七年级上册有理数单元测试卷(解析版)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．同学们都知道表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：
（1）求 ________．
（2）找出所有符合条件的整数，使得．满足条件的所有整数值有________
（3）由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最大值或最小值？如果有最大值或最小值是多少？有最________（填“最大”或“最小”）值是________．
【答案】（1）7
（2）-3，-2，-1，0，1，2;
（3）最小；3
【解析】【解答】（1）原式=|5+2|=7.
故答案为: 7;（2）令x+3=0或x-2=0时，则x=-3或x=2.
当x<-3时，- (x+3) - (x-2) =5 ,
-x-3-x+2=5，解得x=-3(范围内不成立)
当-3≤x≤2时，(x+3) - (x-2) = 5,
x+3-x+1=4，0x=0，x为任意数,
则整数x=-3，-2，-1, 0，1，
当x>2时，(x+3) + (x-2) = 5，
x=2(范围内不成立) .
综上所述，符合条件的整数x有: -3, -2, -1, 0，1，2.
故答案为:-3，-2，-1，0，1，2;(3) 由(2) 的探索猜想,对于任何有理数x，有最小值为3,
令x-3=0或x-6=0时,则x=3，x=6
当x＜3时，-(x-3)-(x-6)=-2x+3﹥3
当3≤x≤6时，x-3-(x-6)=3,
当x＞6时，x-3+x-6=2x-9＞3
∴对于任何有理数x，有最小值为3
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去掉绝对值就可以了；（2）要求x的整数值可以进行分段计算，令x+3=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值.（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值.
2．如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米）
（1）求B地在数轴上表示的数；
（2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由；
（3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？
【答案】（1）解：， .
答：地在数轴上表示的数是12或
（2）解：令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则：
第五次行进后相对A的位置为：，
第六次行进后相对A的位置为：，
因为点、与点的距离都是3米，
所以点、点到地的距离相等
（3）解：若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”，
则当为100时，它在数轴上表示的数为：
，
∵B点表示的为12.
∴AB的距离为（米 .
答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米
【解析】【分析】（1）由已知A，B两地在数轴上的距离为20米，且A地在数轴上表示的数为-8，可得到B地可能在A地的左边，也可能在A地的右边，然后列式可求出B地在数轴上表示的数。

（2）根据题意分别列式求出第5次和第6次行进后相对A的位置，由此可得到第P和点Q到A的距离，即可作出判断。

（3）根据点B在原点的右侧，列式可求出n=100时，可得到点A在数轴上表示的数，再根据点B表示的数，就可求出AB的距离。

3．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．
（1）AC=________cm，BC=________cm；
（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；
（3）当t为何值时，AP=PQ？
【答案】（1）9；3
（2）3；
（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：
①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；
②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，
可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；
③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，
可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．
故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．
【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC
∴AC= AB=9，BC=12-9=3．
故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，
由题意，点P与点Q第一次重合于点B，
则有4t-t=9，解得t=3；
当点P与点Q第二次重合时有：
4t+t=12+3+24，解得t= ．
故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．
故答案为：3；．
【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．
4．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b-a．请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动3cm到达A点，再向左移动1cm到达B 点，然后向右移动6cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置：
（2）点C到点A的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示数________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）；（4）若点B以每秒3cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、5cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA-AB的值是否会与t的值有关？请说明理由.
【答案】（1）解：点A表示-3，点B表示-4，点C表示2，如图所示，
（2）5；1或-7
（3）-3+x
（4）解：CA-AB的值与t的值无关.理由如下：由题意得，点A所表示的数为-3+t，点B表示的数是-4-3t，点C表示的数是2+5t，
∵点C的速度比点A的速度快，
∴点C在点A的右侧，∴CA=（2+5t）-(-3+t)=5+4t,
∵点B向左移动，点A向右移动，
∴点A在点B的右侧，
∴AB=（-3+t）-（-4-3t）=1+4t，
∴CA-AB=(5+4t)-(1+4t)=4.
【解析】【解答】（2）CA=2-（-3）=2+3=5；
当点D在点A右侧时，点D表示的数是：4+（-3）=1；
当点D在点A左侧时，点D表示的数是：-3-4=-7；
故答案为5；1或-7.
（ 3 ）点A表示的数为-3，则向右移动xcm，移动到(-3+x)处.
【分析】（1）在数轴上进行演示可分别得出点A，点B，点C所表示的数；
（2）由题中材料可知CA的距离可用右边的数减去左边的数，即CA=2-（-3）；
由AD=4，且点A，点D的位置不明确，则需分类讨论：当点D在点A右侧时，和当点D 在点A左侧时，两种情况；
（3）向右移动x，在原数的基础上加“x”；
（4）由字母t分别表示出点A，点B，点C的数，由它们的移动方向不难得出点C在点A 的右侧，点A在点B的右侧，依此计算出CA，AB的长度，计算CA-AB的值即可.
5．已知 a、b、c 在数轴上的位置如图：
（1）用“<”或“>”填空：a+1________0；c-b________0；b-1________0；
（2）化简：；
（3）若a+b+c=0，且b与-1的距离和c与-1的距离相等，求下列式子的值：2b -c - (a - 4c - b)．
【答案】（1）>；<；<
（2）解：∵a+1＞0，c-b＜0，b-1＜0，
∴原式=a+1-(b-c)-(1-b)=a+1-b+c-1+b=a+c
（3）解：由已知得：b+1=-1-c，即b+c=-2，
∵a+b+c=0，即-2+a=0，∴a=2，
则2b -c - (a - 4c - b)．
=2b -c - a + 4c + b
=3(b+c)-2=
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：c<0<b<1<a
∴a+1＞0；c-b＜0；b-1<0
【分析】（1）根据数轴上点的位置进行计算比较大小即可；（2）利用数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果（3）根据题意列出关系式，求出a与b+c的值，原式去括号合并得到最简结果，将a与b+c的值代入计算即可求出值．
6．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：
，，
.
（1）计算： ________， ________.
（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).
（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求
的值.
【答案】（1）19；
（2）
（3）解：由数轴可得，
，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
.
【解析】
【解答】（1），
；
（2）∵，，，
∴
，
或
综上可知，
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；
（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]
7．如图，在数轴上点A表示数−20，点C表示数30，我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记.
比如，点A与点B之间的距离记作AB，点B与点C之间的距离记作BC…
（1）点A与点C之间的距离记作AC，则AC的长为________；若数轴上有一点D满足CD=AD，则D点表示的数为________；
（2）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A、C在数轴上运动，点A、C 的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒.
①若点A向右运动，点C向左运动，AB=BC，求t的值________；
②若点A向左运动，点C向右运动，2AB−m×BC的值不随时间t的变化而改变，则2AB−m×BC的值为________(直接写出答案).
【答案】（1）50；5
（2）10或；-45．
【解析】【解答】（1）解：∵A表示的数为-20，C表示的数为30，
∴AC=30-（-20）=50；
∵CD=AD
∴点D为AC的中点
∴D所表示的数为 =5，
故答案为50；5（2）解：①根据题意，A所表示的数为-20+2t，C所表示的数为30-3t，B 所表示的数为1+t，
AB=|-20+2t-（1+t）|=|-21+t|，
BC=|30-3t-（1+t）|=|29-4t|，
∵AB=BC
∴|-21+t|=|29-4t|，
-21+t=29-4t，
解得t=10，
-21+t=4t-29
解得t= ．
∴当AB=BC时，t=10或．
②根据题意，A所表示的数为-20-2t，B所表示的数为1+t，C所表示的数为30+3t，
AB=1+t-（-20-2t）=21+3t，
BC=30+3t-（1+t）=29+2t，
∴2AB-m×BC=2（21+3t）-m×（29+2t）=42+6t-29m-2mt，
∵2AB-m×BC的值不随时间t的变化而改变，
∴6t-2mt=0，
∴m=3，
∴42+6t-29m-2mt=-45，
∴2AB-m×BC=-45．
故答案为-45．
【分析】（1）在数轴上表示两点所组成的线段长度用右边点所表示的数减去左边点所表示的数即可．（2）当数轴上想表示两个点之间的距离，根据绝对值的意义可用绝对值进行处理．动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离．
8．如图，数轴上两点分别表示有理数-2和5,我们用来表示两点之间的距离.
（1）直接写出的值=________；
（2）若数轴上一点表示有理数m，则的值是________；
（3）当代数式∣n +2∣+∣n -5∣的值取最小值时，写出表示n的点所在的位置；
（4）若点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点到原点的距离是点到原点的距离的2倍.
【答案】（1）7
（2）
（3）解：n点位于线段AB上（包括A、B两点），即时有最小值7；即：
（4）解：设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，
第一种情况：2+2x=2（5-3x），解得：x=1
第二种情况：2+2x=2（3x-5），解得：x=3
答：经过1秒或3秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍.
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：7（2）
【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；（2）根据两点间距离公式求解即可；（3）根据n+2和n-5以及两点间距离公式，即可得出n的取值范围；（4）设经过x秒后点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，利用两点间距离公式分两种情况列出方程，求解即可.
9．如图，在数轴上A点表示的数是-8，B点表示的数是2。

动线段CD=4（点D在点C的右侧），从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t 秒。

（1）①已知点C表示的数是-6，试求点D表示的数；
②用含有t的代数式表示点D表示的数。

（2）当AC=2BD时，求t的值。

（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD-BC的值始终保持不变?请求出它的值并说明此时线段CD的位置。

【答案】（1）解：①∵点C表示的数是-6，CD=4且点C在点A的右边
∴点D表示的数为-6+4=-2；
②∵从点C与点A重合的位置出发，以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒。

∴点C表示的数为-8+2t，
∵CD=4
∴点D表示的数为：-8+2t+4=-4+2t;
（2）解：∵运动t秒后，点C表示的数为-8+2t，点D对应的数为-4+2t，
∵AC=2BD，点B表示的数为2，点A表示的数为-8
∴-8+2t-（-8）=2|-4+2t-2|
∴t=-6+2t或t=6-2t
解之：t=6或2；
（3）解：①当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2)
AD+BC的值保持不变，且AD+BC=AB+CD=14
②当线段CD在点B的右侧时(图3)
ADBC的值保持不变，且ADBC=AC+CDBC=AB+CD=14
【解析】【分析】（1）①由点C表示的数及CD的长及点C在点A的右边，就可求出点D 表示的数；②根据线段的运动方向及运动速度，可得到点C表示的数为-8+2t，再由CD的长，就可用含t的代数式表示出点D表示的数。

（2）求出运动t秒后点C和点D表示的数，再根据AC=2BD，建立关于t的方程，解方程求出t的值。

（3）分情况讨论：当线段CD在线段AB上时(图1)或当点B在线段CD内时(图2) ；当线段CD在点B的右侧时(图3)，分别利用绝对值的性质及两点间的距离公式就可求出AB+CD的值。

10．
阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a
﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
【答案】解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3；
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|=3；
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|=4
②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，则x+1=±2，解得x=1或-3.
③根据题意得x+1≥0且x-2≤0，则-1≤x≤2；
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5．
当x+1＞0，x-2＞0，则（x+1）+（x-2）=5，解得x=3
当x+1＜0，x-2＜0，则-（x+1）-（x-2）=5，解得x=-2
当x+1与x-2异号，则等式不成立.
所以答案为：3或-2.
【解析】【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
③根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．
④根据题意分三种情况：当x≤﹣1时，当﹣1＜x≤2时，当x＞2时，分别求出方程的解即可．
11．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足
（1）求a和b的值；
（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？
（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：a=-8，b=22；
（2）解：5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；
（3）解：存在
理由：设运动的时间为x秒，
点C对应的数为7，
点P对应的数为−8＋5x，
点M对应的数为 7＋3x，
点N对应的数为22−4x，
则PM＝|（−8＋5x）−（7＋3x）|＝|−15＋2x|，PN＝|（−8＋5x）−（22−4x）|＝|−30＋9x|．
由PM＋PN＝12得|−15＋2x|＋|−30＋9x|＝12．
①当0＜x≤ 时，15−2x＋30−9x=12，解得：x=3 ，
此时P对应的数为-8+5x=7；
②当＜x≤ 时，15−2x-30+9x=12，解得：x= 且＜≤ ，
此时P对应的数为-8+5x= ；
③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x= 且＜，舍去；
综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，
此时点P对应的数为 7或 .
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；（2）根据点P 运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论；（3）分三种情况：①0＜x≤ ；② ＜x≤ ；③ ＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．
12．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________．
（2）已知y=|x+8|﹣|x－2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．
【答案】（1）；2
（2）解：当x＞2时y＝x+8﹣（x－2）=10，
当−8≤x≤2时，y＝x+8+（x－2）=2x＋6，当x=2时，y最大＝10；
当x＜−8，时y＝-x-8+（x－2）=-10，
综上所以x≥2时，y有最大值y＝10．
【解析】【解答】（1）当x＜2时，原式＝6−2x，此时6−2x＞2；当2≤x≤4时，原式＝2；当x＞4时，原式＝2x−6＞2，
∴当2≤x≤4时，|x−2|＋|x−4|取最小值时，最小值为2．
故答案为：2≤x≤4；2．
【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．。