高中数学第三章数系的扩充与复数的引入学业质量标准检测新人教A版选修2-2(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入学业质量标准检测新人教A版选修2-2
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第三章学业质量标准检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．(2017·全国卷Ⅱ)错误!＝( D ）
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
［解析］错误!＝错误!＝错误!＝2－i．
故选D．
2．已知i是虚数单位，则3＋i
1－i
＝（ D ）
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
［解析］错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i．
3．设复数z＝－1－i（i为虚数单位)，z的共轭复数是错误!，则错误!等于( C )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
[解析]由题意可得错误!＝错误!
＝错误!＝－1＋2i，故选C．
4．复数z＝错误!(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( A )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析]z＝错误!＝错误!＝错误!［（m－4)－2（m＋1）i]，其实部为错误!（m－4）,虚部为－错误!（m＋1），
由错误!得错误!此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
5．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1"是“（a＋b i)2＝2i”的( A )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
［解析］本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝（1＋i）2＝2i，反之，(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，
b＝－1，故a＝1,b＝1是(a＋b i）2＝2i的充分不必要条件，选A．
6．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i,则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（ D )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析］∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．
7．已知关于x的方程x2＋(1－2i）x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足（ C ）
A．m≤－错误!B．m≥－错误!
C．m＝错误!D．m＝－错误!
[解析］设实根为x0，则x错误!＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即（x错误!＋x0＋3m)－(2x0＋1)i ＝0,
∴错误!解得错误!
8．若z1,z2∈C，则z1z2＋z1z2是( B )
A．纯虚数B．实数
C．虚数D．实数或虚数
[解析］设z1＝x＋y i，z2＝a＋b i，x,y∈R,则z1错误!＋错误!1z2＝(x＋y i)（a－b i)＋(x －y i)(a＋b i）＝2（ax＋by）＋(ay－bx＋bx－ay)i＝2(ax＋by）∈R．
9．设有下面四个命题
p
：若复数z满足错误!∈R，则z∈R；
1
p
：若复数z满足z2∈R，则z∈R;
2
p
：若复数z1，z2满足z1z2∈R,则z1＝错误!2；
3
p
:若复数z∈R，则错误!∈R．
4
其中的真命题为（ B )
A．p1,p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
［解析］设z＝a＋b i（a,b∈R），z1＝a1＋b1i（a1,b1∈R），z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1,若错误!∈R，即错误!＝错误!∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0．
当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．
对于p3,若z1z2∈R,即（a1＋b1i)（a2＋b2i）＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1）i∈R,则a1b2＋a2b1＝0．而z1＝错误!2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2,b1＝－b2．因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4,若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒错误!＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．
10．若θ∈错误!，则复数（cosθ＋sinθ)＋（sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在（ B )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析]θ∈错误!时，
sinθ＋cosθ〈0，sinθ－cosθ〉0，
故对应点（cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ）在第二象限．
11．（2018·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝（cos B－sin A)＋i（sin B－cos A)对应的点位于复平面内的( B ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[解析］∵A、B为锐角三角形的内角，
∴错误!<A＋B<π，
∴A〉π
2
－B,B>错误!－A,
∴sin A〉sin(错误!－B)＝cos B，
sin B>sin（错误!－A）＝cos A，
∴错误!，
∴对应点在第二象限,故选B．
12．(2018·南宁高二检测）复数z满足条件：｜2z＋1｜＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( A )
A．圆B．椭圆
C．双曲线D．抛物线
[解析］设z＝a＋b i(a，b∈R)，
∴｜2z＋1|＝错误!
｜z－i|＝错误!
∴错误!＝错误!
整理得：a2＋b2＋错误!a＋错误!b＝0．
故选A．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．(2018·和平区三模）设i是虚数单位,复数z＝错误!，则｜z｜等于3．
［解析］z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，
∴则|z｜＝错误!＝3．
故答案为3．
14．（2016·北京理，9）设a∈R，若复数（1＋i）(a＋i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1．
［解析](1＋i)(a＋i）＝（a－1）＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1．
15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是cos（α＋β）．
［解析]z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ）i
＝cos（α＋β）＋sin（α＋β）i
故z1·z2的实部为cos(α＋β）．
16．已知错误!＋错误!i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根,则a＝1，b＝－错误!．
［解析］把错误!＋错误!i代入方程得
a（错误!＋错误!i)2＋b(错误!＋错误!i）＋1＝0,
即（错误!a＋错误!b＋1）＋(错误!＋错误!b）i＝0．
∴错误!即错误!解得错误!
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知z＝1＋i，a，b∈R，若错误!＝1－i，求a,b的值．
［解析］∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴z2＋az＋b
z2－z＋1
＝错误!＝错误!＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴错误!，∴错误!
18．（本题满分12分)已知m∈R，复数z＝错误!＋（m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈
R．（2）z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
［解析](1)当z为实数时,则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R．
(2）当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有错误!＋（m2＋2m－3）＋3＝0，得错误!＝0，
解得m＝0或m＝－1±错误!．
所以当m＝0或m＝－1±错误!时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．
19．(本题满分12分）已知z＝错误!，其中i为虚数单位，a〉0，复数ω＝z（z＋i）的虚部减去它的实部所得的差等于错误!，求复数ω的模．
[解析］∵z＝错误!，代入ω＝z(z＋i）,得
ω＝a－i
1－i
（错误!＋i）＝错误!
＝错误!＝错误!
＝错误!＋错误!i，
∴ω的实部为错误!,虚部为错误!，
由已知得错误!－错误!＝错误!，
解得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0,故a＝2．
|ω｜＝｜错误!＋错误!i|＝｜错误!＋错误!i|
＝|错误!＋3i｜＝错误!．
20．(本题满分12分)已知复数z＝
错误!,ω＝z＋a i(a∈R),当｜错误!|≤错误!时，求a的取值范围．
[解析］∵z＝错误!＝错误!＝1－i，
∴|z|＝错误!．又错误!＝错误!≤错误!，∴|ω｜≤2．
而ω＝z＋a i＝（1－i)＋a i＝1＋（a－1)i,（a∈R）,
则错误!≤2⇒（a－1)2≤3,
∴－3≤a－1≤错误!，1－错误!≤a≤1＋错误!．即a的取值范围为[1－错误!，1＋错误!]．21．(本题满分12分)(2016·天津高二检测）设O为坐标原点,已知向量错误!，错误!分别对应复数z1，z2，且z1＝错误!－(10－a2)i,z2＝错误!＋（2a－5）i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求错误!·错误!的值．
[解析]依题意得z1＋z2为实数，
因为z1＋z2＝错误!＋错误!＋[(a2－10）＋（2a－5）]i,
所以错误!所以a＝3．
此时z1＝错误!－i，z2＝－1＋i，
即错误!＝（错误!，－1），错误!＝(－1,1)．
所以错误!·错误!＝错误!×（－1）＋(－1)×1＝－错误!．
22．（本题满分14分）将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．
(1）设复数z＝a＋b i（i为虚数单位），求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求点P（a，b)落在不等式组错误!表示的平面区域内（含边界)的概率．
［解析］(1)z＝a＋b i（i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋b i－3i＝a＋（b－3)i为实数，则b＝3．
依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6,故b＝3的概率为错误!．
即事件“z－3i为实数”的概率为错误!．
(2）连续抛掷两次骰子所得结果如下表：
123456
1(1,1）(1，2)（1,3)（1，4）（1，5）(1，6)
2(2,1)（2,2)（2，3）(2,4）(2,5）（2,6)
3(3，1）（3,2)（3，3）（3，4)(3,5)(3,6)
4(4，1）(4,2)(4,3）（4,4）（4,5）(4,6）
5(5，1）（5,2）(5，3)（5,4）（5,5)（5，6)
6（6,1)(6,2）（6，3）（6，4）（6，5）（6,6)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界）．
由图知,点P（a，b)落在四边形ABCD内的结果有：（1,1)、（1，2）、（1，3)、（2,1)、（2,2）、（2,3)、(2,4)、(3,1）、(3,2)、（3,3)、（3,4)、（3，5）、（4,1)、（4，2）、（4,3）、(4,4）、（4,5)、(4，6），共18种．
所以点P（a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝错误!＝错误!．。