普陀高三数学-标准答案及解答参考201101B

高三调研数学试卷参考答案及评分标准
一、填空题（每小题4分，满分56分）：
1. 4-；
2. 4；
3. (],1-∞；
4. （文，理）40；
5. 23
p
；
6. 2
-；
7. d =
()0,r R ∈；
8. 4； 9.
1
10.表示一次采购共需花费的金额; 15300；
12. ()cos cos cos sin sin 222πππαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
； 13. 理：(]
[),45,-∞-+∞；文：2； 14. 理：①②③④；文：①②③.
二、选择题（每题4分，满分16分）： 题号 15 16
17 18 答案 B C
B
D
三、解答题：
19.（本题满分10分）
（理科）解：由结论：“当1q <时，lim 0n
n q →∞
=”且根据本题条件0a b >>，故本题需根据变量a 和常数1的大小比较进行分类讨论：
（1）当10a b >>>时，11
lim 22
n n n n n a b a b →∞++=++； （2）当10a b =>>时，122
lim lim 233
n n n n n n n n a b b a b b →∞→∞+++==+++； （3）当10a b >>>或10a b >≥>时，有111lim lim 1221n
n n n
n n n n n n
b a b a a a b b a a
→∞→∞
⎛⎫++ ⎪++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故集合{
}
lim n n M m m a →∞
==含有以上三个元素，用列举法表示集合12,1,23M ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
.
…3
...6 (9)
(10)
（文科）解：如图，延长DA 至E ，CB 至F ，使得DA=AE ，CB=BF. 联结AF ，PF ，EF ，DF. 因为ABCD 是正方形，所以AD//BF ，且AD=BF ，所以AF//BD. 故PAF ∠（或其补角）
的大小即为异面直线PA 与BD 所成角的大小.
又正方形边长为2，PD=1，
故PA =
AF =
DF ==
所以，PF ==
…3
…7 A
B C
D P E
F
于是，
222
cos
2
PA AF PF
PAF
PA AF
+-
∠===
⋅
，
所以异面直线PA与BD
所成角的大小为.
…9
(10)
20.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）
解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能50%，故一台节能型冰箱一天（24
小时）消耗的0.81度电相当于比普通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个
月中比普通冰箱要少消耗电：0.813024.3
⨯=（度）；
设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放x千克的二氧化碳，则
78.5
24.3100
x
=⇒
24.378.5
19.075519.1
100
x
⨯
==≈（千克）.
故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约19.1千克的二氧化碳.
（2）设n个月后(*
N
n∈)，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大树
在60年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有
(1)
19.07551501501000
2
n n+
⋅⋅>⋅
()1104.8
n n
⇒+>，因为*N
n∈，故可解得10
n≥.
所以，至少经过10个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过150棵大
树在60年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.
…3
…6
(10)
…14 21. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）
解：（1）因为cos2cos cos2sin
22
B C A
A A
+
⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
2
2
13
12sin2sin2sin
22222
A A A
⎛⎫
=-+=--+
⎪
⎝⎭
故当
1
sin
22
A
=时，原式取到最大值，即三角形的内角
3
A
π
θ
∠==时，最大值为
3
2
.
（2）由（1）结论可得
3
A
π
∠=，此时
2221
cos
22
b c a
A
bc
+-
==221
b c bc
⇒+-=.
又222
b c bc
+≥，因此22
11
b c bc bc bc
=+-≥⇔≤，当且仅当b c
=时等号成立.
所以
11
sin1
2224
ABC
S bc A
∆
=≤⨯⨯=.故ABC
△面积的最大为
4
3
.
…2
…5
…7
…9
(12)
(14)
22.（本题满分16分，理科：第1小题9分，第2小题7分；文科：第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）
（理科）解：（1）设BC 的中点为D ，连结AD 、DM ，则有
11 ABC AD BC D BC BB ABC AD BB ⎫∆⎫
⇒⊥⎬⎪
⎬⎭
⎪
⊥⇒⊥⎭
为正三角形为中点平面11AD BB CC ⇒⊥平面 于是，可知AMD ∠即为AM 与侧面BCC 1所成角θ.
因为，点M 到平面ABC 的距离为BM ，不妨设BM x =，()0,x h ∈. 在Rt△ADM 中，tan AD
AMD MD
∠=.
由AD =
,DM ==,
故tan AD MD θ==
. 而当,64ππθ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，tan ,13θ⎤∈⎥⎣⎦
，
即
13≤≤
2
21
314922
x x ⇔≤+≤⇔≤≤，
所以，点M 到平面ABC 的距离BM
的取值范围是
⎣.
（2）解法一：当6
πθ=时，由（1
）可知BM =
故可得3
2
DM =
,AM == 设向量AM 与BC 的夹角为α，因为
()AM BC AB BM BC AB BC BM BC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 111cos12002
=⨯⨯+=-
.
所以1
cos ||||3AM BC AM BC α-
⋅===，
...3 (6)
…9
...11 ...13 (15)
D A
B
C A 1
B 1
C 1
M
故向量AM 与BC
夹角的大小为π-.
解法二：如图，以11AC 中点O 为原点，1OB 所在的直
线为x 轴，1OC 所在的直线为y 轴，OE 所在直线为z
轴（其中点E 为AC 中点），建立空间直角坐标系.
由（1）可知，当6
π
α=
时，BM =
所以有，,0,2M
h -（，1
0,,2
A h -（），
B h ）,10,,2
C h ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即31,2AM =
（，1,02BC =-（）.
设向量AM 与BC 夹角为θ
，则cos =AM BC AM BC θ⋅=
-
故向量AM 与BC 夹角的大小为π-. 解法三：如图，过点M 作MN //BC ，交1CC 于N . 联结AN .因为是正三棱柱，故可得AM AN =.
当6
πθ=
时，由（1
）可知BM
=故可得AM =
=在等腰三角形AMN 中，不难求得 cos AMN ∠
=AM 与BC 所成角为
而图中不难发现，AM 与BC 夹角的大小为异面直线AM 与BC 所成角的补角，
即AM 与BC 夹角的大小为π-.
...16 (10)
(13)
(16)
(11)
(14)
(16)
A N
A
B
C A 1
B 1
C 1
M
23. （本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分） 解：（1）证：设等差数列{}n x 的公差为d ,
因为()()()111n n n n n n y y kx b kx b k x x kd +++-=+-+=-=， 所以1n n y y +-为定值，即数列
{}n y 也成等差数列.
（2）证：因为点P 、1A 和2A 都是直线l 上一点，故有12A P PA λ=(1λ≠-)
于是，()
111212OP OA A P OA PA OA OA OP λλ=+=+=+-
()121OP OA OA λλ⇔+=+
...4 (6)
（文科）解:（1） )(x f 为偶函数，∴)()(x f x f =-对R x ∈恒成立，
即m x a m x a --=-对R x ∈恒成立，又0≠a ，
于是得04=mx 对R x ∈恒成立，0=∴m .
（2） 由（1）得 2
()1f x x a x =++⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=)0(1)0(12
2
x ax x x ax x 可知，当0>a 时，单调递增区间为[)∞+,0，单调递减区间为 (]0,∞-；
当0<a 时，单调递增区间为⎪⎭⎫⎢⎣⎡0,2a 和⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+-,2a ， 单调递减区间为⎥⎦⎤ ⎝⎛
∞-2,a 和⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-2,0a . （3）解法一：由偶函数的性质得：函数)(x f 在区间()3,2上也必定有零点，即方程
012=++ax x 在区间()3,2上有实数解，则)3,2(,1∈+=-x x
x a ，
设1()g x x x
=+，可知函数)(x g 在区间)3,2(上单调递增，
则510(),23g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，105,3
2a ⎛⎫
∴∈-- ⎪⎝⎭.
解法二：若函数)(x f 在区间)2,3(--上存在零点，则必有()()320f f -⋅-<
即()()103520a a +⋅+<105,3
2a ⎛⎫
⇒∈-- ⎪⎝
⎭
.
…3
…6
…9
(12)
(14)
(16)
(13)
(16)
12111OP OA OA λλλ
⇔=
+++ 令111a λ=+，21a λ
λ
=+，则有121a a +=.
（3）（文科）假设存在点(),P x y 满足要求1122n n OP a OA a OA a OA =+++,
则有112233n n x a x a x a x a x =+++
+，
又当1i j n +=+时，恒有i j a a =，则又有
1-122-11n n n n x a x a x a x a x =++++，
所以()()()()1122-133-312n n n n n x a x x a x x a x x a x x =++++++++
又因为数列
{}n x 成等差数列，
于是12-13-31n n n n x x x x x x x x +=+=+==+，
所以，()()123112n n n x a a a a x x x x =+++++=+
故12n x x x +=
，同理12n y y y +=，且点11,22n n x x y y P ++⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线上（是1A 、n A 的中点），即存在点11,2
2n n x x y y P ++⎛⎫
⎪⎝⎭满足要求.
...9 (10)
(12)
(15)
(18)
(20)
（3）（理科）
提出命题：（在本题大前提下）若点P 满足1122n n OP a OA a OA a OA =+++，则系数数列的和121n a a a ++
+=是点P 在直线l 上的充要条件.
证明：设00(,)OP x y =，由条件1122n n OP a OA a OA a OA =+++，
先证充分性：“当121n a a a ++
+=时，点P 在直线l 上”.
因为1122n n OP a OA a OA a OA =+++，
故0112201122,n n n n
x a x a x a x y a y a y a y =++
+⎧⎨
=++
+⎩
而i i y kx b =+（1,2,
,i n =），所以
()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++++
()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++
()012n kx a a a b =++++
当121n a a a ++
+=时，即有00y kx b =+，即点P 在直线l 上.
再证必要性：“若点P 在直线l 上，则121n a a a ++
+=.”
因为1122n n OP a OA a OA a OA =+++，
故0112201122,n n n n
x a x a x a x y a y a y a y =++
+⎧⎨
=++
+⎩
而因为i i y kx b =+（1,2,
,i n =）
，所以 ()()()01122n n y a kx b a kx b a kx b =++++
++
()()112212n n n k a x a x a x a a a b =+++++++
()012n kx a a a b =+++
+
又因为点P 在直线l 上，所以满足00y kx b =+，故121n a a a +++=.
补充：由以上证明进一步可知，对于直线l 上任一点P ，若满足
1122n n OP a OA a OA a OA =++
+，则都有121n a a a +++=.
【评分建议】
1. 若能提出一个由题中三条线索出发的相关猜想或命题，但没有任何研究过程，则无论对错都给2分；
2. 若能提出上述的充要条件命题，且证明过程准确、完备，则最高得10分；（不说明“补充”的内容不扣分）
3. 若能提出一个满足充分性或满足必要性的相关命题（或猜想），且证明过程正确，则最高得7分；
4. 若能根据三条线索，提出其他条件约束更多的相关命题（或猜想），且有正确的研究过程，则最高得5分.
5. 若还有其他答题情况，则根据具体内容酌情给出评分参考.。