对一道高考试题的解法探究

2020年第11期
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对一道高考试题的解法探究
柯良才（宁夏六盘山高级中学)
摘要：高考试题具有科学性、逻辑性、规范性和典型性的特点，因此，研究高考试题是高中数学教学不可或缺的一部分，对其进行反复推敲与研究，会给复习备考带来不一样的收获。

关键词：高考数学；试题；解法
文章编号：1002-2171 (2020) 11-0060-02
高考试题是命题专家反复推敲、精心打磨的成 果，具有科学性、逻辑性、规范性和典型性。

高考试题 不仅具有选拔功能，更具有鲜明的教学导向功能。

下面笔者就2019年高考数学全国卷I E第23题进行了 探究，不仅找到了教材中的题源，还通过联想得到了 多种解法。

1原题呈现
题目：设 x，;y，z e R，且 x+y+z^l。

(I)求U—l)2+(：y+l)2+U+l)2 的最小值;
(n)若 u—2)z+〇—i)2+u—成立，证明：—3 或 —1。

本题是一道多元函数的最值问题，形式较为简 单，本文仅以第（I)问为例进行分析。

随新课程理念 的不断推进，高考试题的命制越来越关注对教材例、习题的研究，多以教材例、习题为源进行提炼、变式与 拓展，达到源于教材，高于教材的命题原则。

本题也 不例外。

此题源于人教A版《数学》(选修4-5)“不等式选 讲”第一讲第一节“不等式”习题1. 1中的第11题：已知设 a R+，且 a+6 +c r=l，求证：a2十62+c2>
本题常用均值不等式法求解，高考试题在教材习
题的基础上进行了全面拓展：（1)将限制条件从整实 数拓展到全体实数，为后面结论的拓展提供了可靠的 条件；（2)将源题简洁的结论背景从深度和宽度两方面进行了拓展，又将多个知识点联系到一起，为后续 试题的解答提供了发挥空间，有利于形成多种解法。

2多解联想
像这类结构简单、形式优美的试题，我们可考虑从 形式和结论两方面人手，发挥想象，找到解题方法。

2.1从形式入手解题
解题时，首先想到的是与题目条件或结论具有类 似形式的知识背景。

与本高考试题具有类似背景的
知识点有:柯西不等式(土X土>丨)> (土^,)2;
1 = 1» = 2i = l
向量不等关系|/«12 •• /«)2;空间两点的距离公式，即空间点U d，z)与点（1，一1，一1)间的距离 7(工一1)2+(计1)2+(出)2。

因此，根据这些类似 的形式背景，可得到以下三种解法。

(1)利用柯西不等式求解。

根据柯西不等式的特点，将原式进行构造，可有[(j：-1)2+(3-+1)2+(2+1)2][12+12+12]^[(x-l)+(：y+l)+(z+l)]2=(:c+：y+;z+l)2。

因为 x+ ;y+z=l，所以 3[(x—l)2+(jy+l)2+(z+l)2]> 22=4,所以不等式两边同时除以3,有（x—l)2+(y+ 1)2+(Z+1)2>^~。

反思：柯西不等式是解决不等式及最值问题常用的一种方法。

设结论中（•3：_l)=a1，（:y+l)=a2, (z+l)=a3，则需要再构造一个整体，故取6,=62= 63=1，得到上述柯西不等式形式，
进而解题。

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(2) 利用向量不等关系求解。

设 m = (x —l ，j y +l ，z +l )，《 = (1，1，1)，贝l j |/n l =
\/{x —l)z +
(>>+1)2 +(z +l )2, |n | — V l 1 +12 +12 =V ^"。

因为|m |2 • |〇(m •/j )2,所以[Cr —l )2 + (y +l )2 + (z +l )2] • 3X x +：y +z +l )2。

又因为：c +3/+z =l ， 3[(x -l )2+(y +l )2+(Z +l )2]>22=4,不等式两边同除以 3,得(x —l )2 + (j y +l )2 + (z +l )2>~|"。

反思：向量具有代数、几何的双重性质，应用非常 广泛，所以很多代数问题都可以利用向量法求解。

本 题通过构造向量，根据向量不等关系进行解题。

从解 题过程看，本解法同柯西不等式法基本相同，应用向 量的不等关系也可快速推导出柯西不等式。

(3) 利用空间两点间的距离公式求解。

因为点A 〇，：y ，z )是平面•r +jy + z s l 内一个动 点，则一定点B (l ，一1，一1)与点A 之间的距离为
\/(x —1 )2 + (^+1 )2 + (z +1 )2 〇 又因为点 B (1，
—1，一 1)到平面：c + y + z = l 的距离11X 1 + 1X (-1)+1X (-1)-1
7l 2 + l 2 + l 273
，所以定点B
与动点A
之间的最短距离为
7U -l )2 + 〇+l )2 + 〇+l )2
即（工一1)2 +
(y + 1 )2 + (z +1
反思：本解法是将代数问题转化为几何问题解 决，即求平面上一动点到某定点之间的距离。

又定点 到动点所在平面的距离即为两点的最小距离，进而求 得结果。

2.2从结论入手解题
我们再从结果人手考虑有关最值问题，可联想到 均值不等式、二次函数求最值、一元二次方程判别式 等知识，所以又得到下面三种解法。

(1)利用均值不等式求解。

因为[(工一1) + (计1) + 0+1)]2 = 0-1)2 +
(;y +l )2 + (z +1)2 + 2 [(j ：_l )(j y +l ) +
(>+1)(2+1)+ (z +l )(x —l ) ] < (x -1)2 + (计1)2 + (z +1)2 + [U —l )2 + (3；+1)2 + (：y +l )2 + (z +1)2 + (z +1)2 + (x —I )2]= 3[〇—1)2 + (y +1)2 + (Z+1)2]，所以 3[(x —I )2 + (y +l )2 + (z +1)2] > [(r l )+ 〇+1) +
U +l )]2。

又因为 x + ：y + Z =l ，所以 3[(x —1)2 +
(3；+l )2+(Z +l )2]>22 =4,即 U —l )2 + 〇+l )2 +(2+1
反思：均值不等式是解决不等式和最值问题的基 本方法。

运用此方法解题时，往往直接将式子进行变 形，利用均值不等式的形式求解。

(2)通过构造二次函数求解。

设 S =U —1)2 + 〇+1)2 + (之+1)2,因为1 +
：y +z = 1，所以有 S = 〇—I )2 + (：y +l )2 + (z +1)2 =
{x —l )2+y _l _2j y +l +z 2+2z +l = (^ + z )z +>2 +
zz ~\~2 (y -\- z )
(y ~\~ z )2 —h 2() + z ) +
3(：y +Z )z ■f 2 (;y + z ) + 2。

设 t
y + z ，则 S =音 f + 2,即 S =
音(，+吾)2+音，所以当《=—音时，S 有最小值去，即 U —l )2 + 〇 + l )2+(Z +l )2 的最小值为
反思：将二次函数的解析式进行配方也是求最值问 题的好方法，但本题中，二次函数的构造是难点。

(3)通过构造一元二次方程求解。

因为:c +：y +2：=l ，消去 X ，得（a :—l )2 + (：y +l )2 +
(z +1 )2 = (y ~\~z ) + (^+1)2 + 1)2 = 2(y 2 z 2
3；之 +y + z + 1) 〇 设(j y 2+z 2+_>；2：+j y —l _2：+l )=艺，有
y 2 + (z + \ )y ~\~z 2 + 2：+l —
由于关于 j y 的一■兀
二次方程有解，则判别式A ! = U + 1 )2 — 4(2^ +2：+1—z )>0,整理得 32T 2+2z + 3 —如<0。

由于 关于Z 的一元二次方程有解，则判别式A 2=22—4X
3乂（3-4<)>〇，整理得0|"，所以（:<:—1)2 + (3；+1)2 +
(z +1 )2 =
反思：此解法是将问题转化为一元二次方程，利 用判别式进行求解，不易想到，特别是解题过程中两 次应用了判别式，对学生而言比较难。

本题还有其他解法，如可构造函数/U ) = u 2,再 利用琴生不等式解题;也可建立空间直角坐标系求解 (类比向量法）等。

通过引领学生对一道高考试题进 行深度、反复研究，往往比做大量的练习题更有效，可 以让学生体会多种解法及解法之间的内在联系，将知 识融会贯通，达到解一题、通一类的解题效果。