八年级数学期末复习专题——三角形浙江版知识精讲

初二数学期末复习专题——三角形某某版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
期末复习专题——三角形
二. 重点、难点：
1. 等腰三角形的判定与性质
2. 直角三角形的判定与性质
3. 全等三角形的判定与性质
【典型例题】
例1. 如图所示，已知∠=∠=∠=∠B C BEC A 60203°，°，，求∠A 的度数。

A
E B
C
解：应当把∠∠B C ，与所在的三角形一起作联想，然后求∠A 。

∠=∠BEC A 3
∴提示通过三角形的外角定理求解 延长BE 交AC 于点D
∴∠=∠+∠BEC EDC C
即°
°，°
∠=∠+∠+∠=∠+∴∠=∠+∴∠=BEC A B C A A A A 8038040
A
C
例2. 如图所示，△ABC 中，AD 平分∠>A AB AC ，()，在AB 上任取一点E ，作EG AD ⊥，交AD 于点H ，交BC 的延长线于点G 。

求证：∠=
∠-∠EGB ACB ABC 1
2
()
A
E H
F
B D
C G
证明：△ABC 中， EG AD AD A ⊥∠，且平分
∴∆AEF 为等腰三角形 ∴∠=∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠+∠∴∠=∠-∠∠=∠-∠AEF AFE GFC
ACB G GFC G AFE
AEF B G
ACB B G G ACB B EGB ACB ABC 又即21
21
2
()
()
例3. 如图所示，点F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点，CD=FB ，DF 的延长线与CB 的延长线相交于点E ，求证：2∠E=∠A 。

A
D
E B C
证明：∵F 为Rt △ABC 的斜边AB 上的中点 ∴容易想到“斜中线定理” ∴连CF
∴AF=CF=FB=CD
∴∠=∠=-∠+∠∠=∠∴∠=-∠∠=-∠∴∠=--∠=∠A A E
A E E
11802323180222901802902°又，°但°°()
()
A
D
E B C
例4. △ABC 中，AD 平分∠A ，AB+BD=AC ，求∠B 与∠C 的度数的比值。

解：如图所示， AB BD AC +=
∴可有AC AB BD AB BD AC -=+=或两种解法
A
B D C
若AC AB BD -=
则可在AC 上截取AE=AB ，连结ED
A
B D C
又AD 平分∠A
∴≅∴∠=∠∆∆BAD EAD
AED B
但ED EC =
∴∠=∠=∠∴∠∠+==≅∴∠=∠C AED B
B C AB BD AC
AB E AE AC AED ACD C E
121
2
2与的度数的比值为若则延长到，使得显然，易证∆∆
又，BE BD ABC E C =∴∠=∠=∠22
A
C
注：在证明三角形中，已知线段的和，差关系时，常常可运用“截长补短”方法来证明。

例5. Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=90°，点D 在BC 上，DF AB F DE AC E ⊥⊥于，于；M 为BC 中点，请判断∆M EF 的形状，并说明你的理由。

C
解：∵Rt △ABC 为等腰直角三角形，且M 为BC 的中点 ∴提示作出底边BC 上的高
∴连结AM ，则AM BC MB MC ⊥=， 又AM 平分∠BAC ，∴∠B=∠EAM
∴≅∆∆BFM AME
∴FM=EM ，∴△MFE 为等腰三角形 但注意到∠FMB=∠AME ∴可证∠FME=90°
∴△MEF 为等腰直角三角形
C
例6. 已知一直角三角形两条直角边上的中线长分别为AE=5，BD =210，求其斜边AB 的长。

解：直角三角形中，求边长或线段长，常常提示运用勾股定理。

如图所示，不妨设Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a 则Rt ACE AC b CE a
AE ∆中，，，==
=2
5
∴+=+=+=++=∴+=
⨯∴=+=由勾股定理，得即①
同理，在中，可得②
①②得：斜边b a b a Rt BDC b a a b a b AB a b 2
2
22222
2
22224
25
410041605260
5260
25
213
∆()
A
G D
B E C
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，已知∠======HFG AB BC CD DE EF FG 90°，，求∠A 的度数。

G E C
A H
B D F
2. 如图所示，已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，AE 是∠CAF 的平分线，AE=2AD ，求∠ACB 与∠B 差的度数。

F
A
B E D C
3. Rt △ABC 中，∠C=90°，∠°，D 在AC 上，DC=BC ，DE AB ⊥于E ，求证：AE=BE 。

4. △ABC 中，AD 为BC 边上的高，AD=BD ，DE=CD ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 为△ABC 中AC 边上的高。

5. △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，CD ：AB=1：2，若E 为AB 中点，∠B 的平分线交DE 于F ，求证：BF=DF 。

6. Rt △ABC 中，D 为AC 中点，DE AB ⊥于E ，求证：BE BC AE 222=+。

7. 如图所示，已知BD 平分∠ABF ，AD=CD ，DF BC F ⊥于，求证：∠∠A C 与互补。

B F C
8. 如图所示，△ABC中，以AB、AC为边分别向三角形外作正△ABF和正△ACE。

BE、CF相交于点O，连结OA，求证：OA平分∠EOF。

F
A
E
O
B C
⊥，交AC和AD、9. 如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，BE=EC，过点E作GH AD
-=2。

AB的延长线于H、F、G。

求证：AC AB BG
A
B
D E H
G F
C
10. 折叠一X矩形纸片ABCD，先沿对角线BD折叠，再把AD折叠到BD上（如图所示），已知AB=2，BC=1，求第二次折叠的折痕DE的长。

E
C
C
B B B
【试题答案】
A15°
1. ∠=
提示：设∠A=x，Rt△AFG中，∠A+∠G=90°，∴x=15°
2. 60°
3. 略
4. 提示：∆∆BDE ADC ≅
5. 提示：连结CE ，求证∠=∠D FBD
6. 提示：连结BD ，分别对Rt BDE Rt BCD Rt ADE ∆∆∆，和运用勾股定理。

7. 提示：过D 作BA 的垂线，交BA 的延长线于E ，证明Rt DAE Rt DCF ∆∆≅
8. 提示：过A 分别向CF 、BE 作垂线，垂足分别为M 、N 证明全等的一对三角形：△AFC 与△ABE 对应边上的高相等。

9. 提示：过B 作AC 的平行线交GH 于N
证明∆∆BNE CHE ≅，则AC=AH+HC=AB+BG+CH=AB+2BG 10. DE =
-55
2
提示：设AE=x ，则BE x =-2，在Rt △BEF 中，运用勾股定理解得x =-51
2
，在Rt △ADE 中，DE x 22155
2
=+=-。