普通高等学校招生国统一考试数学理试题福建卷,解析 试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕 本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷第3
至6页。

第二卷第21题为选考题，其他题为必考题。

满分是150分。

考前须知：
1. 在答题之前，所有考生必须在试题卷、答题卡规定的地方填写上自己的准考证
号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名〞与考
生本人准考证号，姓名是否一致。

2. 第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标
号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第二卷用0.5毫
米黑色签字笔在答题卡上书写答题，在试题卷上答题，答案无效。

3. 在考试完毕之后，考生必须将试题卷和答题卡一起交回。

参考公式：
样本数据x 1,x 2,…，x a 的HY 差 锥体体积公式
22212--...-n s x x x x x x ⎤=++⎦）（）（） 13
V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的外表积，体积公式 V=Sh 2344,3
S R V R ππ== 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第一卷〔选择题 一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1． i 虚数单位，假设集合S=}{1.0.1
-，那么 A.i S ∈ B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i
∈
∈R ，那么a=2是〔a-1〕〔a-2〕=0的
A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件
【答案】A
【解析】：a=2⇒〔a-1〕〔a-2〕=0 充分 反之〔a-1〕〔a-2〕=0 ⇒a=2不必要，应选A α=3，那么2sin 2cos a
α的值等于 A.2 B.3 C 【答案】D
【解析】：22sin 22sin cos 2sin 2tan 6cos cos cos a a αααααα
====。

应选D 4.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，假设在矩
形ABCD 内部随机取一个点Q ，那么点Q 取自△ABE 内部
的概率等于
A.
14 B.13 C.12 D.23 【答案】C
【解析】：矩形ABCD 的面积S AB BC =⨯，△ABE 的面积12
ABE S AB BC =⨯⨯，点Q 取自△ABE 内部的概率等于1122
AB BC AB BC ⨯⨯=⨯应选C
5.10⎰〔x e +2x 〕dx 等于 -1 C.e D.e+1
1
，F 2，假设曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，那么曲线r 的离心率等于 A.1322或 B.23或者2 C.12或2 D.2332
或 【答案】A
【解析】：设|PF 1|=4k, |PF 2|=2k, |F 1F 2|=3k,假设圆锥曲线G 为椭圆时，
422,23k k a c k +==即33,2a k c k ==，于是；31232
k c e a k ===，假设圆锥曲线G 为双曲线时，422,23k k a c k -==即3,2a k c k ==，于是3322
k c e a k ===应选A 8.O 是坐标原点，点A 〔-1,1〕假设点M 〔x,y 〕为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，那么
OA OM ⋅的取值范围是
A.[-1.0]
B.[0.1]
C.[0.2]
D.[-1.2]
()f x =x e x +，对于曲线y=()f x 上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是
A.①③
B.①④
C. ②③
D.②④
【答案】B
【解析】：设A,B,C 坐标分别为(,),((,),(,)C A B x x x A A B B C C x e x x e x x e x +++，那么AC 中点为(,)22C A x x A C A C x x e x e x ++++，由横坐标成等差数列得2
A C
B x x x +=，得A
C 中点P (,)2
C A x x B B e e x x ++， 22C C A A x x x x B B e e e e x x +⋅+≥+ 22
A C
B x x x B B e x e x +=+=+，由()x f x e x =+得()1x f x e '=+，那么()0f x '>，()f x 在R 上递增 ，即B
在AC 下方，故①④正确
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分，把答案填在答题卡的相应
位置。

11.运行如下图的程序，输出的结果是_______。

13.何种装有形状、大小完全一样的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。

假设从中随机取出2个球，那么所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。

【答案】35 【解析】：随机取出2球有2510C =，取出的2个球颜色不同有11236C C ⋅=，所取出的2个
球颜色不同的概率63105
p == 14.如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，
那么AD 的长度等于______。

【答案】2
【解析】：过A 作AE BC ⊥于E ，AB=AC ， E 为BC 中点，BC=23所以CE 3=，在Rt AEC 中，2
222231AE AC CE =-=-=，在Rt AED 中，∠ADC=45°，所以22Ad AE ==
15.设V 是全体平面向量构成的集合，假设映射:f V R →满足：对任意向量11(,),a x y V =∈ 22(,),b x y V =∈以及任意λ∈R ，均有((1))()(1)()f a b f a f b λλλλ+-=+-那么称映射f 具有性质P 。

现先给出如下映射：①11:,(),(,)f V R f m x y m x y V →=-=∈
②222:,(),(,)f V R f m x y m x y V →=+=∈③
33:,()1,(,)f V R f m x y m x y V →=++=∈
其中，具有性质P 的映射的序号为________。

〔写出所有具有性质P 的映射的序号〕
三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

16.〔本小题满分是13分〕等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=133。

〔I 〕求数列{a n }的通项公式；〔II 〕假设函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=
处获得最大
值，且最大值为a 3，求函数()f x 的解析式。

【解析】：本小题主要考察等比数列、三角函数等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，满分是13分。

〔I 〕由3133,3q S ==得31(13)13133a -=-，解得113a =，所以121333
n n n a --=⨯= 〔II 〕由〔I 〕可知23n n a -=，所以33a =，因为函数()f x 的最大值为3，所以A =3；
因为当6x π=时()f x 获得最大值，所以sin(2)16π
ϕ⨯+=，又0,ϕπ<<故6π
ϕ=
所以函数()f x 的解析式为()f x =3sin(2)6x π
+。

17.〔本小题满分是13分〕直线l ：y=x+m ，m ∈R 。

〔I 〕假设以点M 〔2,0〕为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；〔II 〕假设直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2
=4y 是否相切？说明理由。

本小题主要考察直线、圆、抛物线等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想，满分是13分。

〔II 〕同解法一。

18.〔本小题满分是13分〕某商场销售某种商品的经历说明，该商品每日的销售量y 〔单位：千克〕与销售价格x 〔单位：元/千克〕满足关系式210(6)3
a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

〔I 〕求a 的值〔II 〕假设该
商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

本小题主要考察函数、导数等根底知识、考察运算求解才能、应用意识、考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分是13分。

【解析】：〔I 〕因为5x =时，11y =，所以
1011,22
a a +== 〔II 〕由〔I 〕可知，该商品每日的销售量2210(6)3y x x =+--， 所以商场每日销售该商品所获得的利润
22210()(3)[(6)]210(3)(6),3
f x x x x x x +=-+=+--- 3 6.x <<从而2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x '=-+--=--
于是，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
由上表可得，4x =是函数()f x 在区间〔3，6〕内的极大值点，也是最大值点，所以当4x = 时，函数()f x 获得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

19.〔本小题满分是13分〕某产品按行业消费HY 分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X ≥5为HYA ，X ≥3为HYB ，甲厂执行HYA 消费该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行HYB 消费该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行HY 〔I 〕甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
P a b
且1X 的数字期望1EX =6，求a ，b 的值；
【解析】：本小题主要考察概率、统计等根底知识，考察数据处理才能、运算求解才能、应用意识、考察函数与方程思想、必然与或者然思想、分类与整合思想，满分是13分。

解：〔I 〕因为16Ex =，所以50.46780.16a b ⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=又由1X 的概率分布列得0.40.11a b +++=，即0.5a b +=由67 3.20.5a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得 3.20.2
a b =⎧⎨=⎩ 〔II 〕由得，样本的频率分布表如下： 2x 3
4 5 6 7 8 f
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下：
2x 3
4 5 6 7 8 P
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以
2222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)EX P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=
28(8)P X +==3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8。

〔Ⅲ〕乙厂的产品更具可购置性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66=1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84
=1.2据此，乙厂的产品更其可购置性。

20.〔本小题满分是14分〕如图，四棱锥P-ABCD 中，
PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA . 〔I 〕求证：平面PAB ⊥平面PAD ；〔II 〕设AB=AP.〔i 〕假设直
线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长； 〔ii 〕在
线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的间
隔 都相等？说明理由。

【解析】：本小题主要考察直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等根底知识，考察空间想象才能、推理论证才能、抽象概括才能、运算求解才能，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分是14分。

法一：〔Ⅰ〕因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PA AD A =所以AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD 。

〔II 〕以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -〔如图〕在平面ABCD 内，作//CE AB AD 交于点E ，
那么CE AD ⊥，在0
1Rt CDE ∆⋅=中,DE=CD cos45 0sin 451CE CD =⋅=，设AB =AP =t ，
那么(,0,0),(0,0,)B t P t ，由AB +AD =4得AD =4-t ，
所以(0,3,,0),(1,3,),(0,4,0),E t C t D t ---
(1,1,0),(0,4,)CD PD t t =-=--
〔i 〕设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，由,,n CD n PD ⊥⊥得0(4)0x y t y tz -+=⎧⎨--=⎩
获得,x t =平面PCD 的一个法向量(,,4)n t t t =-，又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为030得0cos 60m PB n PB ⋅=⋅即
222222412(4)2t t
t t t t -=++-⋅，解得45
t =或者4t =〔舍去，因为40AD t =->〕，所以45
AB = 〔ii 〕假设在线段AD 上存在一个点C ，使得点C
到点,,,P B C D 的间隔 都相等。

由0,45CC CD GCD GDC =∠=∠，从而090CGD ∠=，即CG AD ⊥，
所以0cos 451GD CD =⋅=设AB λ=，那么4,AD λ=-3.AC AD GD λ=-=- 在Rt ABG ∆中，22GB AB AC =+22239(3)2()122
λλλ=+-=-+>， 这与GB GD =矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到,,,P B C D 的间隔 都相等。

法二：
〔Ⅰ〕同解法一
〔II 〕〔i 〕以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz
-〔如图〕在平面ABCD 内，作//CE AB AD 交于点E ，
那么CE AD ⊥，在Rt CDE ∆中，0
cos 451DE CD =⋅= 0sin 451CE CD =⋅=，设AB =AP =t ，
那么(,0,0),(0,0,)B t P t ，由AB +AD =4得AD =4-t ，
所以(0,3,,0),(1,3,),(0,4,0),E t C t D t ---(1,1,0),(0,4,)CD PD t t =-=--
〔ii 〕假设在线段AD 上存在一个点C ，使得点C 到点,,,P B C D 的间隔 都相等。

由0,45CC CD GCD GDC =∠=∠，
从而0
90CGD ∠=，即CG AD ⊥，
所以0cos 451GD CD =⋅=
设AB λ=，那么4,AD λ=- 3.AC AD GD λ=-=-在Rt ABG ∆中，22GB AB AC =+22(3)λλ=+-
2392()122
λ=-+>，这与GB GD =矛盾，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到,,,P B C D 的间隔 都相等。

21. 此题设有〔1〕、〔2〕、〔3〕三个选考题，每一小题7分，请考生任选2题做答，满分是14分，假如多做，那么按所做的前两题计分，做答时，先需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

〔1〕〔本小题满分是7分〕选修4-2：矩阵与变换
设矩阵 00a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
〔其中a ＞0，b ＞0〕.〔I 〕假设a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；
〔II 〕假设曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’：1y 4
x 22=+，求a ，
b 的值.
【解析】：本小题主要考察矩阵与变换等根底知识，考察运算求解才能，考察化归与转化思想，满分是7分。

〔Ⅰ〕设矩阵M 的逆矩阵1M -=1
122x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么1MM -=1001⎛⎫ ⎪⎝⎭
又M =2003⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2003⎛⎫ ⎪⎝⎭1122x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1001⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以112221,20,30,31x y x y ====，即112211,0,0,23x y x y =
===， 故所求的逆矩阵1M -=102103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
〔Ⅰ〕把极坐标系下的点(4,)2P π
化为直角坐标，得(0,4)P ，因为点P 的直角坐标〔0，4〕
满足直线l 的方程40x y -+=，所以点P 在直线l 上。

〔II 〕因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos ,sin )αα，从而点Q 到直线l 的间隔 为2cos()43cos sin 462cos()22,622d π
αααπα++-+===++ 由此得，当cos()6π
α+=-1时，d 获得最小值，且最小值为2
〔3〕〔本小题满分是7分〕选修4-5：不等式选讲
设不等式11-x 2＜的解集为M.〔I 〕求集合M ；
〔II 〕假设a ，b ∈M ，试比拟ab+1与a+b 的大小.
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不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。