中考圆知识点总结复习教学课件

圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；
2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；
3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；
2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；
3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；
相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
A
D
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的
圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直
角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中， ∵四边ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理
B B A
O
D
B
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
∴PA PB PC PD ⋅=⋅
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两
条线段的比例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长
是这点到
割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：12O O 垂直平分AB 。

即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆
中，221AB CO =
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：::2OD BD OB =； （2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA = （3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，
::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
A
l
O
1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2V r h π= 3、圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：21
3V r h π=
十六、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2
c b a -+ 。

（3）S △ABC =)(2
1
c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

C
考点一：与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间
的区别和联系.
1.
运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题
【例1】 已知：如图所示，在△ABO 中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O 为圆心，OA 长为半径的
圆交AB 于D ，求弧AD 的度数.
【例2】 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC 的度数为（ ）. Ａ. 30°Ｂ. 45° Ｃ. 50°Ｄ. 60°
2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系 【例3】 已知⊙O 的半径为3cm ，A 为线段OM 的中点，当OA 满足： （1）当OA=1cm 时，点M 与⊙O 的位置关系是 . （2）当OA=时，点M 与⊙O 的位置关系是 . （3）当OA=3cm 时，点M 与⊙O 的位置关系是 .
【例4】 ⊙O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）. Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定
【例5】 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距为2cm ，那么两圆的位置关系是______________.
母线长
底面圆周长
C 1
D 1D C
B
A
B1
R
r C
B A O
O
A D
3.正多边形和圆的有关计算
【例6】已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.
4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算
【例7】如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，
则阴影部分的面积为（结果保留）.
5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .
考点二：圆中计算与证明的常见类型
1.利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.
【例1】在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为 .
Ａ. 2Ｂ. 4Ｃ. 4Ｄ. 2
2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线
构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.
【例2】如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.
3.利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方
法.
【例3】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB
＝2，则点B到AE的距离为________.
4. 判断圆的切线的方法及应用
判断圆的切线的方法有三种：
（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；
（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=3
4，D是线段BC的中点.
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.
【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.
【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.
题库
一.选择题：
B
O
A
P
C
1. ⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则P 点 ［ ］ A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外
C.在圆周上
D.在⊙O 外或圆周上
2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［ ］ A 、2或3 B 、3 C 、4 D 、2 或4
3.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是［ ］ ° ° ° °
4.在⊙O 中，弦AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧AB 的度数等于［ ］ ° ° ° °
5.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位置关系是
［ ］
Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6、如图，ＰＡ切⊙O 于Ａ，ＰＣ交⊙O 于点Ｂ、Ｃ ，若PA ＝5，PB ＝B Ｃ，则ＰＣ的长是［ ］ Ａ、10 Ｂ、5 Ｃ、25 Ｄ、35
7．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［ ］ A ．
232+ B.233+ C.2
2
2+ D. 223+ 8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x 2
－17x+35=0的两根，则两圆有［ ］条切线。

A 、 1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm ，则梯形的腰长为
［ ］
Ａ、１０ｃｍ Ｂ、１２ｃｍ Ｃ、１４ｃｍ Ｄ、１６ｃｍ
10、如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且A O 1、A O 2分别是两圆的切线，A 是切点，若⊙O 1的半径r=3，⊙O 2的半径R=4，则公共弦AB 的长为［ ］ A 、2 B 、 C 、3 D 、
11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm ，水面宽也是1cm ，则截面有水部分（弓形）的面积是［ ］ A 、
B 、
C 、
D 、
或
二. 填空题：
长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为 。

13.在⊙O 中，AB 是直径，弦CD 与AB 相交于点E ，若 ，则CE=DE （只需填一个适合的条件）。

14.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。

15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。

16.如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于E 点，AB=120°，CD=70°则∠AEB= 。

17．已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm ，两个圆的圆心距为7 cm ，则这两个圆的外公切线长为 。

18.如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，OF ⊥AB 于F ，OG ⊥CD 于G ，若AE=8cm ，EB=4cm ，则OG= cm 。

19. 已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 。

四.解答题
20.如图在△ABC 中，∠C=90°，点O 为AB 上一点，以O 为圆心的半圆切AC 于E ，交AB 于D ，AC=12，BC=9，求AD 的长。

21.如图在⊙O 中，C 为ACB 的中点，为直径，弦AB 交CD 于点P ，又PE ⊥CB 于E ，若BC=10，且CE ∶EB=3∶2，求AB 的长．
22.已知：如图，A 是以EF 为直径的半圆上的一点，作AG ⊥EF 交EF 于G ，又B 为AG 上一点，EB 的延长线交半
圆于点K ，
求证：EK EB AE
⋅=2
23.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 是⊙O 的直径，CD 是△ABC
中AB
边上的高，
求证：AC ·BC=AE ·CD。