山东省济南市2021年中考数学试卷和答案

2021年山东省济南市中考数学试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分） 1. 9的算术平方根是
A. 3
B. -3
C. ±3
D. 3 2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是
3. 2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆。

火星具有和地球相近的
环境，与地球最近的时候的距离约55 000 000 km ，将数字55 000 000用科学计数法表示为
A. 0.55×108
B. 5.5×107
C. 5.5×106
D. 55×106
4. 如图，AB ∥CD ，∠A=30°，DA 平分∠CDE ，则∠DEB 的度数为
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
5. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
6. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. 0>+b a
B. b a >-
C. 0<-b a
D. a b <-
7. 计算1
1
212----m m m m 的结果是
A. 1+m
B. 1-m
C. 2-m
D. 2--m
8. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”，“文明出行”，“低
碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选在同一个宣传队的概率是
A.
91 B. 61 C. 31 D. 3
2 9. 反比例函数)0(≠=k x
k
y 图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数
k kx y -=的图象大致是
10. 无人机低空遥感技术已经广泛应用于农作物检测，如图，某农业特色品牌示范基地用无
人机对一块试验田进行检测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧边界N 处俯角为43°，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35°，则M ，N 之间的距离为
（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A. 188m
B. 269m
C. 286m
D. 312m
11. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧，
交AC 于点D ，连结BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于
2
1
BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交BC 于点E ，连结DE ，则下列结论中不正确．．．的是 A. BE=DE B. DE 垂直平分线段AC C.
3
3=
∆∆ABC EDC S S D. BD 2
=BC ·BE 12. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点P （m ，n ）和点P'（m ，n '），若满足m ≥
0时，4-='n n ；0<m 时，n n -='，则称点P'（m ，n '）是点P （m ，n ）的限变点。

例如：点P 1（2，5）的限变点是P'1（2，1），点P 2（-2，3）的限变点是P'2（-2，-3）。

若点P （m ，n ）在二次函数242
++-=x x y 的图象上，则当-1≤m ≤3时，其限变点P'的纵坐标n '的取值范围是
A. -2≤n '≤2
B. 1≤n '≤3
C. 1≤n '≤2
D. -2≤n '≤3 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：92-a =________
14. 如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若飞镖随机投
掷到圆面上，则飞镖落在黑色区域的概率是________ 15. 如图，正方形AMNP 的边AM 在正五边形ABCDE 的边AB 上，
则∠PAE=________
16. 关于x 的一元二次方程02=-+a x x 的一个根是2，则另一个根是
________
17. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国
古代人民对函数思想的创造性应用。

小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h （cm ）是时间t （min ）的一次函数。

下表是小明记录的部分数据，其中有一个．．h 的值记录错误．．．．．．，请排除后利用正确的数据确定当h 为8cm 时，对应的时间t 为________min
t （min ）
… 1 2 3 5 … h （cm ）
…
2.4
2.8
3.4
4
…
18. 如图，一个由8个正方形组成的“C ”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的
直角顶点M ，N ，O ，P ，Q 都在矩形ABCD 的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB 的长为________
三、解答题（本题有9小题，共78分） 19.（本题6分）
计算：︒--+-+-45tan 23)1()4
1
(01π
20.（本题6分）
解不等式组： 并写出它的所有整数解。

21.（本题6分）
如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边AD 和CD 上的点，且∠ABE=∠CBF ， 求证：DE=DF 。

22.（本题8分）
为倡导绿色将康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动。

志愿者随机抽取了社区50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 方便筷使用数量在5≤x <15范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7。

不完整的统计图表：
请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的a =________；
（2）统计图中E 组对应扇形的圆心角为________度；
（3）C 组数据的众数是________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是
________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民使用方便筷数量不少于15双的人数。

23.（本题8分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，过点C 的切线交DA 的延长线于点E ，DE ⊥CE ，连结CD ，BC 。

（1）求证：∠DAB=2∠ABC ； （2）若tan ∠ADC=2
1
，BC=4，求⊙O 的半径。

24.（本题10分）
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市节前购进了甲，乙两种畅销口味的粽子。

已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍。

（1）求甲，乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种粽子共200个，若总金额不超
过1120元，问：最多购进多少个甲种粽子？
如图，直线x y 23=
与双曲线x
k
y =（0≠k ）交于A ，B 两点，点A 的坐标为（m ，-3），点C 是双曲线第一象限分支上的一点，连结BC 并延长交x 轴于点D ，且BC=2CD 。

（1）求k 的值，并直接写出点B 的坐标；
（2）点G 是y 轴上的动点，连结GB ，GC ，求GB+GC 的最小值；
（3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点P ，Q ，使得四边形ABPQ 是矩形？
若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

26.（本题12分）
在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 在边BC 上，BD=
3
1
BC ，将线段DB 绕点D 顺时针旋转至DE ，记旋转角为α，连结DE ，CE ，以CE 为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF ，连结AF 。

（1）如图1，当︒=180α时，请直接写出线段AF 与线段BE 的数量关系； （2）当︒<<︒1800α时，
①如图2，（1）中线段AF 与线段BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当B ，E ，F 三点共线时，连结AE ，判断四边形AECF 的形状，并说明理由。

抛物线32
++=bx ax y 过点A （-1，0）点B （3，0），顶点为C 。

（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）如图1，点P 在抛物线上，连结CP 并延长交x 轴于点D ，连结AC ，若△DAC 是以
AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连结
PE ，作∠PEF=∠CAB ，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的取值范围。

答案解析
一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分） 1-5 ACBBA 6-10 BBCDC 11-12 CD
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 13.)3)(3(-+a a
14.
15. 18° 16. -3 17.15
18.
三、解答题（本题有9小题，共78分） 19. 282
2
2314-=⨯
-++ 20.解：由①，33-x ≥52-x ， x ≥-2③；
由②：34+<x x ， 1<x ，
∴原不等式组的解为 -2≤1<x ，其中整数解为-2，-1，0 。

21.
【解答过程】证明：连结BD ，则∠3=∠4，∠ABD=∠CBD ，
∵∠ABE=∠CBF ，∴∠ABD-∠ABE =∠CBD -∠CBF ，即∠1=∠2，
在△BED 和△BFD 中，∵∠1=∠2，BD=BD ，∠3=∠4，∴△BED ≌△BFD （ASA ）， ∴DE=DF 。

22.（本题8分）
【解答过程】（1）样本容量是50人，由统计图得知D 组人数占18%，可求出9=a 人；
（2）E 组10人占样本容量50人的20%，所以所对扇形圆心角是360°×0.2=72°；
（3）C 组出现最多的是12；
一共50个数据，如果把这些数据从小到大排列，那么中位数是第25和荻26这两个数的算术平均数，
由题中的数据，B 组有9人，C 组有7人，A ，B 两组共23人，那么该样本的中位数出现在C 组的第二小和荻三小，这两个数都是10，所以整个样本的中位数是10；
（4）解：根据本样本，不少于15的有D 组9人和E 组10人，共19人 ，占38%，
以此估计该社区2000人中使用方便筷不少于15双的人数可能会达到 2000×38%=760人
答：所求人数可能有760人。

23.（本题8分）
【解答过程】（1）连结CO ，则有∠3=∠B ， ∠2=∠3+∠B=2∠B ①；
∵CE 是切线，点C 是切点，∴OC ⊥CE ，
又∵DE ⊥CE ，∴DE ∥OC ，∴∠1=∠2，而∠2=2∠B ①，∴∠1=2∠B ， 即∠DAB=2∠ABC ；
（2）在⊙O 中，∠B=∠D （同圆中，同弧所对圆周角相等），则tan ∠B=tan ∠D=
2
1
， 连结AC ，因为AB 是直径，所以∠ACB=90°， 则在Rt △ABC 中，AC=BC ·tan ∠B=4×
2
1
=2， Rt △ABC 中，AC=2，BC=4，∴AB=52，∴AO= 5。

24.（本题10分）
【解答过程】解：（1）设甲、乙两种粽子单价分别为m 2元/个和m 元/个，
根据题意：
m
m 800
5021200=
+，解这个方程，得4=m ， 检验知4=m 是所列方程的根，∴82=m ， ∴甲乙两种粽子单价分别是8元/个和4元/个； （2）设加购甲种粽子x 个，如下表：
单价 数量
金额
甲 8 x
x 8 乙
4
x -200
8004+-x
合计 200
8004+x
根据题意：8004+x ≤1120， x ≤80，
另一方面：0≤x ≤200，0≤x -200≤200，8004+-x ≥0，∴0≤x ≤80， ∴甲种粽子最多加购80个。

25.（本题10分）
【解答过程】解：（1）∵点A （m ，-3）在直线x y 2
3
=
上，
∴
32
3
-=m ，2-=m ， 将A （-2，-3）代入双曲线，求得6=k ， ∴所求反比例函数为x
y 6=
； 点A （-2，-3）关于原点的对称点为B （2，3）；
（2）分别作点B 和点C 到x 轴的垂线段BM ，CN ，则△CDN ∽△BDM ，
∵BC=2CD ，∴CD=
31BD ，则CN=3
1
BM ， 而B （2，3），∴BM=3，∴CN=1，即点C 的纵坐标为1， ∵点C 在双曲线x
y 6
=
上，且纵坐标为1，∴点C 横坐标为6，C （6，1）； 作点C 关于y 轴的对称点C 1，则C 1（-6，1），
连结C 1G ，则有C 1G=CG ，当点G 在直线C 1B 上时，C 1G+GB 最短，也就是GC+GB 最短；
分别作点C 1到BM 的垂线段CH ，则H （2，1），C 1H=8，BH=2， 在Rt △C 1BH 中，C 1H=8，BH=2，∴C 1B=172， ∴GB+GC 的最小值为172；
（3）如图2，设四边形ABPQ 是矩形，因为点B 在第一象限，且BP ⊥AB ，所以点P
只能在x 轴正半轴或y 轴正半轴上，
当点P 在x 轴正半轴上时，如图，△OBM ∽△OPB ， 则OB 2
=OM ·OP ，
∵B （2，3），∴OM=2，BM=3，
OB 2=OM 2+BM 2
=13，∴OP=2132=OM OB ， ∴P 1（213，0）； 同样的，当点P 在y 轴正半轴上时，可求得其坐标为（0，
313）， ∴，所求点P 为P 1（
213，0），P 2（0，313） 。

26.（本题12分）
【解答过程】（1）将线段AF 沿线段FE 方向平移到A 1E ，如图1，
等腰直角三角形A 1BE 中，BE=2A 1E ， ∴BE=2AF ；
（2）如图2，在等腰直角三角形ABC 和FEC 中，
BC=2AC ，EC=2FC ，∴
FC EC AC BC =， ∵∠ACB=45°=∠FCE ，
∴∠1=∠ACB-∠ACF=∠FCE-∠ACF=∠2，
①在△BCE 和△ACF 中，∵
FC EC AC BC =，∠1=∠2，∴△BCE ∽△ACF ，
∴2==AC
BC AF BE ，∴BE=2AF ； ②当B ，E ，F 共线时，四边形AECF 是平行四边形。

如图3，取BC 中点G ，连结EG ，则DG=
21DC ， ∵BD=3
1BC ，∴BD=DG ， △BGE 中，DE 是BG 边上的中线，且DE=BD=DG ，∴
∠BEG=90°，
∵EG ⊥BF ，FC ⊥BF ，EG ∥FC ，∴2==GC
BG EF BE ，∴BE=2EF=2FC ， 由①：BE=2AF ，∴AF =2FC ；
直角等腰三角形EFC 中，EC=2FC ，∴AF=EC ③；
∵△BCE ∽△ACF ，∴∠3=∠4，而∠1=∠2，∴∠4+∠2=∠3+∠1=∠5=45°， 而∠ACE+∠2=∠FCE=45°， ∴∠FCE=∠4，∴AF ∥EC ，
∵AF ∥EC ，且AF=EC ③，∴四边形AECF 是平行四边形。

27.（本题12分）
【解答过程】（1）因为抛物线与x 轴交于点A （-1，0）和B （3，0），
所以函数32++=bx ax y 可改写为)3)(1(-+=x x a y ，则33=-a ，1-=a ， ∴所求函数为322++-=x x y ，或者4)1(2+--=x y ，∴C （1，4）；
（2）作CH ⊥x 轴，点H 为垂足，则H （1，0），原点O 恰为AH 的中点， 如图1，
则AC 与y 轴的交点G 也恰好为AC 的中点，则G （0，2）；
连结DG ， △DAC 中，∵DC=DA ，G 是AC 中点，
∴DG ⊥AG ，∴在Rt △ADG 中，GO 2=AO ·DO ，
而AO=1，GO=2，∴DO=4，则D （4，0）；
求得过C （1，4），D （4，0）两点的直线为31634+-=x y ， 解方程组⎪⎩
⎪⎨⎧+-=++-=31634322x y x x y ，得点P 坐标为P （37，920）； （3）过点P 作x 轴的平行线，交AC 于点E 0，过E 0作CD 的平行线交x 轴于点F 0，
则△AE 0F 0∽△ACD ，如图3，
作E 0到x 轴的垂线段E 0M ，∵E 0P ∥x 轴，且点P （37，920），∴E 0M=9
20， ∵△AE 0F 0∽△ACD ，∴CH M E AD AF 00=，而AD=5，E 0M=9
20，CH=4， ∴AF 0=925，则OF 0=AF 0-AO=1925-=916， ∴F 0（9
16，0）；
我们假设是E 从点A 的位置沿AC 开始向上攀爬，
当E 在点A 位置时，F 与A 重合，此时点F 的位置是（-1，0）；
当点E 在AC 上，并且非常靠近点A 的位置的时候，点F 在线段AF 0上非常靠近
点A 的位置，也就是说：在F （m ，0）中，有1->m ；
当点E 继续往上攀爬，在还没有到达E 0位置时，点F 始终在点A 和点F 0之间， 直到点E 到达E 0时，F 也到达F 0位置，此时，9
16=m ，如图4； 如图5，当点E 越过E 0位置继续向上时，点F 又返回到点F 0左侧，
直到点E 从点C 的下方非常靠近点C 的时候，点F 也从点A 的右侧靠近A ， 也就是此时还是有9
161<<-m ； 当点E 到达C 的位置时，点F 又与点A 重合，此时，点F 的位置是（-1，0）； 因为点E 不在线段AC 两端点的位置，所以m 的取值范围是m <-1≤916。