2022年-有答案-贵州省黔东南州某校高一(上)期末数学试卷

2022学年贵州省黔东南州某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数f(x)=√1−lnx 的定义域是（ ）
A.(0．e)
B.(0, e]
C.[e, +∞)
D.(e, +∞)
2. 已知，则sinα＝（ ） A.
B. C. D.
3. 函数f(x)＝log 2(x 2−2x +3)的值域为（ ）
A.[0, +∞)
B.[1, +∞)
C.R
D.[2, +∞)
4. 已知a ＝(√32)23，b ＝(45)13，c =ln3，则（ ）
A.a <b <c
B.a <c <b
C.b <a <c
D.b <c <a 5. 若f(x)=x +2x +a 的零点所在的区间为(−2, 1)，则实数a 的取值范围为（ ）
A.(−2,34)
B.(−3,74)
C.(−1,−12)
D.(0,54)
6. 若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A.
B. C. D.
7. 若函数f(x)＝sinxcosφ+cosxsinφ(0≤φ≤π)为偶函数，则φ的取值为（ ）
A.0
B. C. D.π
8. 已知函数f(x)=log a x 2(a >0且a ≠1)在区间[2, 4]上的最大值与最小值的差为1，则实数a 的值为（ ）
A.2
B.4
C.14或4
D.12或2 9. 已知，则＝（ ）
A.−6
B.−7
C.−8
D.−9
10. 已知函数f(x)＝{lnx,x >0−ln(−x),x <0
，若f(m)+2f(−m)>0，则实数m 的取值范围为（ ）
A.(−∞, −1)∪(1, +∞)
B.(−1, 0)∪(0, 1)
C.(−∞, −e)∪(0, e)
D.(−∞, −1)∪(0, 1)
11. 已知函数f(x)＝cosx （x ∈(0, π)）的图象与函数y ＝tanx 的图象交于A ，B 两点，则△OAB （O 为坐标原点）的面积为（ ）
A.
B. C. D.
12. 已知函数f(x)=x 2(1−22x +1)，若对任意的m ∈[−3, 3]，都有f(ma)+f(a −m +
1)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A.(−∞,12]∪[2,+∞)
B.(−∞, −1]∪[1, +∞)
C.[12，2]
D.[1, 2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
4cos(45∘−30∘)=________．
某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为y 1＝5x −14x 2，y 2=3x ，其中x 为销售量（单位：吨），若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为________万元．
已知函数f(x)＝{|x 2−2x|，x ≤36−x,x >3
，若a 、b 、c 、d 、e(a <b <c <d <e)满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)，则M =af(a)+bf(b)+cf(c)+df(d)+ef(e)的取值范围为________．
如图，在同一个平面内．向量，，的模分别为1，，，与
的夹角为α，且，与的夹角为45∘．若
，则m−n＝________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
已知集合A={x|x−a<a−2}，B={y|y=x2−2x+a}．
（1）若A∩B≠⌀，求实数a的取值范围；
（2）若∁R A⊆B，求实数a的取值范围．
已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(−1, 2)．（1）求值；
（2）若cos(α−β)＝，且a−β为第一象限角，求sinβ的值．
如图是函数一个周期内的图象，已知点是图象与x轴的交点．点C是图象上的最高点，点C的横坐标为．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）记∠ACB＝θ，求tanθ的值．
已知函数f(x)=log21−x
．
1+x
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）讨论函数f(x)的奇偶性；
（3）证明：函数f(x)在定义域上单调递减．
已知函数．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=9x−1，g(x)=a|3x−1|．
（1）若函数ℎ(x)=|f(x)|−g(x)有两个零点；求实数a的取值范围；
（2）当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a>0时，求函数φ(x)=|f(x)|+g(x)在区间[−1, 1]上的最值．
参考答案与试题解析
2022学年贵州省黔东南州某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
函数有意义，只需满足{1−lnx ≥0x >0
，解此不等式可得函数的定义域 【解答】
解：函数f(x)=√1−lnx 的定义域的定义域为：{
1−lnx ≥0x >0
解得0<x ≤e ．
故函数的定义域为：(0, e]，
故选：B
2.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
B
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出函数f(x)的值域即可．
【解答】
∵ x 2−2x +3=(x −1)2+2≥2，
∴ f(x)＝log 2(x 2−2x +3)≥log 22=1，
故函数f(x)的值域是[1, +∞)，
4.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
可求出a ＝(34)13，然后根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性即可得出(34)13
<(45)13<1，ln3>1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．
【解答】
∵ (√32)23＝(34)13<(45)13<(45)0＝1，ln3>lne =1，
∴ a <b <c ．
5.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由函数的解析式判断单调性，函数f(x)=x +2x +a 的零点所在的区间，列出不等式求解即可．
【解答】
∵ f(x)=x +2x +a 是增函数，
所以f(−2)f(1)<0，可得：(−2+2−2+a)(1+21+a)<0，
∴ a ∈(−3, 74)．
故选：B ．
6.
【答案】
A
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
根据条件分a>1和0<a<1两种情况，分别判断f(x)的单调性，然后根据f(x)在区间[2, 4]上的最大值与最小值的差为1，得到关于a的方程，再求出a的值．
【解答】
∵函数f(x)=log a x2(a>0且a≠1)在区间[2, 4]上的最大值与最小值的差为1，
∴当a>1时，f(x)在[2, 4]上单调递增，
∴f(4)−f(2)=log a16−log a4=1，∴a=4；
当0<a<1时，f(x)在[2, 4]上单调递减，
∴f(2)−f(4)=log a4−log a16=1，∴a＝1
．
4
∴a的值为4或1
．
4
9.
【答案】
C
【考点】
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
分段函数的应用
【解析】
先对m>0和m<0分类讨论，求出f(m)+2f(−m)的关系式，进而可以求解．
【解答】
当m>0时则−m<0，所以f(m)+2f(−m)=lnm−21n(−m)>0，
>0，解得0<m<1，
即lnm−lnm2=ln1
m
当m<0时，−m>0，所以f(m)+2f(−m)=−ln(−m)+21nm>0，
即ln(−m)>0，解得m<−1，
综上，实数m的取值范围为：(−∞, −1)∪(0, 1)，
11.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
正切函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
首先判断f(x)为R 上的奇函数，再由由y =x 2在(0, +∞)递增，y =1−2
1+2x 在(0, +∞)
递增，判断f(x)在R 上递增，原不等式可化为ma ≥−a +m −1，即m(a −1)+a +1≥0对m ∈[−3, 3]恒成立，设g(m)=m(a −1)+a +1，由一次函数的单调性，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=x 2(1−22x +1)=x 2⋅2x −12x +1，定义域为R ，
∴ f(−x)=(−x)2⋅2−x −1
2−x +1=x 2⋅1−2x
1+2x =−f(x)，
∴ f(x)为R 上的奇函数.
∵ x ≥0时，y =x 2和y =1−2
1+2x 单调递增，
∴ f(x)在R 上递增.
对任意的m ∈[−3, 3]，都有f(ma)+f(a −m +1)≥0恒成立，
即f(ma)≥−f(a −m +1)=f(−a +m −1)在m ∈[−3, 3]恒成立，
∴ ma ≥−a +m −1，即m(a −1)+a +1≥0在m ∈[−3, 3]恒成立.
设g(m)=m(a −1)+a +1，
g(−3)=−3(a −1)+a +1≥0，
g(3)=3(a −1)+a +1≥0，
解得12≤a ≤2. 故选C .
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
【答案】 √6+√2
【考点】
两角和与差的余弦公式
【解析】
由cos(5∘−30∘)=
√22×√32+√22×12=√6+√24，有4cos(45∘−30∘)=√6+√2 .
【解答】
解：4cos(45∘−30∘)=4×(cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘)
=4×(√22×√32+√22×12
)
=4×√6+√2
4
=√6+√2.
故答案为：√6+√2.
【答案】
34
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
设销售甲种产品x吨，由题意建立利润y关于x的函数关系，配方法求最值．【解答】
设销售甲种产品x吨，则销售乙种产品10−x吨，
由题意可得利润y=5x−1
4x2+3(10−x)=−1
4
x2+2x+30=−1
4
(x−4)2+34，
∴当x=10时，获得最大利润y=34万元．
【答案】
(0, 9)
【考点】
分段函数的应用
【解析】
先画出函数f(x )的图象，根据图象即可得到a，b，c，d，e的位置，进而可求出a，b，c，d，e的关系，然后代入M，再根据函数的性质即可求出范围．
【解答】
函数f(x)的图象如图所示：
由图可得a+d=2，b+c=2，5<e<6，
所以M=(a+b+c+d+e)f(e)=(4+e)(6−e)
=−e2+2e+24=−(e−1)2+25，
因为5<e<6，所以函数M在(5, 6)上单调递减，又e=5时，M=9，
e=6时，M=0，
所以M的取值范围为(0, 9)，
故答案为：(0, 9)．
【答案】
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
【答案】
若A∩B≠⌀，则2a−2>a−1，解得a>1，
即a的取值范围是(1, +∞)；
∁R A=[2a−2, +∞)，若∁R A⊆B，则2a−2≥a−1，解得a≥1，
即a的取值范围是[1, +∞)．
【考点】
交、并、补集的混合运算
交集及其运算
【解析】
（1）根据交集的定义得到关于a的不等式，解出即可；
（2）求出A的补集，根据集合的包含关系得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】
若A∩B≠⌀，则2a−2>a−1，解得a>1，
即a的取值范围是(1, +∞)；
∁R A=[2a−2, +∞)，若∁R A⊆B，则2a−2≥a−1，解得a≥1，
即a的取值范围是[1, +∞)．
【答案】
由三角函数的定义有，，．
，
cos2α＝5−2sin2α＝2−2×＝-．
则；
由题意有，
sinβ＝sin[α−(α−β)]＝sinαcos(α−β)−cosαsin(a−β)＝
．
【考点】
两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
【答案】
由图可知，函数f(x)的周期为，
∴．
代入点C的坐标，有．
又由，可得，
可得，有，
故函数f(x)的解析式为．
如图．过点C作x轴的垂线．
可得点M的坐标为，
由函数f(x)图象的周期性，可得点B的坐标为，|，，
在△AMC中，，
在△BMC中，，
，
由θ＝π−(∠CAM+∠CBM)．
可得tanθ＝−tan(∠CAM+∠CBM)＝8，故tanθ＝8．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
根据题意，f(x)=log21−x
1+x ，则有1−x
1+x
>0，
解可得：−1<x<1，即函数的定义域为(−1, 1)，根据题意，函数f(x)为奇函数，
证明：函数f(x)的定义域为(−1, 1)，
则f(−x)=log21−x
1+x =−log21−x
1+x
=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数，
根据题意，f(x)的定义域为(−1, 1)，
设−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=log21−x1
1+x1−log21−x2
1+x2
=log2(1−x1
1+x1
×1+x2
1−x2
)=
log21+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2
，
又由x1<x2，则(x2−x1)>0，
则有1+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2>1，故f(x1)−f(x2)=log21+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2
>log21=0，
故函数f(x)在定义域上单调递减．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数的定义域及其求法
【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式可得1−x
1+x
>0，解可得x的取值范围，即可得答案，（2）根据题意，由（1）的结论可得f(x)的定义域关于原点对称，再分析f(−x)与f(x)的关系，即可得结论，
（3）根据题意，设−1<x1<x2<1，由作差法分析可得结论．
【解答】
根据题意，f(x)=log21−x
1+x ，则有1−x
1+x
>0，
解可得：−1<x<1，即函数的定义域为(−1, 1)，根据题意，函数f(x)为奇函数，
证明：函数f(x)的定义域为(−1, 1)，
则f(−x)=log21−x
1+x =−log21−x
1+x
=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数，
根据题意，f(x)的定义域为(−1, 1)，
设−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=log21−x1
1+x1−log21−x2
1+x2
=log2(1−x1
1+x1
×1+x2
1−x2
)=
log21+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2
，
又由x1<x2，则(x2−x1)>0，
则有1+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2>1，故f(x1)−f(x2)=log21+x2−x1−x1x2
1−(x2−x1)−x1x2
>log21=0，
故函数f(x)在定义域上单调递减．
【答案】
＝
＝
令，
得
令，
得
故函数f(x)的增区间为，减区间为；
当时，，
可得，所以f(x)+2，
不等式
可化为2mf(x)+4m ≥(m +6)f(x)+2m +1，
有(m −8)f(x)+2m −1≥3．
即m 恒成立，
只需m ，又f(x)+2，
所以，当f(x)+2＝时，，
所以，
故实数m 的取值范围为．
【考点】
三角函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
由ℎ(x)=|9x −1|−a|3x −1|=|3x −1|(3x +1−a)， 由ℎ(0)=0，可得x =0为函数ℎ(x)的一个零点，
若函数f(x)有两个零点，只需要3x =a −1，且x ≠0有解， 有{a −1>0a −1≠1
，可得a >1且a ≠2； 若f(x)≥g(x)恒成立，有9x −1≥a|3x −1|，可得(3x +1)(3x −1)≥a|3x −1|，(∗) x =0时，(∗)显然成立；x >0时，3x >1，可得3x +1≥a 恒成立，可得a ≤2； x <0时，0<3x <1，可得−3x −1≥a 恒成立，可得a ≤−2， 故所求范围是(−∞, −2]；
φ(x)=|f(x)|+g(x)=|9x −1|+a|3x −1|，
当0≤x ≤1时，令3x =t(1≤t ≤3)，φ(x)=(t 2−1)+a(t −1)=t 2+at −a −1， 由m(t)=t 2+at −a −1在[1, 3]递增，可得φ(x)min =0，φ(x)max =2a +8； 当−1≤x ≤0时，令3x =k(1
3≤k ≤1)，φ(x)=−(k 2−1)+a(1−k)=−k 2−ak +
a +1，
令ℎ(k)=−k 2−ak +a +1(1
3
≤k ≤1)，对称轴为k =−a
2
<0，
可得ℎ(k)递减，0<ℎ(k)≤23a +8
9， 而2a +8>2
3a +8
9，
故φ(x)的最小值为0，最大值为2a +8． 【考点】
函数的最值及其几何意义 函数恒成立问题 【解析】
（1）由ℎ(x)=0，可得ℎ(0)=0，只要3x =a −1，且x ≠0有解，可得所求范围； （2）由题意可得(3x +1)(3x −1)≥a|3x −1|，讨论x =0，x >0，x <0，不等式恒成立可得所求范围；
（3）求得φ(x)的解析式，讨论当0≤x ≤1时，当−1≤x ≤0时，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，可得所求最值． 【解答】
由ℎ(x)=|9x −1|−a|3x −1|=|3x −1|(3x +1−a)， 由ℎ(0)=0，可得x =0为函数ℎ(x)的一个零点，
若函数f(x)有两个零点，只需要3x =a −1，且x ≠0有解， 有{a −1>0a −1≠1
，可得a >1且a ≠2； 若f(x)≥g(x)恒成立，有9x −1≥a|3x −1|，可得(3x +1)(3x −1)≥a|3x −1|，(∗) x =0时，(∗)显然成立；x >0时，3x >1，可得3x +1≥a 恒成立，可得a ≤2； x <0时，0<3x <1，可得−3x −1≥a 恒成立，可得a ≤−2， 故所求范围是(−∞, −2]；
φ(x)=|f(x)|+g(x)=|9x −1|+a|3x −1|，
当0≤x ≤1时，令3x =t(1≤t ≤3)，φ(x)=(t 2−1)+a(t −1)=t 2+at −a −1， 由m(t)=t 2+at −a −1在[1, 3]递增，可得φ(x)min =0，φ(x)max =2a +8； 当−1≤x ≤0时，令3x =k(1
3≤k ≤1)，φ(x)=−(k 2−1)+a(1−k)=−k 2−ak +a +1，
令ℎ(k)=−k 2−ak +a +1(1
3
≤k ≤1)，对称轴为k =−a
2
<0，
可得ℎ(k)递减，0<ℎ(k)≤23
a +8
9
，
而2a +8>23a +8
9，
故φ(x)的最小值为0，最大值为2a +8．。