山西省忻州市杨胡联合学校2020-2021学年高二数学文上学期期末试题含解析

山西省忻州市杨胡联合学校2020-2021学年高二数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用反证法证明“三个实数中最多只有一个是正数”，下面假设中正确是（）
A．有两个数是正数 B．这三个数都是正数
C．至少有来两个数是负数 D．至少有两个数是正数
参考答案：
D
2. 若等差数列中，为一个确定的常数，其前n项和为，则下面各数中也为确定的常数的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
由
所以为一个确定的常数，从而也为确定的常数。

3. 已知实数a满足，则函数的零点在下列哪个区间内
A.(－2,－1)
B. (－1,0)
C. (0,1)
D. (1,2)
参考答案：
B
【分析】
由3a＝5可得a值，分析函数为增函数，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f （0）的值，由函数零点存在性定理得答案．
【详解】根据题意，实数a满足3a＝5，则a＝log35＞1，
则函数为增函数，
且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0，f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0，
f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0，
由函数零点存在性可知函数f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，
故选：B．
【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，分析函数的单调性是关键．
4. 设定点与抛物线上的点的距离为，到抛物线准线的距离为，则
取最小值时，点的坐标为（）.
A. B.( 1, C. D.
参考答案：
C
略
5. 已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，
则|MA|＋|MF|的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
参考答案：
B
6. 下列命题正确的
是
（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
参考答案：
C
7. 若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）
A．﹣2 B．﹣C．﹣D．1
参考答案：
A
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，
则×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．
故选：A．
8. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）
2 1
参考答案：
A
9. 直线（t为参数）的倾斜角
是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 在平面内，一条抛物线把平面分成两部分，两条抛物线最多把平面分成七个部分，设条抛物线至多把平面分成个部分，则（）
A．B．C．D．参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数为偶函数，则实数a
=
参考答案：
略
12.
在平行六面体中，，，
，则的长为
．
参考答案：
13. 如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，
，的平面截该正方体所得的截面为，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．
①当时，为四边形；②当时，为等腰梯形；
③当时，与的交点满足；
④当时，为五边形；
⑤当时，的面积为．
参考答案：
①②④
①项，时，为，
而时，线段上同理，存在一点，与平行，此时，为四边形，且是梯形，故命题①为真；
②项，，，是等腰梯形，故命题②为真；
③项
当时，如图所示，，
∵点是的中点，∴，
∴，
∴与的交点满足，
故命题③为假．
④项，如图所示，为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，为菱形，面积为，
故命题⑤为假．
综上所述，命题正确的是：①②④．
14. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥平面CB1D1；
③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；
④CB1与BD为异面直线．
参考答案：
①②④
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得①②正确，根据求二面角的大小的方法可得③不正确，根据异面直线定义可得④正确，由此得到答案．
【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，
由于BD∥B1D1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1 ，故①正确；
由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，
故B1D1⊥平面 ACC1A1，故 B1D1⊥AC1．
同理可得 B1C⊥AC1．
再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1 ，故②正确；
AC1与底面ABCD所成角的正切值为=，故③不正确；
CB1与BD既不相交，又不平行，不同在任何一个平面内，
故CB1与BD为异面直线，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．
15. 已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）= ．
参考答案：
﹣4
【考点】导数的运算．
【分析】把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求f′（1）的值，再代入即可求出f′（0）的值．
【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），
得：f′（x）=2x+2f′（1），
取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），
所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，
故答案为：﹣4．
16. 当时，有，则a=__________.
参考答案：
1
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．
【详解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，
∴1﹣a=0，即a＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的分类，是基础题．
17. 已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，
利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．
【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
连结A1B，根据四棱柱的性质
A1B∥CD1
设AB=1，
则：AA1=2AB=2，
∵E为AA1的中点，
∴AE=1，，BE=
在△A1BE中，利用余弦定理求得：=
即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：
故答案为：
【点评】本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，
．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
【解答】证明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a?=b?．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由题意，m?p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2﹣2ab?cos
∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab
∴（ab）2﹣3ab﹣4=0
∴ab=4或ab=﹣1（舍去）
∴S△ABC=absinC
=×4×sin=
19. 四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1．
（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；
（2）点E是线段AB的中点，求二面角E﹣PC﹣D的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值．
（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（，，0），B（0，，0），C（0，0，0），
P（），
=（﹣，0，0），=（﹣），
设异面直线AB、PC所成角为θ，
则cosθ===，
∴异面直线AB、PC所成角的余弦值为．
（2）E（，，0），=（，，0），=（），=（0，），
设平面PCE的法向量=（x，y，z），
则，取x=，得，
设平面PCB的法向量=（a，b，c），
则，取a=，得=（），
设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，
则cosθ===．
θ=arccos．
∴二面角E﹣PC﹣D的大小为arccos．
20. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线上。

（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；
（3）设c n=a n·b n，求数列{c n}的前n项和T n.
参考答案：
解：（1）∵a n是S n与2的等差中项∴S n=2a n-2 ∴a1=S1=2a1-2，
解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4
（2）∵S n=2a n-2，S n-1=2a n-1-2，又S n—S n-1=a n，∴a n=2a n-2a n-1，
又a n≠0，∴，即数列{a n}是等比数列
∵a1=2，∴a n=2n
∵点P(b n，b n+1)在直线x-y+2=0上，∴b n-b n+1+2=0，
∴b n+1-b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n-1，
（3）∵c n=(2n-1)2n ∴T n=a1b1+ a2b2+····a n b n=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，
∴2T n=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
则 -T n=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，
即：-T n=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，
∴T n=(2n-3)2n+1+6 .
略
21. 三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求二面角A－A1B－C的余弦值．
参考答案：
略
22. 方程的两个根可分别作为（）的离心率。

A．椭圆和双曲线 B．两条抛物线 C．椭圆和抛物线 D．两个椭圆参考答案：A
略。