高二数学试题(理科)

2007-2008学年第二学期高中学业质量监测
高二数学(理科)试卷
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式或数据：
1．若2~(,)μσX N ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=
2．=n
2C +0n C +1n C +⋅⋅⋅+2n C n
n ∈n (N )*.
3．若在每次试验中，事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概
率为()(1)k k
n k n P X k C p p -==-，0,1,,k n = ．
4．在事件A 发生（()0P A >）的条件下，事件B 发生的概率为 ()
(/)()
P AB P B A P A =
． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1. 设i 为虚数单位,则复数2
i i +在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 设()sin f x x =，则()f x 的导函数()f x '为 ( )
A. cos x
B. cos x -
C. sin x
D. sin x -
3. 双曲线
22
143
x y -=的渐近线方程是( ) A . x y 43±
= B. x y 34±= C. x y 332±= D. x y 2
3±=
4. 4个学生和一个教师排成一排照相，要求教师站在正中间的排法数为（ ）．
A. 120
B . 96
C. 48
D. 24
5. 已知命题p ：(0,
)2
x π
∀∈，tan x x <，则p ⌝为 （ ）
A ．(0,)2
x π
∃∈，tan x x ≥
B ． (0,
)2
x π
∀∈，tan x x ≥ C ．(0,
)2
x π
∃∈，tan x x >
D ． (0,
)2
x π
∀∈，tan x x >
6. 在某段时间内, 甲地下雨的概率为0.3, 乙地下雨的概率为0.4, 假设在这段时间内两地是否下雨之
间没有影响, 则这段时间内, 甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A. 0.88
B. 0.42
C.0.28
D. 0.12 7. 某射手每次击中目标的概率为0.8，设在20次射击训练中，击中目标的次数为X ，则随机变量
1
22
X +的数学期望1
(
2)2
E X +为 ( ) A .20 B.12 C. 10 D. 8
8.
的双曲线称为“黄金双曲线”．设双曲线:C 22221x y a b -=为“黄金双曲线”， 它
的左焦点、右顶点分别为F 、A ，虚轴的一个端点为B ，则ABF ∠为 （ ） A ．45
B ．60
C ．90
D ．120
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9.
41
()x x
-的展开式中的常数项是 （用数字作答）．
10. 抛物线2
4y x =上一点M 到焦点F 的距离为3，则点M 到它的准线的距离为 ，点M 的横坐标
为 ．
11. 函数()f x x lnx =-的单调递增区间为 ． 12. 在直角坐标平面内，由直线1,0,0x x y ===和抛物线
22y x =-+所围成的平面区域的面积是 ．
13. 如右图,M ,N 分别是四面体ABCD 的棱AB ,CD 的中点,若
向量DA = a ,DB = b ,DC = c ,则向量NM
用基底{}
a,b ,c 可以表示为 ．
14. 某杂志社举行中学生数学应用知识通讯赛，共有10000名学生参赛，其考试成绩（满分为150分）服
从正态分布2
(88,6)N ，则参赛学生成绩的平均分为 ，若100分以上能获一等奖，则获一等奖的学生约有 名．
N
M
D
B
A
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. （本小题满分12分）
设椭圆C 的左、右焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，且经过点A (0,4)． （1） 求椭圆C 的标准方程；
（2） 若点P 是椭圆C 上任意一点，求12PF F ∆的周长．
16. （本小题满分12分）
(1) 计算：sin30sin(30120)sin(30240)++++ ，
sin60sin(60120)sin(60240)++++ ,
(2) 观察以上两式及其结果的特点，请写出一个一般的等式，使得上述两式为它的一个特例，并证明你写的结论.
17. （本小题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD CD =.E 为线段PC 的中点．
(1)求证：直线PA //平面EDB ；
（2）若CD =2，1AD =，求二面角E BD C --的余弦值.
18. （本小题满分14分）
一个盒子中装有3张蓝色卡片和3张红色卡片，其中3张蓝色卡片分别标有数字1, 2, 3，3张红色卡片也分别标有数字1, 2, 3，这些卡片除颜色不同外完全相同，现从盒中抽出2张卡片．
（1）设X 表示抽出的两张卡片所标数字之和，求随机变量X 的数学期望EX ；
（2）在抽出的两张都是蓝色卡片的条件下，求抽出的两张卡片所标数字之和等于4的概率．
C
D
B
A P
E
19. （本小题满分14分）
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计每件产品的售价为x 元，(812)≤≤x ，分公司一年的销售量为2(13)-x 万件． （1） 求分公司一年的利润()L x 万元与售价x 的函数关系式；
（2） 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求最大值．
（注：每件产品的利润＝售价－成本－管理费）
20. （本小题满分14分）
已知点(,)n n n A x y (,)n n n B s t （n ∈*
N ）是抛物线2
4x y =上不同两点，设抛物线在点n A 、n B 处的两条切线相互垂直，垂足为点n C ，
（1）求n n x s 的值；
(2) 设F 为抛物线2
4x y =的焦点，若2n n x =，
当2n ≥时，求证：21
3
2n
k k n n FC =++≥∑．。