2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第1章 数列 章末检测

第一章章末检测
班级__________　姓名__________　考号__________　分数__________
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a －1，(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )2
n A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2
2．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 2＋a 6＝( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．28
3．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝，S 4＝20，则S 6＝( )
12A ．16 B ．24 C ．36 D ．48
4．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
5．设数列{a n }是等差数列且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )
A ．S 5＝S 6
B ．S 5＝S 8
C ．S 7＝S 5
D ．S 7＝S 6
6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( )
A. －16
B. 16
C. 31
D. 32
7．在等比数列{a n }中，若a 4a 7＋a 5a 6＝20，则此数列的前10项之积等于( )
A ．50
B ．2010
C ．105
D ．1010
8．数列，，，
…，，…的前n 项和为( )122438n
2n A ．2－ B ．1－ C ．n (1－) D ．2－＋n ＋22n 12n 12n 12n －1n
2n
9．在△ABC 中，a cos 2＋c cos 2＝b ，则( )
C 2A 232A ．a ，b ，c 依次成等差数列
B ．b ，a ，c 依次成等差数列
C ．a ，c ，b 依次成等差数列
D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列
10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项
和，则使得S n 达到最大值的n 是( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．
11．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.
12．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则＝________.
a 11
a 713．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2
009＝________；a 2 014＝________.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝S n (n ＝1,2,3…)．
n ＋2n 求证：数列{}是等比数列．
Sn n 15．等差数列{a n }中a 7＝4，a 19＝2a 9，
(1)求{a n }的通项公式．
(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .
1nan
16．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.
17．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝
，n ∈N *.
an ＋an ＋12(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；
(2)求{a n }的通项公式．
18．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N ＋)．
(1)求证：数列{}是等差数列；
an
2n (2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：>2n －3.
Sn
2n
一、选择题
1．A 由递推关系得：
a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.
2．A
3．D 设公差为d ，由
Error!⇒Error!⇒Error!⇒S 6＝6a 1＋×3＝48.
6×524．B 由a n a n －1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得
q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a q ＝16>0，∴q >0.∴q ＝4.2
15．C 由题意知a 1＋3d ＝－4，a 1＋8d ＝4，
∴5d ＝8，d ＝，a 1＝－.
85445∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝n －，
85525S 5＝＝
＝－28，5 a 1＋a 5 25[－445＋(－125)]2S 7＝＝＝－28.7 a 1＋a 7 27(－
445＋45)26．B 因为S 4＝2a n －1(n ∈N *)，则a n ＝2a n －1，且a 1＝1，故a 5＝24＝16.
7．C
8．A S n ＝＋＋＋…＋，①
122438n
2n S n ＝＋＋＋…＋＋，②
12122223324n －12n n
2n ＋1由①－②，得S n ＝＋＋＋＋…＋－＝－＝1－－121212212312412n n 2n ＋112 1－12n
1－12n 2n ＋112n ＝1－，
n
2n ＋1n ＋2
2n ＋1∴S n ＝2－.n ＋2
2n
9．A ∵a cos 2＋c cos 2＝b ，
C 2A 232∴a ·＋c ·＝b ，
1＋cos C 21＋cos A 232∴(a ＋c )＋(a cos C ＋c cos A )＝b ，
121232∵a cos C ＋c cos A ＝b ，
∴(a ＋c )＋b ＝b .
121232∴a ＋c ＝2b ，∴a ，b ，c 依次成等差数列．
10．B 由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，
∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由Error!得n ＝20，故选B.
二、填空题
11．2
解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2.12．2
解析：由等比数列的性质有a 2·a 8＝a 3a 7＝2，
∵a 3＋a 7＝3，∴a 3，a 7是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，解得Error!或Error!(舍)，∴＝＝2.
a 11a 7a 7
a 313．1　0
解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0.
三、解答题
14．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n ，
n ＋2n ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＝2(n ＋1)S n ，
所以＝.故{}是以2为公比的等比数列．
Sn ＋1n ＋12Sn n Sn n 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d
∵a 7＝4，a 19＝2a 9，∴Error!
解得：a 1＝1，d ＝，
12∴a n ＝1＋(n －1)·＝.
12n ＋12
(2)∵b n ＝＝＝21nan 2n n ＋1 (1n －1n ＋1
)∴S n ＝2
(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2＝.(1－1n ＋1)
2n
n ＋116．解：当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3，
所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |
＝Error!
＝Error!
＝Error!
17．解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，
当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝－a n ＝－(a n －a n －1)＝－b n －1，
an －1＋an 21212所以{b n }是以1为首项，－为公比的等比数列．
12(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝n －1，
(－12)当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝1＋1＋＋…＋n －2＝1＋＝1＋＝－n －1，(－12)(－12)
1－(－12
)n －11－(－12)23[1－(－12)n －2]5323(－12)当n ＝1时，－1－1＝1＝a 1.
5323(－12)所以a n ＝－n －1(n ∈N *
)．5323(－12)18．解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2且n ∈N ＋)，
∴＝＋1，即－＝1(n ≥2且n ∈N ＋)，
an 2n an －12n －1an 2n an －1
2n －1∴数列{}是等差数列，且公差d ＝1，首项＝.
an 2n a 12112(2)由(1)得＝＋(n －1)·1＝n －，
an 2n 1212∴a n ＝(n －)·2n .
12(3)∵S n ＝×21＋×22＋×23＋…＋(n －)·2n ，
12325212
∴2S n ＝×22＋×23＋×24＋…＋(n －)·2n ＋1，
12325212两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(n －)·2n ＋1
12＝2＋22＋23＋…＋2n －(n －)·2n ＋1－1
12＝－(n －)·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n －3，
2 1－2n 1－212得S n ＝(2n －3)·2n ＋3>(2n －3)·2n ，∴>2n －3.Sn
2n。