数学_2015年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|−1≤x ≤2}，B ＝{x|x <−3, 或x >4}，那么A ∩(∁U B)＝（ ）
A {x|−1≤x ≤4}
B {x|−3≤x ≤2}
C {x|−1≤x ≤2}
D {x|−3≤x ≤4} 2. 复数a+i
2−i 为纯虚数，则实数a ＝（ ） A −2 B −1
2 C 2 D 1
2
3. 在区间[0, 2]上随机取一个实数x ，若事件“3x −m <0”发生的概率为1
6，则实数m ＝
（ ）
A 1
B 1
2
C 1
3
D 1
6
4. 已知点M 的极坐标为(5,2π3
)，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )
A (−
5√32,−52) B (−5√32,52) C (52,5√32) D (−52,5√3
2
) 5. “x <1”是“log 12
x >0”的（ ）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
条件
6. 某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（ ）
A A 62×A 54种
B A 62×54种
C C 62×A 54种
D C 62×54
种
7. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为（ ）
A 1
6 B √2
6 C √3
6 D 1
2
8. 已知函数f(x)＝2mx 2−2(4−m)x +1，g(x)＝mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A (0, 2) B (0, 8) C (2, 8) D (−∞, 0)
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝8，S 4＝12，则{a n }的公差d ＝________． 10. 曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．
11. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60∘，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________．
12. 已知F 1，F 2分别为椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 2垂直于x 轴．若|F 1F 2|=2|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．
13. 已知函数f(x)是R 上的减函数，且y ＝f(x −2)的图象关于点(2, 0)成中心对称．若u ，v 满足不等式组{f(u)+f(v −1)≤0f(u −v −1)≥0
，则u 2+v 2的最小值为________1
2 ．
14. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)＝−1．若A(2x +1)＝3，则x 的取值范围是________；若x >0且A （2x ⋅A(x)）＝5，则x 的取值范围是________．
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. 在△ABC 中，b ＝2，cosC =3
4，△ABC 的面积为√74
．
(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求sin2A 值．
16. 某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示．其中成绩分组区间是：[75, 80),[80, 85),[85, 90),[90, 95),[95, 100]．规定90分及其以上为合格． (Ⅰ)求图中a 的值
(Ⅱ)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
(Ⅲ)若三个人参加交通法规考试，用X 表示这三人中考试合格的人数，求X 的分布列与数学期望．
17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝PA ＝BC ＝2．D ，E 分别为AB ，AC 的中点，过DE 的平面与PB ，PC 相交于点M ，N （M 与P ，B 不重合，N 与P ，C 不
重合）．
(Ⅰ)求证：MN // BC；
(Ⅱ)求直线AC与平面PBC所成角的大小；
(Ⅲ)若直线EM与直线AP所成角的余弦值3√14
时，求MC的长．
14
+lnx，a∈R．
18. 已知函数f(x)＝x+a
x
(Ⅰ)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(Ⅱ)若f(x)在区间(1, 2)上单调递增，求a的取值范围；
(Ⅲ)讨论函数g(x)＝f′(x)−x的零点个数．
19. 在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点(1, 0)的距离与它到直线x＝−1的距离相等．(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程；
(Ⅱ)设动直线l:y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝−1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．
20. 在无穷数列{a n}中，a1＝1，对于任意n∈N∗，都有a n∈N∗，且a n<a n+1．设集合A m ＝{n|a n≤m, m∈N∗}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．
例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．
(Ⅰ)设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；
(Ⅱ)设a n＝3n−1(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和；
(Ⅲ)设a n＝3n−2(n∈N∗)，求数列{a n}的伴随数列{b n}前n项和S n．
2015年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）答案
1. C
2. D
3. A
4. D
5. B
6. D
7. A
8. B
9. −1
10. 2
11. 2
12. √5−1
2
13. 1
2
14. (1
2, 1],(1, 5
4
]
15. （1）△ABC中，∵ b＝2，cosC=3
4，∴ sinC=√7
4
，
∴ △ABC的面积为√7
4=1
2
ab⋅sinC=1
2
a⋅2⋅√7
4
．
a＝（1）
（2）由余弦定理可得c2＝a2+b2−2ab⋅cosC＝1+4−3＝2，∴ c=√2．
再由正弦定理可得a
sinA =c
sinC
，即1
sinA
=√2
√7
4
，∴ sinA=√14
8
．
由于a不是最大边，故A为锐角，故cosA=5√2
8
，
∴ sin2A＝2sinAcosA＝2×√14
8⋅5√2
8
=5√7
16
．
16. （I）由直方图知．(0.01+0.02+0.06+0.07+a)×5＝（1）解得a＝0.(04)
（2）设事件A为“某名学员交通考试合格”．
由直方图知，P(A)＝(0.06+0.02)×5＝0.(4)
(III)以题意得出X的取值为0，1，2，（3）
P(X＝0)＝(1−0.4)3＝0.2(16)
P(X＝1)=C31×0.4×(0.6)2＝0.4(32)
P(X＝2)=C32×(0.4)2×(0.6)＝0.2(88)
P(X＝3)=C33×(0.4)3＝0.06(4)
所以X的分布列为
E(X)＝0×0.216+1×0.432×2×0.288+3×0.064＝1.(2) 17. （1）证明：∵ D，E分别为AB，AC的中点；
∴ DE // BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；
∴ DE // 平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；
∴ DE // MN；
∴ MN // BC；
（2）如图，在平面PAB内作BZ // PA，则根据：
PA ⊥底面ABC ，及AB ⊥BC 即知，BC ，BA ，BZ 两两垂直；
∴ 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BZ 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则： B(0, 0, 0)，C(2, 0, 0)，A(0, 2, 0)，P(0, 2, 2)； ∴ BC →=(2,0,0),BP →=(0,2,2)，AC →
=(2,−2,0)； 设平面PBC 的法向量为n →
=(x 1,y 1,z 1)； 则由{n →
⋅BC →
=0n →
⋅BP →=0
得： {2x 1=02y 1+2z 1=0 ，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝−1； ∴ n →
=(0,−1,1)；
设直线AC 和平面PBC 所成角为α，则： sinα=|cos <AC →,n →
>|=|AC →⋅n
→
|AC →
||n →
|
|=2
2
√2⋅√
2
=1
2； 又α∈[0,π
2]； ∴ α=π
6；
即直线AC 和平面PBC 所成角为π
6；
(Ⅲ)设M(0, y, z)，M 在棱PB 上，则：BM →=λBP →
,(0<λ<1)； ∴ (0, y, z)＝λ(0, 2, 2)；
∴ M(0, 2λ, 2λ)，E(1, 1, 0)；
∴ EM →=(−1,2λ−1,2λ),AP →
=(0,0,2)； 因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值3√1414
； 设直线EM 和直线AP 所成角为θ； 所以cosθ=|
EM →
⋅AP →
|EM →
||AP →|
|=
4λ√8λ2−4λ+2⋅2
=
3√1414
； ∴ 8λ2−18λ+9＝0； 解得λ=3
4，或λ=3
2（舍去）；
∴ M(0, 3
2,3
2 )；
∴ MC=√4+9
4+9
4
=√34
2
．
18. （1）函数f(x)＝x+a
x
+lnx(x>0)，
f′(x)＝1−a
x2+1
x
=x2+x−a
x2
，
f(x)在x＝1处取得极小值，
即有f′(1)＝0，解得a＝2，
经检验，a＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值．则有a＝2；
（2）f′(x)＝1−a
x2+1
x
=x2+x−a
x2
，x>0，
f(x)在区间(1, 2)上单调递增，
即为f′(x)≥0在区间(1, 2)上恒成立，即a≤x2+x在区间(1, 2)上恒成立，由x2+x∈(2, 6)，
则a≤2；
(Ⅲ)g(x)＝f′(x)−x＝1−a
x2+1
x
−x，x>0，
令g(x)＝0，则a＝−x3+x2+x，
令ℎ(x)＝−x3+x2+x，x>0，
则ℎ′(x)＝−3x2+2x+1＝−(3x+1)(x−1)，
当x∈(0, 1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 1)递增；
当x∈(1, +∞)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1, +∞)递减．
即有ℎ(x)的最大值为ℎ(1)＝1，
则当a>1时，函数g(x)无零点；
当a＝1或a≤0时，函数g(x)有一个零点；
当0<a<1时，函数g(x)有两个零点．
19. （1）设动点E的坐标为(x, y)，
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1, 0)为焦点，x＝−1为准线的抛物线，∴ 动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；
（2）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b(k≠0)，
由{y2=4x
y=kx+b
，消去x得：ky2−4y+4b＝（0）
∵ 直线l与抛物线相切，∴ △＝16−16kb＝0，即b=1
k
．
∴ 直线l的方程为y＝kx+1
k
．
令x＝−1，得y=−k+1
k
，
∴ Q(−1, −k+1
k
)，
设切点坐标P(x 0, y 0)，则ky 02−4y 0+4
k
=0，
解得：P(1k
2,2
k
)，
设M(m, 0)，
则MQ →
⋅MP →
=(1
k 2−m)(−1−m)+2
k (−k +1
k ) =−
1k 2+m −m k 2+m 2+2k 2
−2 =(m −1)(1
k 2−m −2)． 当m ＝1时，MQ →
⋅MP →
=0．
∴ 以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点M(1, 0)．
20. （I ）由{a n }伴随数列{b n }的定义可得前5项为1，1，1，2，（3） (II)由a n ＝3n−1≤m ，可得n ≤1+log 3m ，m ∈N ∗， ∴ 当1≤m ≤2时，m ∈N ∗，b 1＝b 2＝1；
当3≤m ≤8时，m ∈N ∗，b 3＝b 4＝...＝b 8＝2； 当9≤m ≤20时，m ∈N ∗，b 9＝b 10＝ (3)
∴ 数列{a n }的伴随数列{b n }的前20项和＝1×2+2×6+3×12＝50； (III)由a n ＝3n −2≤m ，解得n ≤
m+23
，
∵ 不等式a n ≤m 成立的最大值为b m ，
∴ b 1＝b 2＝b 3＝1，b 4＝b 5＝b 6＝2，…，b 3n−2+b 3n−1+b 3n ＝t(t ∈N ∗)， ∴ 当n ＝3t −2时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)
2
(t −1)+t =
3t 2−t 2
=1
6(n +1)(n +2)；
当n ＝3t −1时，(t ∈N ∗)，S n =3×1+(t−1)
2
(t −1)+2t =
3t 2+t 2
=1
6(n +1)(n +2)；
当n ＝3t 时，(t ∈N ∗
)，S n =3×
1+t 2
×t =
3(t 2+t)
2
=1
6n(n +3)．
∴ S n ={
(n+1)(n+2)
6
,(n =3t −23t −1)
n(n+3)
6
,(n =3t)
(t ∈N ∗)．。