高三数学一轮复习 第七章第三节课时知能训练 理 (广东专用)

一、选择题
1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，则a∥b与a，b异面相矛盾．【答案】C
图7－3－8
2．如图7－3－8所示，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A、B、C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
【解析】易知γ过C点，且M∈AB，
∴M∈γ，∴γ也过M点．
【答案】D
3．下列四个命题中，真命题的个数为( )
(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
(2)两条直线可以确定一个平面；
(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
(4)空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合，此命题在三点不共线时才成立．
(2)错，两直线是异面直线时不能确定一个平面．
(3)对，若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
(4)错，空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内．
【答案】A
图7－3－9
4．如图7－3－9，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】直线A1C1、直线A1B都与BC1成60°的角．
【答案】B
5．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.
10
10
B.
1
5
C.
310
10
D.
3
5
【解析】取DD1的中点F，连结CF，∠D1CF为所成的角或其补角，取AB＝1，cos∠D1CF
＝5＋2－1
25×2＝
310
10
.
【答案】C
二、填空题
图7－3－10
6．如图7－3－10所示，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成的角的正切值是________．
【解析】因为AD∥A1D1，异面直线BD1与AD所成的角就是BD1与A1D1所成的角，即∠A1D1B.
由勾股定理，得A1B＝25，
tan∠A1D1B＝ 5.
【答案】 5
7．(2012·惠州质检)a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中正确的命题是________(只填序号)．
【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c相交、平行，也可以异面，故③不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确．【答案】①
图7－3－11
8．一个正方体纸盒展开后如图7－3－11所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.
所以①③正确． 【答案】 ①③ 三、解答题
图7－3－12
9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的A 1C 1面上有一点P(如图7－3－12所示，其中P 点不在对角线B 1D 1)上．
(1)过P 点在空间作一直线l ，使l∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π
2
]，这样
的直线有几条，应该如何作图？
【解】 (1)连结B 1D 1，BD ，在平面A 1C 1内过P 作直线l ，使l∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线．
∵B 1D 1∥BD，l∥B 1D 1，∴l∥直线BD.如图(1)
(1)
(2)在平面A 1C 1内作直线m ，使m 与B 1D 1相交成α角， ∵BD∥B 1D 1，
∴直线m 与直线BD 也成α角，如图(2)．
由图知m 与BD 是异面直线，且m 与BD 所成的角α∈(0，π
2
]．
(2)
当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条；当α≠π
2
时，这样的直线m 有两条．
图7－3－13
10．如图7－3－13所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A＝90°，BC ＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．
【解】 取AC 的中点F ，连结EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF∥CD. ∴∠BEF 即为异面直线BE 与CD 所成的角或其补角．
在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝1
2
，
∴BE＝
5
2
.
在Rt△EAF中，
AF＝
1
2
AC＝
1
2
，AE＝
1
2
，∴EF＝
2
2
.
在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝
1
2
，∴BF＝
5
2
.
在等腰三角形EBF中，
cos∠FEB＝
1
2
EF
BE
＝
2
4
5
2
＝
10
10
，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
10
10
.
图7－3－14
11．如图7－3－14，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
(1)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A—EBC的体积．
【解】(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB.
所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成的角或其补角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，
cos∠AEF＝
2＋2－3
2×2×2
＝
1
4
.
(2)因为E是PC中点，
所以E到平面ABC的距离为
1
2
PA＝1，
V A —EBC ＝V E —ABC ＝13×34×4×1＝3
3
.。