选修2-2导数习题 绝对经典 (2)

导数概念与运算
一、基本知识
1．概念：（1）定义：
（2）导数的几何意义：
（3）求函数在一点处导数的方法：
（4）导函数：
2．基本函数的导数：_____'=C （C 为常数）______)'(=n x ，
+∈N n ______)'(sin =x _____)'(cos =x ______)'(=x e _____)'(=x a ______)'(ln =x ____)'(log =x a
3．运算法则：[]_______')()(=±x v x u []_____')()(=x v x u _______')()(=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡x v x u 4．复合函数的导数：
二、典型例题
例1．若函数f (x )在x =a 处的导数为A ,则x x a f a f x ∆∆+-→∆)()(lim 0=，=+-+→∆t
t a f t a f x )5()4(lim 0 例2．求下列导函数
①x x y cos 2
=②11-+=x x e e y ③x y 2sin 3=④)1ln(2x x y ++= ⑤x x y 2sin 10⋅=⑥3221sin ln x x y -+=
例4．求函数452++=x x y （1）在)4,0(处的切线；（2）斜率为3的切线；（3）过)
3,0(处的切线
三、课堂练习
1．（2007全国II,8）已知曲线x x y ln 342
-=的一条切线的斜率为2
1，则切点的横坐标为
（）
A ．3
B .2 C.1D.0.5
2．求导数（1）3223111x x x x x x y +++++=（2）x y 1=+x +3（3）
)1)(13()2)(32(x x x x y -+++-= 31)1(')(23+--+=x x f x x f 则._____)1(____,)1('f f =-4．求过原点且与曲线5
9++=x x y 相切的切线
方程.
四、规范训练
1曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为——————
3．函数33x x y -=，求过点P （2，-2）的切线方程.
4．（’07江西11）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5
x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15
- Ｂ．0 Ｃ．1
5
Ｄ．5 5．（’06福建11）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
6．（’07全国Ⅱ8）已知曲线23ln 4
x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12
7．（’06湖南13）曲线x y 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______
8．（’04重庆文15）已知曲线314
33
y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是______________
9．（’07全国Ⅱ22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 导数的应用（单调性、极值、最值）
一、基本知识
1．利用导数判断函数的单调性的充分条件在此区间是减函数则内，如果在在此区间是增函数；则内，如果在内可导
在区间设函数)x (f ,0)x ('f )b ,a ()x (f ,0)x ('f )b ,a ()b ,a ()x (f y <>=
（求单调区间的步骤：求定义域，求导数，解不等式）
2.利用导数研究函数的极值：
.x ),x (f y x )x (f ),x (f )x (f )x (f x ),x (f y x )x (f ),x (f )x (f ,x x ,x )x (f y 0000000000称作极小值点并把处取极小值，记作在点则称函数极大值点；如果都有的一个
称为函数并把处取极大值，记作在点则称函数如果都有
的开区间内的所有点对于存在一个包含及其定义域内一点已知函数极小值极大值=>=<=（极值是局部概念，最值是整体概念；极大值可以小于极小值）（求极值的步骤：求
导、解方程、判断、结论）
3．利用导数研究函数的最值：（闭区间上的连续函数一定有最大和最小值）
①函数f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是函数f (x )在区间[a ,b ]上的极大值与f (a ),f (b )
中的最大者；
②函数f (x )在区间[a ,b ]上的最小值是函数f (x )在区间[a ,b ]上的极小值与f (a ),f (b )
中的最小者；
（求最值的步骤：先求极值再与端点值比较）
二、典型例题
例1（1）求函数53323-+-=x x x y 的单调区间、极值.
（2）求函数5933+-=x x y 在]2,2[-∈x 上的最大值与最小值
例2．设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=(Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值
时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.
例3已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）
求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的
取值范围.
例4．函数323
24)(x ax x x f -+=在区间[]1,1-上增，求实数a 的取值范围. 例5．设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠．证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；
当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值．
三、课堂练习
1．在（a ，b ）内，f ‘（x ）>0是f （x ）在（),b a 内单调增加的（）
A ．充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
2．可导函数)(x f y =，f ‘（x 0）=0是函数)(x f y =在x 0处取得极值的（）
A ．充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
3．关于函数)(x f y =在区间],[b a 上的极值与最值，下列说法正确的是（）
A ．极大值一定大于极小
B .最大值一定是极大值
C ．极小值一定不是最大值
D .最小值
一定小于极小值
4已知c bx ax x x f +++=23)(，当1-=x 时取的极大值7，当3=x 时取得极小值，求极小
值以及对应的a ,b ,c
5．函数d cx bx ax y +++=23的图象与y 轴的交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为
12x -y-4=0，若函数在x =2处取得极值0，试确定函数的解析式.
6．已知函数c bx x x x f ++-=232
1)(，若函数)(x f 的图象有与x 轴平行的切线.(1)求b
的取值范围；
（2）若函数)(x f 在x =1处取得极值，且]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围
四．规范训练：
定积分与微积分基本定理
一、基本知识
1．一般函数定积分的定义：（被积函数，积分上限，积分下限）
2.定积分的几何意义：
3．定积分的物理意义：
4．微积分基本定理：
5．定积分的性质：（1）⎰⎰=b a b a dx x f c dx x cf )()(（c 为常数）
（2）)(),(x g x f 可积，则[]⎰⎰⎰+=+b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(（3）⎰⎰⎰+=b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(
6．常见函数的原函数：
①常数函数：c x f =)(的原函数为')(c cx x F +=（'c 为任意常数）； ②幂函数：)1( )(-≠=n x x f n 的原函数为'1)(1c n x x F n ++=+（'c 为任意常数）； ③反比例函数：x
x f 1)(=的原函数为'||ln )(c x x F +=（'c 为任意常数）；
④指数函数：)1,0()(≠>=a a a x f x 的原函数为'ln )(c a a x F x
+=（'c 为任意常数）； ⑤正弦函数：x x f sin )(=的原函数为'cos )(c x x F +-=（'c 为任意常数）； ⑥余弦函数：x x f cos )(=的原函数为'sin )(c x x F +=（'c 为任意常数）； ⑦对数函数：x x f ln )(=的原函数为'ln )(c x x x x F +-=（'c 为任意常数）；
二、典型例题
例1．求下列定积分
（1）=+-⎰-dx x x )123(312（2）⎰=20cos πxdx
（3）=⎰dx x
211 例2．求面积
（1） 曲线x y sin =与x 轴在区间[]π2,0上所围成阴影部分的面积。

（2） 抛物线2x y =与直线4=y 所围成的图形的面积。

(3)计算由2x y =和2y x =所围
成的图形的面积。

例3．计算=-⎰-dx x x 2
22例4．求曲线2,2=+=y x y x 所围成的面积。

例5．过坐标原点作曲线x y ln =的切线l ，该切线l 与曲线x y ln =及x 轴围成图形为
D 。

（1）求切线l 的方程。

（2）求区域D 的面积S 。

三、课堂练习
1．用S 表示图中阴影部分的面积，则=S （） 2．⎰--=3 2 ) (1dx x .A 2131-.B 2ln 3ln -.C 3ln 2ln -.D 不存在
3．求下列积分值：
①⎰-1 1 dx ；②⎰-1 1 xdx ；③⎰-1 1 ||dx x ；④⎰-6 2 2)1(dx x ；⑤⎰+2 1 )12(dx x
x
4．计算1,22==x x y 所围成的图形的面积 四、规范训练
1．若⎰=a dx x 0 34，则_________;=a 若⎰<<-=3 )2
2(21sin πππa a xdx ，则.___=a 2．求下列积分值：⎰π 0 sin xdx ⎰+2 0 |1|dx x ⎰-+2
1 ||dx x
3．在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为
121，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程. 4．已知⎰++=x dt c bt t x f 0 2)23()((R x ∈)且)(' )()(x f x f x g -=是奇函数.(1)求c b ,的值；
（2）求)(x g 的单调区间与极值.。