合理构建三角形，妙用正（余）弦定理解题

ʏ陈 铤
在解决一些涉及函数与方程㊁
不等式㊁三角函数㊁平面向量等问题时,看似与平面几何中的三角形无关,而借助题目条件或问题情境合理构建三角形,利用解三角形的思维,结合正(余)弦定理加以巧妙应用,可以合理化归,实现完美转化,从而巧妙地解决相应的数学问题㊂
一㊁特殊化构建三角形例1 设α=29ʎ,β=3
1ʎ,则s i n 2
α+s i n αs i n β+
s i n 2
β=㊂
分析:根据题目条件,合理转化成三角形
的内角,从而构造三角形并进行特殊化处理,综合解三角形思维,利用正弦定理和余弦定理加以巧妙变形与求解㊂
解:构造特殊әA B C ,使得a s i n A =
b
s i n B
=c
s i n C =1,则a =s i n A =s i n α,b =s i n B =
s i n β,c =s i n C =s i n 120ʎ=32
,所以c o s C =c o s 120ʎ=-1
2
㊂结合正弦定理和余弦定理得s i n 2
α+
s i n αs i n β+s
i n 2
β=s i n 2
A +s i n A s i n
B +s i n 2
B =a 2
+a b +b 2
=a 2
+b 2
-2a b c o s C =
c 2
=34㊂答案为
34
㊂
此题看似简单,实际操作
与计算起来需要比较强的数
学运算能力与逻辑推理能力㊂而数学直观感较强的同学,可以直接从题目背景中感受到这道题和余弦定理的结构特征之间存在某种 内联 关系,从而借助解三角形,利用正弦定理的转化来构造余弦定理,从而使得问题顺利得解㊂
二㊁情境化构建三角形
例2 已知椭圆C :x 24+y
2
3
=1的焦点为
F 1,F 2,椭圆C 上一点P 满足øP F 2F 1=
2øP F 1F 2,则P F 1ң㊃P F 2ң的值为
㊂
分析:根据题目条件,利用问题的情境设
置,将解析几何问题合理化转化为三角形问题,利用正(余)弦定理,结合椭圆的定义与几何性质以及平面向量的数量积运算,实现问题的突破与求解㊂
解:由椭圆C :x 24+y 2
3
=1
,可知a =2,b =3,c =1㊂设|P F 1|=m ,|P F 2|=n ,结合椭圆的方程,画出适合题意的әP F 1F 2,
如图1所示㊂
图1
根据椭圆的定义得|P F 1|+|P F 2|=m +n =2a =4
㊂ ①在әP F 1F 2中,利用正弦定理可得
m s i nøP F 2F 1=n
s i nøP F 1F 2
,结合øP F 2F 1=
2øP F 1F 2并整理可得m =2n c o søP F 1F 2,
即c o søP F 1F 2=m
2n
㊂由余弦定理得c o søP F 1F 2
=m 2
+4-n 2
4m =m -n +1m ,所以m -n +1m =m
2n
,
整理得m 2=2m n -2n 2
+2n ㊂ ②
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1知识结构与拓展
高一数学 2023年6月
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由①②解得m =125
,
n =
8
5
或
m =2,n =2
(舍去)
㊂根据余弦定理得c o s øF 1P F 2=
m 2
+n 2
-42m n
,则P F 1ң㊃P F 2ң=m n c o søF 1P F 2
=m 2
+n 2
-42=5425㊂答案为54
25
㊂
在解决解析几何的相关
问题中,经常将解析几何中对
应曲线的几何性质转化到三角形中,从而利用正弦定理和余弦定理构建相应的关系式进行分析与求解,这是解析几何问题最常用的技巧方法之一㊂本题涉及椭圆问题,有兴趣的同学可以探究一下㊂
三㊁整体化构建三角形例3 已知
t a n α
t a n α+
π
4
=-
2
3
,则s i n 2α+π
4
的值为㊂
分析:根据题目条件,通过引入参数β=
α+π
4,构造相应的直角三角形模型,利用三角形中边与角之间的关系,借助解三角形思维,构建对应的关系式进行合理处理㊂
解:令β=α+
π4,则2α+π
4
=α+β㊂令θ=π-(α+β)
㊂由t a n α
t a n α+
π
4
=
t a n αt a n β=-2
3,可构造R tәA B C ,其中t a n α=
13,t a n β=-1
2
,如图2所示㊂图2
由上可得s i n 2α+
π
4
=s i n (α+β)=s i n [π-(α+β)
]=s i n θ㊂在әA C D 中,C D =1,A C =
12
+32
=
10,A D =12+22
=5,
根据余弦定理得c o s θ=A C 2
+A D 2
-C D 2
2ˑA C ˑA D =10+5-1
2ˑ10ˑ5
=
72
10
㊂根据同角三角函数基本关系式得s i n θ=
1-c o s 2
θ=
1-72
1
2
=
2
10
,所以s i n 2α+
π
4
=210㊂答案为210㊂利用参数的整体化思想,
构建平面几何中的三角形,再
利用正(弦)定理进行合理转化,巧妙求得三
角函数的值㊂
四㊁换元化构建三角形
例4 (原创题)已知0<A ,B ,C <π
,A +B +C =2π,s i n A ʒs i n B ʒs i n C =3ʒ
4ʒ5,则一定有( )
㊂A .A >B B .A =B
C .A <B
D .
以上均不正确分析:根据题目条件,结合正弦定理,考
虑换元处理,为问题的解决提供一种全新的思维方式㊂
解:由0<A ,B ,C <π,A +B +C =2π
,可得(π-A )+(π-B )+(π-C )=π
,且0<π-A ,π-B ,π-C <π㊂由s i n A ʒs i n B ʒ
s i n C =3ʒ4ʒ5,结合诱导公式可得s i n (π-A )ʒs i n (π-B )ʒs i n (π-C )=s i n A ʒ
s i n B ʒs i n C =3ʒ4ʒ5
㊂构建әA 1B 1C 1,使得A 1=π-A ,B 1=
π-B ,C 1=π-C ,则s i n A 1ʒs i n B 1ʒs i n C 1=3ʒ4ʒ5㊂由正弦定理得B 1C 1ʒA 1C 1ʒA 1B 1=3ʒ4
ʒ5,结合 大边对大角 的几何性质可得A 1<B 1,即π-A <π-B ,所以
A >
B ㊂应选A ㊂
借助解三角形中的正
(余)弦定理的结构特征,通过
合理转化与巧妙构建,实现非三角形问题的三角形化过渡㊂本题通过全新引入对应的三
角形,借助三角形中 大边对大角 的几何性质,使得问题得以圆满解决㊂
作者单位:江苏省启东中学
(责任编辑 郭正华)
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