高三期末数学(文)答案 (1)

3 n n n n 2020-2021 学年第一学期高三年级期末考试数学（文）试题参考答案及评分建议
一．选择题：1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6. B 7.B 8.C 9.A 10.D 11.D 12.A
二．填空题： 13.
7 14. 3
15.
54 16.1
9
25
三．解答题：17.解：（1）设 d , q 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的公差和公比，
⎧1+ d = q , 由题意得 ⎨ ⎩
3 + 3d = q 2
,
∴ q = 3 或 q = 0 （舍去），∴ d = 2 ， …………4 分
∴ a = 2n -1(n ∈ N * ) ， b = 3
n -1
(n ∈ N * ) ； …………6 分
（2）由（1）可得c n = a n ⋅ b n = (2n -1) ⋅ 3
n -1
(n ∈ N * ) ，
…………7 分
∴S n = c 1 + c 2 + c 3 + + c n -1 + c n =1⨯1+ 3⨯3 + 5⨯32 + + (2n - 3)⨯3n -2 + (2n -1)⨯3n -1 ，①
3S = 1⨯
3 + 3⨯ 32 + 5⨯ 33 + + (2n - 3) ⨯ 3n -1 + (2n -1) ⨯ 3n ，② …………9 分 ①-②，整理得 S = (n -1)
⨯3n
+1(n ∈ N *
). …………12 分
18．解：（1） a 2 + b 2 - c 2 - ab = 0 ，∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab ，
由余弦定理得cos C =
a 2 +
b 2 -
c 2 2ab = ab 2ab = 1 ， 0︒ < C < 180︒ ，∴C = 60︒ ，…………2 分
2 sin ( A - B ) + sin C = sin A cos B - cos A sin B + sin( A + B )
= sin A cos B - cos A sin B + sin A cos B + cos A sin B = 2sin A cos B ， ∴2sin A cos B = 2cos A cos B ，∴(sin A - cos A ) cos B = 0，
…………4 分
∆ABC 是锐角三角形，∴cos B > 0 ，∴sin A - cos A = 0 ，∴ A = 45︒， B = 75︒ ；……6 分 （2）由（1）得 A = 45︒ ， B = 75︒ ， a = 2 ，
由正弦定理得
2 sin 45︒ = b sin 75︒
，∴b = 2 s in 75︒ = + 1 ， …………10 分 sin 45︒ ∴ S ∆ABC
= 1 ab sin C = 3 + 2 2
3 ． …………12 分
19.解：（1）由题意得 3 月 4 日新增病例中有 12 名男性，8 名女性，按性别从中分层抽取 5人，其中有 3 名男性，分别记为 A , B ,C ；2 名女性，分别记为 d , e ，
…………1 分
∴从这 5 人中随机抽取 2 人作流行病学分析的结果为( A , B ) ， ( A ,C ) ， ( A , d ) ， ( A , e ) ，
(B ,C ) ， (B , d )， (B , e ) ， (C , d ) ， (C , e ) ， (d , e ) ，共有 10 种等可能出现的结果，
2 ∑ ∑ ∑(x - x )
2 其中至少有 1 名女性的结果为( A , d ) ， ( A , e ) ， (B , d ) ， (B , e ) , (C , d ) ， (C , e ) ， (d , e ) ，
共有 7 种，
∴这 2 人至少有 1 名女性的概率为
7
= 0.7 ；
…………4 分 10
（2）由题意得 x = (1+ 2 + 3 + 4 + 5) ⨯ 1 = 3， y = (32 + 25 + 27 + 20 +16) ⨯ 1
= 24 ，
5 5
5 (x i - x )( y i - y )
5
x i y i - 5x y ∴b ˆ = i =1 = i =1 = -3.7 ， a ˆ = y - b ˆx = 24 + 3.7 ⨯ 3 = 35.1，
5
2
i
i =1
∑ x i i =1
- 5x 2
∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y
ˆ = -3.7x + 35.1； …………8 分
（3）由（2）得 y ˆ = -3.7x + 35.1，当 y ˆ = 0时， x = 35.1 = 9 18
， …………10 分 3.7 37
该地可以解除疫情的最早日期为 4 月 7 日. …………12 分
20.（1）（文）证明：连接CD ，
PA = PB = ， AB = 2 ， D 为 AB 的中点，
∴ PD ⊥ AB ， PD = 1， …………2 分
同理可得CD ⊥ AB ， CD = 2，
PC 2 = PD 2 + CD 2
= 5，∴ PD ⊥ CD ,
…………4 分 B F
C
AB C D = D , ∴ PD ⊥ 平面 ABC ； …………6 分
(2) V
= V = V = 1 V
…………8 分
P - AEF C - AEF E - ACF
2 P - ACF
= 1 ⨯ 1 V = 1 S ⋅ PD = 1
=
, …………11 分
2 1+ λ P - ABC 6(1+ λ) ∆ABC
3(1+ λ) 9
∴λ= 1 .
…………12 分
2
21.解：（1）由题意得 f '(x ) = -(x + 2)(ae x
- 2) ， x ∈ R ，
…………2 分
①当 a < 0 时，令 f '(x ) < 0 ，则 x < -2，∴ f (x ) 在(-∞,-2) 上递减； 令 f '(x ) > 0 ，则 x > -2，∴ f (x ) 在(-2,+∞) 上递增； ②当0 < a < 2e 2
时，则ln 2
> -2 ，
a
令 f '(x ) < 0 ，则 x < -2或 x > ln 2 ，∴ f (x ) 在(-∞,-2) 和(ln 2
,+∞) 上递减；
a a
5
P
A E
D
2
2 1 ) ⎩ ⎩ 令 f '(x ) > 0 ，则 - 2 < x < ln 2 ，∴ f (x ) 在(- a 2, l n 2
) 上递增；
a
③当 a = 2e 2 时，则 f '(x ) = -2(x + 2)(e x +2
-1) ≤ 0 ，∴ f (x ) 在(-∞,+∞) 上递减；
④当 a > 2e 2
时，则ln 2
< -2 ，
a 令 f '(x ) < 0 ，则 x < ln 2 或 x > -2，∴ f (x ) 在(-∞ a , ln 2
) 和(-2,+∞) 上递减；
a 令 f '(x ) > 0 ，则ln 2 < x < -2 ，∴ f (x ) 在(ln 2
,-2) 上递增； …………6 分
a a
（2）当 m ∈ (-1,0) 时， g '(x ) = 1
- m > 0 在[1,+∞) 恒成立，
x ∴ g (x ) 在[1,+∞) 上递增，∴ g (x ) ≥ g (1) = 1，
∴ f (m ) = m 2
+ 4m - ae m
(m +1) < 1恒成立，即 a > m 2 + 4m -1 e m (m +1)
恒成立， …………9 分
令 h (m ) = m 2 + 4m -1 e m
(m +1) ， m ∈ (-1,0) ，则 h '(m ) = - (m + 3)(m + 2)(m -1)
e m (m +1)2
> 0 ，
∴ h (m ) 在(-1,0)上递增，∴ a > h (0) = -1，∴ a > -1，且 a ≠ 0 ，
∴实数 a 的取值范围为(-1,0) (0,+∞). …………12 分
⎧
x = t 2 + 1 - 2, ⎪ 22.解：（1）将 ⎨
⎪ ⎩ t 2 y = t - 1 t 的参数t 消去得曲线C 的普通方程为 y 2
= x ， ……3 分 ρcos(θ+ π
= ，∴ρcos θ- ρsin θ- 2 = 0 ，
4
由 ⎧x = ρcos θ,可得曲线C 的直角坐标方程为 x - y - 2 = 0 ； …………5 分 ⎨ y = ρsin θ2
（2）将曲线C 与C 的方程联立得 ⎧x - y - 2 = 0,
⎧x = 4, 1 2
⎧ x = 1, ⎨ y 2 = x ,
解得 ⎨ y = 2 或 ⎨
y = -1, ∴ P 的直角坐标为(1,-1)或(4,2) ； …………7 分 ⎩ ⎩
设所求圆的圆心坐标为(a ,0)(a > 0) ，则其方程为 x 2
- 2ax + y 2
= 0， 当 P 的坐标为(4,2) 时，∴a = 5
，则所求圆的极坐标方程为ρ= 5cos θ；
2
当 P 的坐标为(1,-1)时，∴a = 1，则所求圆的极坐标方程为ρ= 2 cos θ.…………10 分
23.证明：（1）由题意得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，………3分 a, b, c 是三个不全相等的实数，∴上述三个不等式的等号不全成立，
∴2(a2 +b2 +c2 ) > 2(ab +bc +ca) ，即a2 +b2 +c2 >ab +bc +ca ；…………5 分（2）由（1）得a2 +b2 +c2 >ab +bc +ca ，
∴(a +b +c)2 =a2 +b2 +c2 + 2(ab +bc +ca)
…………7 分< 3(a2 +b2 +c2 ) = 3 ，
3
∴a +b +c < . …………10分注：以上各题其它解法，请酌情给分.。