江苏省泰兴中学2020届高考数学模拟试题1

江苏省泰兴中学2020届高考数学模拟试题
2020、4、9
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{
}2,1=A ,则满足{}3,2,1=B A Y 的集合B 的个数是 （ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．8
2．“1=a ”是“函数a x x f -=)(在区间[)1,+∞上为增函数”的 （ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则（ ）
A ．0≤x ≤
B ．
4π≤x ≤45π C ．4π≤x ≤47π D ．2π≤x ≤2
3π
4．函数)11
2
lg(
-+=x y 的图象关于（ ）对称； ....A y x
B x
C y
D =直线轴
轴
原点
5．在正方体ABCD －A 1BC 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角的取值范围是 (
)
A.02πθ<<
B.02πθ<≤
C.
30πθ≤≤ D.03πθ<≤ 6．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，提出关于这两个旅行者的如下
信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者；
其中正确信息的序号是 （ ） A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②
7. 世界杯足球赛共有24个球队参加比赛，第一轮分成六个组进行单循环赛（在同一组的
每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4
个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次 A.53 B.52 C.51 D.50 8．若将))((b x a x --逐项展开得ab bx ax x +--2，则2x 出现的频率为1
4
，x 出现的频率为
1
2
，如此将))()()()((e x d x c x b x a x -----逐项展开后，3x 出现的频率是 32
5.
5
1.
6
1.
16
5.
D C B A 9．若m 是一个给定的正整数，如果两个整数b a ,用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作[mod()]a b m ≡，例如：513[mod(4)]≡.若:2008
2[mod(7)]r ≡,则r 可
以为（ ）
.1
.2.3.4A B C D
10．如图，过抛物线)(022
>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于
点A 、B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此
抛物线的方程为 ( )
A ．x y 232
= B ．x y 92= C ．x y 2
9
2= D ．x y 32=
二、填空题:本大题共6个小题，共30分.
11．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝ ． 12．已知4cos ,(,)52πααπ=-
∈，则tan()4
π
α+等于 ．
13．已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则2
2y x +的最大值是 .
14、已知动点),(y x P 在椭圆
116
252
2=+y x 上，若A 点坐标为),0,3(,1||=AM 且0=⋅AM PM ，则||PM 的最小值是 .
15、定义运算a ※b 为
.如1※2=2，则函数
※
的值域
为 .
16、设{x }表示离x 最近的整数，即若x m <-21≤2
1
+m (m ∈Z )，则{x } = m ．给出下列关
于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，
2
1
]；②函数)(x f y =的图像关于直线2
k
x =
(k ∈Z )对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； 其中真命题是
三、解答题
17．在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市1个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问： （1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁有概率； （3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率. 18．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中， AC=BC ，
且AM=BM=CM ，M 为AB 的中点. （1）求证： AC 1⊥CB ；
（2）若∠AC 1B=60°，求CB 与平面AC 1B
所成角的余弦值.
M
A
B
C
B 1
C 1
A 1
19、数列{}a n 满足)2,(133*
1≥∈-+=-n N n a a n n n ，已知a 395=.
（1）求a a 12,；
（2）是否存在一个实数t ，使得),)((3
1*
N n t a b n n n ∈+=
且{}b n 为等差数列？若存在，则求出t 的值；若不存在，请说明理由.
20．如图椭圆C 的方程为22
22 1 (0)y x a b a b
+=>>，A 是椭圆C 的短轴左顶点，过A 点
作斜率为－1的直线交椭圆于B 点，点P （1，0）,且BP ∥y 轴，△APB 的面积为9
2
. （1） 求椭圆C 的方程；
（2） 在直线AB 上求一点M ，使得以椭圆C 的焦点
为焦点，且过M 的双曲线E 的实轴最长，并求此双曲线E 的方程.
21、函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：
①对任意R x ∈，有0)(>x f ；
②对任意x 、R y ∈，有y
x f xy f )]([)(=；
③.1)3
1(>f 则 （1）求)0(f 的值；
（2）求证：)(x f 在R 上是单调增函数；
（3）若ac b c b a =>>>2
,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+
A 1
B 1
M A C
B
C 1
H
江苏省泰兴中学2020届高考数学模拟试题
参考答案
一、选择题
1、C
2、A
3、B
4、D
5、D
6、A
7、C
8、A
9、B 10、D 二、填空题 11． 20 12． 1
7
13、74 14、 15、 16、①②③
三、解答题 17、解：（1）(3)
33
0.60.216P == 4L L L 分
（2）(1)
123
30.60.40.288P C =⨯= 8L L L 分
（3）936.04.0113)0(3)3(3)2(3)
1(3
=-=-=++P P P P 12L L L 分
18、解法一：(1)由已知直三棱柱ABC ——A 1B 1C 1可知， CC 1⊥平面ABC ，又M 为AB 的中点，所以有CM ⊥AB … 又AM=MB=MN ，可知AC ⊥CB ……（3分）
又AC 为AC 1在平面ABC 内的射影，∴AC 1⊥CB ……（5分） （2）∵Rt △C 1CA ≌Rt △C 1CB ，∴AC 1=BC 1……（6分） 又∠AC 1B=60°，故△ABC 为正三角形， ∴Rt △ACB ≌Rt △C 1CB ……（8分）
∴CC 1=CA=CB ，故C 在平面ABC 1内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH ，∠CBH 为CB 与平面ABC 所成的角……（12分）
在Rt △CBH 中，cos ∠CBH=
HB
CB
= 3 AB
3 2AB 2
= 6
3 ……（14分）
解法二：(1)令MC=1，则有A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0)……（1分）
∵ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱∴CC 1⊥平面ABC
∴CC 1平行于Z 轴……（2分） 故可设C 1（0，1，m)于是
1AC u u u u r
=(1,1,m),
CB u u u r
=(1,-1,0)……（4分）
∵
1AC u u u u r ·
CB u u u r
=1+(-1)+0=0
∴
1AC u u u u r
⊥CB
u u u r ……（5分）
(2)∵
1AC u u u u r
=(1,1,m),1BC u u u u r
=(-1,1,m)
|1AC u u u u r
|=|1BC u u u u r
|，又已知∠AC 1B=60°
∴△ABC 1为正三角形，AC 1=BC 1=AB=2……（7分）
在Rt △C 1CB 中，CB= 2 ，可得CC 1= 2 ，故C （0，1， 2 ） 连结MC 1，作CH ⊥MC 1，垂足为H ，设H （0，λ， 2 λ）（λ>0) ∵HC u u u r
=(0,1-λ,
2 λ),
1MC u u u u r
=(0,1,
2 )
∴
HC u u u r ·1MC u u u u r
=1-λ-2λ=0,∴λ=13
……（9分）
∴H(0, 13 , 2 3 )可得HC u u u r
=(0,23 ,- 2 3 )连结BH
则有BH u u u r =(-1,13 , 2
3
)，∴
HC u u u r
·BH u u u r =0……（10分）
∴
HC u u u r
⊥BH
u u u r ，又MC 1∩BH=H ，∴HC ⊥平面ABC 1
∠CBH 为CB 与平面ABC 1所成的角，又BC u u u r
=(-1,1,0) ∴cos ∠CBH= BH u u u r ·BC
u u u r
|BH u u u r ||BC u u u r |
= 6 3 ……（14分）
19．解：（1）n =2时，a a 212
331=+-.
n =3时，a a 323
33195=+-=，∴=a 223
∴=+∴=2338511a a ,. 分6ΛΛ
（2）当n ≥2时
b b a t a t a t a t t t n n n n n n n n n n n n
-=
+-+=+--=--=-+----1111131313
33133121123
()()()()
要使{}b n 为等差数列，则必需使120+=t ，∴=-t 1
2
即存在t =-1
2，使{}b n 为等差数列. 分13ΛΛ 20．(1) ,2
9
21=⋅=∆PB AP S APB
又∠PAB ＝45°，AP ＝PB ，故AP ＝BP ＝3.
∵P （1,0），A （－2,0），B （1,－3）3L L L 分
∴ b=2，将B （1，－3）代入椭圆得：22
2
19
1b b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2
12a =， 所求椭圆方程为
22
1 124
y x +=. 分6ΛΛ （2）设椭圆C 的焦点为F 1，F 2，
则易知F 1（0,
－F 2（0
，），分7ΛΛ
直线AB 的方程为：20x y ++=，因为M 在双曲线E 上，要双曲线E 的实轴最大，只须｜｜MF 1｜－｜MF 2｜｜最大，设F 1（0
，－AB 的对称点为
1'F
（2，－2），则直线'12F F 与直线的交点为所求M ，分10ΛΛ 因为'
12F F
的方程为：(30y x ++-=,联立
(30
20
y x x y ⎧++-=⎪⎨
++=⎪⎩得M （1,3-） 12L L 分
又'
2a =｜｜MF 1｜-｜MF 2｜｜=｜｜M 1'F ｜－｜MF 2｜｜21|'|F F ≤
＝，故2,6''
max ==
b a ，
故所求双曲线方程为： 22
1 62
y x -=14L L 分 21、解法一：（1）令2,0==y x ，得：2
)]0([)0(f f =……………1分
1)0(0)0(=∴>∴f f …………………………4分
（2）任取1x 、),(2+∞-∞∈x ，且21x x <. 设,3
1,3
12211p x p x ==则21p p < 21)]31
([)]31([)31()31()()(2121p p f f p f p f x f x f -=-=-……………………4分
)()
()(,1)3
1
(212
1x f x f x f p p f ∴<∴<>Θ在R 上是单调增函数……10分
（3）由（1）（2）知1)0()(=>f b f 1)(>b f Θ b a
b f b
c
b f a f )]([)()(=⋅=Θ
b c
b f b
c b f c f )]([)()(=⋅=………11分 b
c a b
c
b a
b f b f b f
c f a f +>+=+∴)]
([2)]([)]([)()(
而)(2)]
([2)]
([2222
22
b f b f b f b
b a
c c a b
b b
c a =>∴==>++ )(2)()(b f c f a f >+∴
……15分
解法二：（1）∵对任意x 、y ∈R ，有y
x f xy f )]([)(=
x
f x f x f )]1([)1()(=⋅=∴………1分 ∴当0=x 时0
)]1([)0(f f =……2分 ∵任意x ∈R ， 0)(>x f …………3分 1)0(=∴f ……………………4分
（2）1)]3
1([)313()1(,1)31(3>=⨯=∴>f f f f Θ…………………………6分
x f x f )]1([)(=∴是R 上单调增函数 即)(x f 是R 上单调增函数；……10分
（3）c
a c
a
f f f c f a f +>+=+)]
1([2)]1([)]1([)()(……………………11分
而)(2)]1([2)]1([222222b f f f b
b a
c c a b c a =>∴==>++
)(2)()(b f c f a f >+∴……………………15分。