三个角度来表示旋转，分别是绕x、y 和z 轴的角度。
而四元数则是一种复数形式的表示方法，由一个实部和三个虚部组成。
2.3 确定旋转轴和角度的方式确定旋转轴和角度的方式有多种，其中包括通过已知两个坐标点确定一个固定轴上的向量作为旋转轴，并计算出与该向量垂直且夹角为指定角度的平面上的所有点；利用两个不同坐标系之间已知方向矢量之间夹角关系确定旋转轴和角度等方法。
锥面及旋转面优3.3
再 消 去 参 数 u， 得 到 x , y , z的 一 个 方 程 ， 就 是 所 求 的 锥 面 方 程 .
定义 3 如果锥面有一对称轴，它的每条母线与对称 轴所夹的锐角都相等，则此锥面称为圆锥面，母线与对 称轴所夹的锐角称为圆锥面的半顶角.
我们来求圆锥面的方程：
选 取 圆 锥 面 的 顶 点 O 为 坐 标 原 点 ， 圆 锥 面 对 称 轴 为 z轴 建立右手直角坐标系.
. 得旋转单叶双曲面方程为 .
o
x
2
z a
2
2
y b
2 2
a
1
xzBiblioteka .3 旋转锥面 两条相交直线
2 x2 y 2 = 0 a2 b z = 0
x
绕 x 轴一周
o
y
3 旋转锥面 两条相交直线
2 x2 y 2 = 0 a2 b z = 0
x
z
绕 x 轴一周
坐标。
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）xOz 面上双曲线
x a
绕 x 轴旋转
2 2
z c
2 2
1 分别绕 x 轴和 z 轴；
x
x
x a
2 2
y z
2
2
c
2
1
o
z y
o
z
旋转双叶双曲面
y
（2）xOz 面上双曲线
2
x a
2 2
2
z c
2 2
1 分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 z 轴一周
z
.
o
y
x
复数旋转公式知识点总结
复数旋转公式知识点总结一、复数旋转的定义1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
1.2 复平面复平面是由实部和虚部构成的平面，以实轴为横轴，虚轴为纵轴，通过复数可以在复平面上表示为一个点。
1.3 复平面上的向量将复数 a+bi 在复平面上表示为向量 (a, b)，向量代表了复数的大小和方向。
1.4 复数的模和幅角复数的模表示复数的大小，通常表示为 |z|，计算公式为 |z| = √(a²+b²)。
复数的幅角表示复数和实轴的夹角，通常表示为 arg(z)，计算公式为 arg(z) = arctan(b/a)。
1.5 复数的极坐标形式复数 z 可以表示为极坐标形式 z =|z|*e^(i*arg(z))，其中 e^表示自然对数的底为 e 的指数函数。
1.6 复数旋转的概念复数旋转是指将复数 z 绕原点 O 旋转一个角度θ 后得到新的复数 w，通常表示为 w =z*e^(iθ)。
这里e^(iθ) 表示一个单位圆上对应角度θ 的复数。
1.7 复数旋转的几何意义复数旋转可以理解为在复平面上将向量 z 绕原点 O 旋转一个角度θ 后得到新的向量 w，旋转后的向量大小不变，方向发生改变。
二、复数旋转的性质2.1 复数相乘复数 z 绕原点 O 旋转一个角度θ 后得到新的复数 w，那么 w 是 z 乘以e^(iθ) 后的结果，即w = z*e^(iθ)。
2.2 复数的模不变性复数旋转后的大小不变，即 |w| = |z|。
2.3 复数的幅角改变复数旋转后的幅角为原来的幅角加上旋转角度，即arg(w) = arg(z) + θ。
2.4 复数旋转的周期性复数旋转具有周期性，即多次复数旋转后得到的结果与单次复数旋转后的结果相同，即z*e^(iθ)*e^(iθ)=z*e^(i2θ)。
2.5 复数的共轭旋转复数的共轭旋转是指将复数 z 绕原点 O 旋转一个角度θ 后得到新的复数 w，那么 z 的共轭旋转为 z 的共轭复数乘以e^(iθ)。
3.3 旋转面
6.例3.3.4 圆 ( x a ) 2 z 2 r 2 ,
y 0,
0r a
绕z轴旋转所得曲面为
( x 2 y 2 a ) 2 z 2 r 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x y z a r ) 4 a ( x y ). 即
3.3 旋转面
球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一 周所形成的曲面. 现在来研究更一般的情形. 1.定义3.3.1 一条曲线 绕一 条直线 l 旋转所得的曲面称为 旋转面. l 称为轴, 称为母线. 母线 上每个点 M 0绕 l 旋转 一周得到一个圆，称为纬圆， 它与轴l垂直。过轴的半平面与 旋转面的交线称为经线（或子 午线）。 经线可以是母线，但母线
5.例3.3.3 母线
x2 y 2 2 2 1, C : a b z 0
x y z 1. 2 2 a b
2 2 2
绕 x 轴旋转所得曲面的方程为
这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）.
C 绕 y 轴旋转所得曲面的方程为
x2 z 2 y 2 2 1. 2 a b
f ( y, z ) 0, C: x 0.
为母线的旋转面方程
f ( y, x2 z 2 ) 0.
以 z 轴为旋转轴, 以
g ( x, z ) 0, C: y 0.
为母线的旋转面方程为
g ( x 2 y 2 , z ) 0.
以 x 轴为旋转轴, 以
因此有：
F ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0, G ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0, | MM 1 v || M 0 M 1 v | , l ( x x ) m ( y y ) n( z z ) 0. 0 0 0
二年级下数学3.3 旋转
第三课时旋转
1、下列现象哪些是平移，画“┳”，哪些是旋转，画“# ”。
2、判断。
（1）拉抽屉是旋转现象。
（）
（2）所有的锐角都比直角小。
（）
（3）开着的电扇叶片属于旋转现象。
（）
（4）放大镜下的直角比三角尺上的直角大。
（）
3、观察下图，判断从前面到后面每次发生了怎样的变化，填上“平移”或“旋转”。
4、下列图形中，（）是①通过旋转后与下图是相同的。
5、接着往下画。
答案：
1、
（┳）（ # ）（┳ ) ( # )
2、（1）x （2）V （3）v (4)x
3、旋转、旋转、平移、旋转
4、B
5、
数学学习技巧:良好习惯、终身受益小学阶段是儿童正式接受学习的最初阶段，是良好学习习惯形成的关键时期，培养良好的学习习惯是形成学生学习能力的重要方面，也是发展个性的重要方面，因此掌握良好的学习方法是获得成功的关键。
人教版数学二年级下册3.3 认识旋转现象
（ 旋转 ） （ 旋转 ）
情境导入
做好后先别急着转动。 用教材第121页 想一想陀螺上的每个 中的学具照样 点转出的是什么形状。 子做陀螺。
情境导入
情境导入
情境导入 陀螺上的每个点转出的是圆。
情境导入
和你想的一样吗？你也可以自己 设计一个不同的陀螺，看看能转 出什么美丽的图案。
这节课你们都学会了哪些知识？ 旋转
转盘绕着中心 轴做圆周运动。
探究新知 说一说：下面物体是怎样运动的？
飞机的螺旋桨绕 中间的轴旋转。
探究新知 思考：下面物体的运动都有怎样的特点？
风车是绕着它 转盘绕着中心 飞机的螺旋桨绕 中间的轴转动。 轴做圆周运动。 中间的轴旋转。
它们都是围着中心或轴转动。
探究新知 想一想：在我们的生活中， 还有这样的现象吗？
=3.141929
的近似值，为取约率，取为密率，其取中六位小数3.是14192，9它是分 子分母1在000以内最接π近值的分数．
我 途热 他体验我 途去热 他哦体验去哦
中国古代数学名人
秦九韶（约1202--1261）
◆字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等 1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。
多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术π科=3学.1地的4 求结出果了．圆周率 刘徽在割圆术中提割出之的弥细，所失弥少，割之又割以至佳作．