九年级数学解综合题的方法探究(2)人教实验版知识精讲

九年级数学解综合题的方法探究（2）人教实验版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
解综合题的方法探究（2）
二. 重点和难点
综合题是集多个知识点、多种方法于一体，要求知识掌握的比较熟练，有较高的解题能力。

在复习时要注重审题、分析、联想，掌握解决问题的方法和策略。

【典型例题】
ABCD 和点P ，当点P 在图1中的位置时，则有结论：PCD PAC PBC S S S △△△+=
理由：过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点.
PE ·AD 2
1PF ·BC 21S S PAD PBC +=
+△△∵ 1
()2
BC PF PE =
+ EF ·BC 2
1
=
1
2
ABCD S =
矩形， 又ABCD PAD PCD PAC S 2
1
S S S 矩形△△△∵=
++ PAD PCD PAC PAD PBC S S S S S △△△△△++=+∴
PCD PAC PBC S S S △△△+=∴
请你参考上述信息，当点P 分别在图2、图3中的位置时，PBC S △、PAC S △、PCD S △又
有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。

答案：猜想结果：图2结论PCD PAC PBC S S S △△△+=；图3结论PCD PAC PBC S S S △△△-= 证明：如图2，过点P 作EF 垂直AD ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点.
PCD
PAC PBC ABCD PAD ADC PAD PCD PAC ABCD
PAD PBC S S S S 2
1
S S S S S S 2
1
S EF ·BC 2
1PE ·AD 21EF ·BC 21PE ·BC 21PF ·BC 21S △△△矩形△△△△△矩形△△∵+=∴+=+=++=+=+==
例2. 如图，将正方形ABCD 以点B 为旋转中心顺时针旋转120°得到正方形A ’BC ’D ’，DO ⊥C ’A ’于O ，若A ’O=31-，求正方形ABCD 的边长。

分析：要抓住旋转的意义，确定∠DBO ＝120°
设BD ’与OC ’交于E ，则BEOD 为直角梯形
DB=2BE=2 A ’E=正方形的对角线的长，则正方形的边长为E A BD '22
2
=. 答案：正方形的边长为2.
例3. 如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交⊙P 于C ，过点
C 的直线2y x b =+交x 轴于
D ，且⊙P 的半径为5，4AB =. （1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是⊙P 的切线；
（3）若二次函数2
(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值X 围.
解：（1）如图，连结CA
OP AB ∵⊥，2OB OA ==∴
222OP BO BP +=∵，2541OP =-=∴，1OP = BC ∵是⊙P 的直径，90CAB ∠=∴
CP BP =∵，OB OA =，22AC OP ==∴ (20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（写错一个不扣分）
（2）2y x b =+∵过C 点，6b =∴，26y x =+∴
∵当0y =时，3x =-，(30)D -，
∴，∴1AD =
21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠= DAC POB ∴△≌△，DCA ABC ∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=∵ 90DCA ACB ∠+∠=∴. DC ∴是⊙P 的切线
（3）2
(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，点 202(1)26a =-++⨯+∴，2a =-∴ 26y x x =--+∴
因为函数2
6y x x =--+与26y x =+的图象交点是(06)，和点(30)D -，（画图可得此结
论）
所以满足条件的x 的取值X 围是3x <-或0x >
例 4. 如图（1），凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且BPC CPD β∠=∠=，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点。

（1）在图（3）的正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠。

（2）在图（4）的四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）。

（3）若四边形ABCD 有两个半等角点12P P ，（如图（2）），证明线段12P P 上任一点也是它的半等角点。

解：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点
（2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求.
（3）连1111
PA PD PB PC ，，，和22P D P B ，，根据题意， 11APD APB ∠=∠，11DPC BPC ∠=∠， 11
180APB BPC ∴∠+∠=. 1P ∴在AC 上，同理，2P 也在AC 上.
在12DPP △和12BPP △中， 2121DP P BP P ∠=∠，1212DPP BPP ∠=∠，12P P 公共， 1212DPP BPP ∴△≌△. 所以11DP BP =，22DP BP =，于是B D ，关于AC 对称. 设P 是12P P 上任一点，连结PD
PB ，，由对称性，得DPA BPA ∠=∠，DPC BPC ∠=∠， 所以点P 是四边形的半等角点.
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC OA ∥，
7460OA AB COA ===，，∠，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、点A 重合. 连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D . （1）求点B 的坐标；
（2）当点P 运动到什么位置时，OCP △为等腰三角形，求这时点P 的坐标；
（3）当点P 运动到什么位置时，使得CPD OAB =∠∠，且5
8
BD AB =，求这时点P 的
坐标。

2. 在平面直角坐标系中，已知(03)A ，
，(40)B ，，设P ，Q 分别是线段AB ，OB 上的动
点，它们同时出发，点P 以每秒3个单位的速度从点A 向点B 运动，点Q 以每秒1个单位的速度从点B 向点O 运动，设运动时间为t （秒）. （1）用含t 的代数式表示点P 的坐标；
（2）当t 为何值时，OPQ △为直角三角形？
（3）在什么条件下，以Rt OPQ △的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式。

3. 如图，在平面直角坐标系中，两个函数62
1
,+-
==x y x y 的图象交于点A . 动点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S .
（1）求点A 的坐标；
（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式； （3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求 出最大值；若没有，请说明理由；
（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是什么。

【试题答案】
1. 解：（1）过B 点作BE OA ⊥，垂足是点E ， 四边形OABC 是等腰梯形，
60OC AB BAO COA ∴===，∠∠， 在Rt BAE △中， sin 60cos604BE AE
AB AB AB
===，，， 31
4234222
BE AE =⨯==⨯=，.
725OE OA AE =-=-=，B ∴点的坐标为(5)，23.
（2）60COA =∠ ，OCP △为等腰三角形， OCP ∴△为等边三角形. 4OC OP PC ∴===， P 点是在x 轴上，
P ∴点的坐标为(40)，
或(40)-，. （3）
58BD AB =，且342
AD BD AB AB AD +==∴=，，. 60CPD OAB COA ===∠∠∠，
12018060120OCP CPO CPO APD +=+=-=，∠∠∠∠， OCP DPA =∠∠. OCP APD ∴△∽△， OP OC AD AP
∴=
，设7OP x AP x ==-，，即4
372
x x =-. 21276016x x x x -+===，，.
这时P 点的坐标为(10)(60)，，， 2. 解：（1）作PM y ⊥轴，PN x ⊥轴 3OA =∵，4OB =，5AB =∴.
PM x ∵∥轴，PM AP
OB AB
=∴
. 345PM t =∴，125
PM t =∴.
PN y ∵∥轴，PN PB
OA AB
=
∴. 5335PN t -=
∴，9
35
PN t =-∴. ∴点P 的坐标为12
935
5t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，
（2）①当Rt POQ ∠=∠时，0t =，OPQ △就是OAB △，为直角三角形
②当Rt OPQ ∠=∠时，OPN PQN △≌△
NQ ·ON PN 2=∴
2
9121234555t t t t ⎛⎫⎛
⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭∴.
化简，得2
1934150t t -+=
解得1t =或15
19
t =.
③当Rt OQP ∠=∠时，N ，Q 重合.
1245t t -=∴，20
17
t =
∴. 综上所述，当0t =，1t =，1519t =，20
17
t =时，OPQ △为直角三角形。

（3）当1t =或15
19
t =时，即Rt OPQ ∠=∠时，以Rt OPQ △的三个顶点可以确定一
条对称轴平行于y 轴的抛物线。

当1t =时，P Q O ，，三点的坐标分别为12655P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，(30)Q ，，(00)O ，
设抛物线的解析式为(3)(0)y a x x =--，即2
(3)y a x x =-
将1255P 6⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入上式，得56a =-
25
(3)6
y x x =--∴
即255
62
y x x =-+.
注意：若选择1519t =时，P Q O ，，三点的坐标分别是3601919P 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，，16019Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
，(00)O ，，求得抛物线的解析式为21961
3030
y x x =-+。

3. 解：（1）由⎪⎩
⎪
⎨⎧+-==,621
,x y x y 可得⎩
⎨⎧==.4,4y x ∴A （4，4）.
（2）点P 在y = x 上，OP = t ，则点P 坐标为).2
2
,22(t t 点Q 的纵坐标为t 22，并且点Q 在62
1
+-=x y 上 ∴
t x x t 212,62
1
22-=+-= 即点Q 坐标为)2
2,212(t t -.
t PQ 22
312-
= 当t t 2
2
22312=-时，23=t
当0t <≤，.262
3)22312(222t t t t S +-=-= 当点P 到达A 点时，24=t
当2423≤<t 时，2)22312(t S -=1442362
92
+-=t t （3）有最大值，最大值应在230≤<t 中取得，
2233
(12,22
S t t =-+=--+
当22=t 时，S 的最大值为12. （4）212≥t .。