高考数学一轮复习 6.4 数列求和 理 新人教A版

第4讲数列求和
基础巩固
1.求和:3+33+333+3333+…+等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵×(10n-1),
∴原式=[(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)]
=[(10+102+…+10n)-n]
=.
2.数列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n项和S n的值等于( )
A.n2+1-
B.2n2-n+1-
C.n2+1-
D.n2-n+1-
【答案】A
【解析】该数列的通项公式为a n=(2n-1)+,
则S n=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-.故选A.
3.等差数列{a n}的通项公式a n=2n-1,若b n=,{b n}的前n项和为S n,则S n等于( )
A. B.
C. D.以上都不对
【答案】B
【解析】∵a n=2n-1,
∴b n=,
故S n=
=.
4.(2013届·辽宁沈阳检测)设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n=( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n=.
5.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-6n,则数列{|a n|}的前n项和T n等于( )
A.6n-n2
B.n2-6n+18
C. D.
【答案】C
【解析】∵由S n=n2-6n可得{a n}是等差数列,且首项为-5,公差为2,于是a n=-5+(n-1)×2=2n-7, ∴n≤3时,a n<0;n>3时a n>0.
故T n=
6.设a1,a2,…,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+…+a50=9且
(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50当中取零的项共有( )
A.11个
B.12个
C.15个
D.25个
【答案】A
【解析】∵(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2
=+…++2(a1+a2+…+a50)+50=107,
∴+…+=39.
故a1,a2,…,a50中取零的项共有50-39=11个,应选A.
7.设数列{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,把{a n}中的每一项都减去2后,得到一个新数列
{b n},{b n}的前n项和为S n,对任意的n∈N*,下列结论正确的是( )
A.b n+1=3b n,且S n=(3n-1)
B.b n+1=3b n-2,且S n=(3n-1)
C.b n+1=3b n+4,且S n=(3n-1)-2n
D.b n+1=3b n-4,且S n=(3n-1)-2n
【答案】C
【解析】∵数列{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,∴数列{a n}的通项公式a n=3n-1,则依题意得,数列{b n}的通项公式为b n=3n-1-2.
于是b n+1=3n-2,3b n=3(3n-1-2)=3n-6.
因此b n+1=3b n+4.
故数列{b n}的前n项和为
S n=(1-2)+(31-2)+(32-2)+(33-2)+…+(3n-1-2)=(1+31+32+33…+3n-1)-2n=-2n
=(3n-1)-2n.
8.(2012·北京西城上学期期末)已知{a n}是公比为2的等比数列,若a3-a1=6,则
a1=;+…+=.
【答案】2
【解析】∵{a n}是公比为2的等比数列,且a3-a1=6,
∴4a1-a1=6,即a1=2.于是a n=a12n-1=2n.
因此,
即数列是首项为,公比为的等比数列.
故+…+.
9.已知数列{a n}:,…,+…+,…,那么数列{b n}=的前n项和S n=.
【答案】
【解析】∵由已知条件可得数列{a n}的通项公式为
a n=,
∴b n==4.
故S n=4
=4.
10.已知数列{a n}的通项公式为a n=log2(n∈N*),设其前n项和为S n,则使S n<-5成立的自然数n的最小值是.
【答案】63
【解析】方法一:依题意有a n=log2=log2(n+1)-log2(n+2),
因此S n=log22-log23+log23-log24+…+log2(n+1)-log2(n+2)=log22-log2(n+2)=1-log2(n+2).
令1-log2(n+2)<-5,解得n>62.
故使S n<-5成立的自然数n有最小值63.
方法二:因为S n=log2+log2+…+log2
=log2=log2,
所以由S n<-5得log2<-5,解得n>62.
故使S n<-5成立的自然数n有最小值63.
11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3=5,S15=225.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=+2n,求数列{b n}的前n项和T n.
【解】(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
由题意,得
解得故a n=2n-1.
(2)∵b n=+2n=·4n+2n,
∴T n=b1+b2+…+b n
=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)
=+n2+n=·4n+n2+n-.
12.已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,对于任意的n∈N*满足关系式2S n=3a n-3.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设数列{b n}的通项公式是b n=,前n项和为T n,求证:对于任意的正数n,总有T n<1.
【解】(1)由已知得(n≥2).
于是2(S n-S n-1)=2a n=3a n-3a n-1,
即a n=3a n-1(n≥2).
因此数列{a n}为等比数列,且公比q=3.
又当n=1时,2a1=3a1-3,即a1=3.
故a n=3n.
(2)证明:∵b n=,
∴T n=b1+b2+…+b n
=+…+
=1-<1.
13.已知数列{a n}的前n项和为S n=3n,数列{b n}满足b1=-1,b n+1=b n+(2n-1)(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式a n;
(2)求数列{b n}的通项公式b n;
(3)若c n=,求数列{c n}的前n项和T n.
【解】(1)∵S n=3n,∴S n-1=3n-1(n≥2).
故a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2).
∵当n=1时,2×31-1=2≠S1=a1=3,
∴a n=
(2)∵b n+1=b n+(2n-1),
∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,…,b n-b n-1=2n-3.
以上各式相加得
b n-b1=1+3+5+…+(2n-3)==(n-1)2.
∵b1=-1,∴b n=n2-2n.
(3)由题意得c n=
∵当n≥2时,T n=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2(n-2)×3n-1,①
∴3T n=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2(n-2)×3n,②
①②两式相减,得-2T n=6+2×32+2×33+…+2×3n-1-2(n-2)×3n.
于是T n=(n-2)×3n-(3+32+33+…+3n-1)=(n-2)×3n-.
故T n=
即T n=(n∈N*).
拓展延伸
14.(2012·山东卷,20)已知等差数列{a n}的前5项和为105,且a10=2a5.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)对任意m∈N*,将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m,求数列{b m}的前m项和S m.【解】(1)设数列{a n}的公差为d,前n项和为T n.
由T5=105,a10=2a5,
得到
解得a1=7,d=7.
因此a n=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).
(2)对m∈N*,若a m=7n≤72m,则n≤72m-1.
于是b m=72m-1,
因此数列{b m}是首项为7、公比为49的等比数列,
故S m=.。