湖北省四校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

，
1
hx
0,
'
所以
在
h' x
0x
上递增，令
解得
3
6
1
6
.
3
1
1
所以 h x 在 0,6
上递增，在
6,
3
上递减，
3
3
1
1
1
3
3
3 11
1
所以 h x 的最小值为 h6
26
也即 MN 的最小值为
1
.
1 ln 6 3
ln 6
ln 6
33
3
.
1 ln 6
Earlybird
晨鸟教育
1
故答案为：
1 ln 6 3
晨鸟教育
2019—2020 学年下学期高二期中考试数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题
1.将 3 名防控新冠疫情志愿者全部分配给 2 个不同的社区服务，不同的分配方案有（ ）
A. 12 种
B. 9 种
C. 8 种
D. 6 种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分步计数原理求得不同的分配方案总数.
【详解】每名防控新冠疫情志愿者都有两种不同的分配方法，根据分步计数原理可知，不同
90
5.数列 a 为等差数列， 是其前 项的和，若 S
S
n
n
n
9
，则 sin a （ ）
5
3
3 A.
1
B.
1 C.
2
2
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质求得 a5 ，由此求得 sin a5 .
aa
90
【详解】由于数列
为等差数列，所以
a
n
S
1 9 9 9a
9
5
2
3
10
3
3 D. 2
10
.
a
n
k
n
即
恒成立，即
对任意的
3
4n
4n
1
N*
恒成立.
63 x
x
'
6ln 4 3ln 4 6
构造函数
，则
，
fx
x1
fx
4x
4x
Earlybird
晨鸟教育
1
令 ( ) 解得
.
f x=
'
0
1 log e
而 4 2
log
x
e
0
4
2
1
1
log 2 1
，
4
2
2
所以 1 x0 2 .
1 log e
4
2
3 log 4
ln x
MN
MN
长度的最小值为______．
1
【答案】
1 ln 6 3
【解析】 【分析】
构造函数 h x
fx
gx
x 0 ，利用导数求得h x 的最小值，进而求得线段MN 长
度的最小值.
hx
【详解】构造函数 ，
f x g x 2x3 ln x x 0
1
1
则'
2
'
x
x
h x 6x
, h x 12x
0
2
0
a ax a x
0
1
2 2
ax ，
8 8
1a a a
令x 1得
①，
0
1
2
aa
7
8
令x
②，
1a a a 1得
0
1
2
aa
7
8
2a a a a a 2
①+②得
，
0
2
4
6
8
即 1 a2 a4 a6 a8 1 ，
故 a2 a4 a6 a8 0 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数有关计算，属于基础题.
3
24
35
79
1
1 1 1 1 3 17 1 91 91 .
1
2
289
2 2 72
2 72 144
故选：B 【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
11.已知数列 a
q 是等比数列且公比为 ，则“
n
1 1
1 0 ”是“数列 a
为递增数列”
n
a
q
1
的（ ）
A. 充分不必要条件
A. 24
B. 80
C. 120
D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】
利用捆绑法求得不同的停放方法种数.
【详解】将 3 个连续的空车位捆绑看成一个整体，故所有不同的停放方法数有 5 120 种. A5
故选：C 【点睛】本小题主要考查利用捆绑法计算简单的排列问题，属于基础题.
Earlybird
晨鸟教育
sin x
【详解】对于 A 选项，
x cos x sin x
x
x
2
，故 A 选项错误.
1
ln
对于 B 选项，
ln x
ln 1
，所以
x x
ln x
1
，故 B 选项正确.
x
对于 C 选项， cos
0 ，故 C 选项错误.
3 对于 D 选项， sin x
cos x ，故 D 选项错误.
Earlybird
x
0
3t 4 g x
t
成立，则实数 的取值范围为（ ）
0
1
,
A. B. D.
3 2
3,
1
5
,
,
C.
3
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用赋值法求得 g
g
'1, 0
，然后求得
gx
0
的取值范围，从而求得 的取值范围.
t
'
1
12
x
【详解】由于 g x
g
e
g
x x ，则
，
g' x g' 1 ex 1 g 0 x
，
4
2
所以 f
x在
1, x
0
上递增，在
x0 ,
上递减.
6n 3
3
9
a
aa
a
,a
令
，
，
.
n
n
4
1
2
4 16
1
2
aa
3
3
k所
以
，故
.
n
1
4
4
3
k
故答案为：
4
【点睛】本小题主要考查等比数列前 n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的
单调性和最值的判断，属于难题. 三、解答题
17.设
是公差不为 0 的等差数列，其前 n 项和为 ，若
的分配方案总数为 23 8 种.
故选：C 【点睛】本小题主要考查分步计数原理，属于基础题. 2.下列对函数求导运算正确的是（ ）
sin x
A.
x
x cos x sin x x
2
C. cos
sin
1 B. 1
ln
x x
sin x cos x
D.
3
3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
余 1 且被 4 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
A. 168 项
B. 169 项
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意判断出数列 a
是等差数列，由此判断出数列
n
，则此数列共有（
a n
C. 170 项
的项数.
an
） D. 171 项
【详解】数列
是首项为 a
a
n
， 公 差 为 12 的 等 差 数 列 ， 由 11
a 1
n
n
n
1 12 12 11 2030
，解得
2041
n
n
，则 的最大值为
12
a
170
.所以数列 n
的项数为 170 项.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.
10.已知数列
11 1 a
满足
8
n
n n2
aaa
n2
n1
n1
1
a1
，且
*
nN a
n
1
1a
，
，若
S
n
n
项．
且 为与
S
4
的等比中
1
13
（1）求数列
4.函数 f x
x sin x 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
【答案】B 【解析】
D.
Earlybird
晨鸟教育
【分析】
根据函数 f
x 的单调性判断出正确选项.
【详解】函数 f
x 的定义域为R ， ' fx
1 cos 0 ，所以
在 上递减.
x
fx R
故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的单调性，考查函数图像的识别，属于基础题.
5
3
所以
sin a sin
sin 3
5
3
3
.
sin
32
故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查诱导公式，属于基础题.
6.若函数 f x
a cos x 与 gx
x2 bx 3
图象在交点
0,m
处有公切线，则
abm
（） A. 6 【答案】A 【解析】
B. 4
C. 3
D. 2
【分析】
利用切点坐标和斜率列方程，化简后求得 a, b, m 的值，进而求得 a b m .
10
”.
q1
1
1
1
所以
a
q
1
0 a
数列 为递增数列.
n
1
1
1
所以“
a
q
1
0 a
”是“数列
为递增数列”的充要条件.
n
Earlybird
晨鸟教育
故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列的单调性，属于中档题.
1
12.已知函数 g x 满足g x
g
1
x
12
e
g
0
2
x x ，且存在实数 使得不等式
.
'
0x
3
由于函数 f x
3x
a 2 ln x 在 0,
2
a
a2
0
所以
3
，解得
.
故选：D
上不是单调函数，
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
8.某小区有排成一排的 7 个车位，现有 4 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 3 个车
位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ）
A4 A1 A2
以总的方法数有
4 3 2 144 所
.
故答案为：144
【点睛】本小题主要考查实际生活中的简单排列组合问题，属于基础题.
16.已知数列 b
n N .记数列
的前 项和为 ．若对任意的
，不等式
4n
*
n
b
n
T
n
恒成立，则实数 k 的取值范围为______．
n N*n
4
T
k 8n 4
n
3
【答案】 k
3 4
【解析】
【分析】
T
k
先求得 ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得 的取值范围.
n
b
b
4
4n, 4
【详解】由于
n1
n
4 1 4n 4
1
4
，公比为 ，所以
41 4
，
T
n
1
n
14 3
3
3
所以对任意的 n
N * ，不等式 T
n
4
k 8n 4 3
恒成立，
1
4
84
24n 12 6n 3
n1 k
满足
，所以数列
nN *
n
a a aa
n2
n1
n1
n
是等差数列.
a
n
Earlybird
晨鸟教育
1
1
1
11
1
1, 8
=n
由于
，所以数列
的首项为 ，公差为
，所以
.所
aa
a
8
1
1
a
1
a a 81
1
8
1
a
以
.
n
n
b aa
n
1
11 1
n
7
7
则
，
n
nn
2
n n 2 2n n 2Hale Waihona Puke T11 11 11
11
所以 7
1
2
1
0
2
g 1 g0
1 g1
2
g
1 g0
01
所以
g
eg
'1
,
e
，解得
.
g1 g 1 g0 1
g1
g0
g0
e
1
g x ex
x2 x g'
1 0 所以
，
2
所以
gx
'
单调递增，且
g' 0
x
ex x 1, g '
，所以
在
0
gx
x
ex
，
上递减，在
,0
上递增，
0,
所以 g x 在x 0 处取得极小值也即是最小值为 g 0
B. 必要不充分条件
也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
通过等价转化的方法判断出正确选项.
C. 充要条件
D. 既不充分
1
1
1 10
1
0
1
a
【详解】
“若
则
a
q
q
1
“若 a1 0 则 0 q 1”或“若 1 0 则
”.
a
q1
1
10 0
a
1
0
”或“若
则
”
q
数列
a
n
为递增数列
“若
则
a
q
10
”或“若
则
1
a
0
晨鸟教育
故选：B 【点睛】本小题主要考查导数的运算，属于基础题.
3.若 1 x x 4 2
a
0
1
ax ax
2
8
2
8
1
A.
2
【答案】D
1
B. 2
【解析】
【分析】
通过赋值法，求得所求表达式的值.
a x ，则 a a a