福建省龙岩市2021届新高考数学四模试卷含解析

福建省龙岩市2021届新高考数学四模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A ．2223S S ，且
B ．2223S S ，且
C ．2223S S ，且
D ．2223S S ，且 【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故
{}
2,22,23S =，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BC
CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =故{}
2,22,23S =，故2S ，23S .
故选：D .
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
2．一个陶瓷圆盘的半径为10cm，中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（）
A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147
【答案】B
【解析】
【分析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
【详解】
如图，由几何概型公式可知：
2
2
451
3.137
101000
S
S
π
π
=≈⇒≈
⋅
正
圆
.
故选：B
【点睛】
本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题
3．若复数22
1
a i
i
+
+
（a R
∈）是纯虚数，则复数22
a i
+在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B
【解析】 【分析】 化简复数221a i
i
++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】
221a i i ++2()(1)
1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010
a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．
故选：B ． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
4．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26
【答案】D 【解析】 【分析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为2345
5555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所
求的种数. 【详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为2345
5555205126C C C C +++=++=（种），
故选：D. 【点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.
5．已知不等式组y x
y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则的最大值为
（ ） A ．3 B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 6．设函数()()
2
1
ln 11f x x x
=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()
()1,00,1-
【答案】B 【解析】 【分析】
由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】
由题意知：()f x 定义域为R ，
()()()
()()2
2
11
ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--
=+-
=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()2
1
ln 11f x x x
=+-
+，
()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，2
1
1y x
=
+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，
由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，
x 的取值范围为()
(),11,-∞-+∞.
故选：B . 【点睛】
本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.
7．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为
0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【答案】B 【解析】 【分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
8．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=
(
)·cos ?cos AB AC AB B
AC C
+
，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
【答案】B
【解析】 【分析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键． 9．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（） A ．4 B ．6
C ．23
D ．43
【答案】B 【解析】 【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3
302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．
10．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双
曲线C 的渐近线的距离为1
2
c ，则双曲线C 的离心率是（ ）
A B
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】
由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y x
a =
，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222
214a b c c =，即2222
2()14
a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．
11．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒322
11
m m m --=≠-， 由
321m m
m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，
故答案为：A 【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
12．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，
31log 5f ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）
A ．()()3
521log log 3log 55f f f <<⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．()()3
251log log 5log 35f f f <<⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫
⎝
⎭
< D ．()()23
51log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫
⎝
⎭
< 【答案】D 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】
因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.
又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3
331log log 5log 55f f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫
⎝⎭
<. 故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 作直线与C 相交于,P Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率是_________． 【答案】22 【解析】 【分析】
作出准线，过,P Q 作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率． 【详解】
设l 是准线，过P 作PM l ⊥于M ，过Q 作QN l ⊥于N ，过P 作PH QN ⊥于H ，如图， 则PM PF =，QN QF =，∵2PF FQ =，∴2QF PF =，∴2QN PM =， ∴QH NH PM PF ===，2
2(3)22PH PF PF PF =-=，
∴tan 22PH
HQF QH
∠=
=，∴直线PQ 斜率为22． 故答案为：22．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
14．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C 平面角的大小为30时，
k 的值为______. 【答案】1
2
【解析】
【分析】 二面角P
AB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则
sin QH d θ=
.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得QH
PQ k
=，由此可得sin k θ=，则由3
cos cos30θ=︒=
可求k 值. 【详解】 解：如图， 设二面角P
AB C 平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，
点Q 到定直线AB 的距离为d ，则sin QH d θ=，即sin QH
d θ
=
. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ， ∴
QH k PQ
=，则QH
PQ k
=
， ∵动点Q 的轨迹是抛物线， ∴PQ d =，即
sin QH QH
k θ
=
则sin k θ=. ∴二面角P AB C 的平面角的余弦值为223cos 1sin 1cos30k θθ=-=-=︒=
解得：1
2
k =
（0k >）.
故答案为：12
. 【点睛】
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，
2
MF NF
b +=
，若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ，则-a b 的值为_________.
【答案】1 【解析】 【分析】
设()()1122,,,M x y N x y ，写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +，由抛物线定义得焦点弦长，求得b ，再写出MN 的垂直平分线方程，得a ，从而可得结论． 【详解】
抛物线2
:4C y x =的焦点坐标为()1,0，直线l 的方程为1y x =-，
据214y x y x
=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ， 则()1212121
6,4,11422
MF NF x x y y b x x ++=+=∴=
=+++=.
线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-，令0y =，则5x =，所以5a =， 所以1a b -=. 故答案为：1． 【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键．
16．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．
【答案】30 【解析】 【分析】
根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】
根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是80
2000.4
=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=，
则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=． 故答案为：30 【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；
（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3
3
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，四边形EFMN 是平行四边形，由EF BE ⊥，EF DE ⊥，得
EF BDE ⊥平面，从而EF EN ⊥，MF MN ⊥，求出MF CD ⊥，由此能证明MF BCD ⊥平面． （Ⅱ）以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E MF C --的余弦值． 【详解】
证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MN
BC =，1
2
EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE EF E =，
∴ EF BDE ⊥平面，
∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥， 在DFC ∆中，DF FC =，
又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MF
MN M =，∴MF BCD ⊥平面．
解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE
EF E =，
∴ DE BEF ⊥平面，
以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设2BC =，则()000E ，
，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-， 设面EMF 的法向量(),,m x y z =，
则0
m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =， 同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =， 设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cos
m n m n
θ⋅=
=⋅，
∴ 二面角E MF C --的余弦值为
33
．
【点睛】
本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．
18．设0()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，
，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值． 【答案】（1）1（2）1 【解析】
分析：（1）当1m =时可得()()1
,1,?,111
P n Q n n n =
=++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,n P n m P n m m n =-+，累乘可得()()()!!1,0,!n
n m
n m P n m P m n m C +==+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．
详解：（1）当1m =时，()()()1
1
00
111,111111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1
111n Q n C n +==+，
， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=. （2）()()
,1n
k
k
n
k m
P n m C m k
==
-+∑ ()()1
1
111
11()
1n k
n
k k n n k m m C C m k m k
----==+-++-++∑ ()()1
1
1
1
1
1111n n
k
k k
k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑ ()()1
1
1
1,1n
k
k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑ ()()01,1n k k
n k m m P n m C n m k
==-+-+∑
()()1,,m
P n m P n m n =-+
即()(),1,n
P n m P n m m n =
-+， 由累乘可得()()()!!1
,0,!
n n m n m P n m P m n m C +==+，
又(),n
n m Q n m C +=，
所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误． 19．已知函数()ln 1g x x mx =--. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）若函数()()f x xg x =在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明12ln ln 2x x +>.
【答案】（1）若0m ≤，则()g x 在定义域内递增；若0m >，则()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减（2）证明见解析 【解析】
（1）1()mx
g x x
-'=
，分0m ≤，0m >讨论即可； （2）由题可得到121212121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+-，故只需证121212ln ln 2
x x x x x x ->-+，
()12x x <，即1
12
1
22
1
ln 21x x x x x x -<⋅+，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.
【详解】 由已知，'
1()mx
g x x
-=
， 若0m ≤，则()g x 在定义域内递增；
若0m >，则()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减. （2）由题意2
()ln f x x x mx x =--，0x >
对()f x 求导可得'
()ln 2,0f x x mx x =->
从而1x ，2x 是()f x '
的两个变号零点，因此
121212
121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+- 下证：121212
ln ln 2
x x x x x x ->-+，()12x x <
即证1
12
12
2
1
ln
21x x x x x x -<⋅+ 令1
2
x t x =
，即证：()(1)ln 22h t t t t =+-+，(0,1)t ∈ 对()h t 求导可得'
1()ln 1h t t t =+-，(0,1)t ∈，21
()t h t t
-''=
，因为01t << 故''
()0h t <，所以'
()h t 在(0,1)上单调递减，而'
(1)0h =，从而'
()0h t > 所以()h t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0h t h <=，即()0h t < 于是12ln ln 2x x +>
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.
20．已知函数32()21f x x mx m =+++. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值为3-，求m 的值. 【答案】（1）见解析 （2）3m =- 【解析】 【分析】
（1）先求导，再对m 分类讨论，求出()f x 的单调性；（2）对m 分三种情况讨论求函数()f x 在区间[0,)+∞上的最小值即得解. 【详解】
（1）2
()622(3)f x x mx x x m '
=+=+ 若0m <，当(,0),3m x ⎛⎫
∈-∞⋃-
+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当0,3m x ⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭时.()0f x '<，
所以()f x 在(,0),,3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3m ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上单调递减
若0,()0m f x '
=.()f x 在R 上单调递增
若0m >，当,(0,)3m x ⎛⎫
∈-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>； 当,03m x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时.()0f x '<， 所以()f x 在,,(0,)3m ⎛⎫-∞-
+∞ ⎪⎝
⎭上单调递增，在,03m ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减 （2）由（1）可知，当0m ≥时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，则min ()(0)13f x f m ==+=-.则-4m =不合题意
当0m <时，()f x 在0,3m ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,3m ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
则33min
2()133279m m m f x f m ⎛⎫=-=-+++=- ⎪⎝⎭
，即3
4027m m ++=
又因为3
()427
m g m m =++单调递增，且(3)0g -=，故3m =-
综上，3m =- 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为()4,0F m
（0m >，m 为常数），离心率等于0.8，过焦点F 、倾斜角为θ的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若90θ=︒时，
1152
9
MF NF +=
，求实数m ； ⑶试问
11MF NF
+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
【答案】（1）22
22
1259x y m m
+=（2）2m =（3）11109NF MF m +=为定值 【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为22
22
1259x y m m +=；
（2）我们要知道θ=90的条件应用，在于直线l 交椭圆两交点M ，N 的横坐标为4x m =，这样代入椭圆方程，容易得到
，从而解得2m =
；
（3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即θ=90时，由（2）得
11109NF MF m
+=；另一方面，当斜率存在即90θ≠时，可设直线的斜率为k ，得直线MN ：(4)y k x m =-，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到
11109NF MF m +=，所以11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜
角θ的大小无关
试题解析：（1）4c m =，45e =得：5a m =，椭圆方程为22
22
1259x y m m += （2）当4x m =时，2
2
8125
m y =，得：95m y =，
于是当θ=90时，95m NF MF ==
，于是11109NF MF m +==
得到m =
（3）①当θ=90时，由（2）知
1110
9NF MF m
+= ②当90θ≠时，设直线的斜率为k ，11(,)M x y ，22(,)N x y 则直线MN ：(4)y k x m =- 联立椭圆方程有2
2
2
2
2
(925)20025(169)0k x k mx m k +-+-=，
2122200(925)k m
x x k +=+，2212
225(169)·(925)
m k x x k -=+， 11MF NF +=11
455m x -+21
455m x -=12212124
10()
516254(?25
m x x m m x x x x -+-++）=222
90(1)81(1)?m k m k ++ 得
11109NF MF m
+= 综上，11109NF MF m
+=为定值，与直线l 的倾斜角θ的大小无关 考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线
22．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥. （1）求证:数列{}n n a b -为等比数列；
（2）求数列13n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析（2）112
231
n n S +=-+ 【解析】 【分析】
（1）根据题目所给递推关系式得到
11
3n n
n n a b a b ---=-，由此证得数列{}n n a b -为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n n a b -的通项公式，判断出1n n a b +=，由此利用裂项求和法求得数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
的前n 项和n S . 【详解】
（1）()()()111111223n n n n n n n n a b a b b a a b -------=---=-
11
*,2,
3n n
n n a b n N n a b ---∈≥=-
所以数列{}n n a b -是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，()()1111113,22n
n n n n n n n n n n a b a b a b b a a b -------=+=-+-=+
∴{}n n a b +为常数列，且111n n a b a b +=+=， ∴213n n a =+，
∴()()1
113431
1231313131n n n n n n n n a a +++⋅⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭
∴111111
1241010283131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11
1
1122431231
n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题. 23．已知函数2
()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.
（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-； （
2）设()()g
x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且1
24b e a
+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）.
【答案】（1）证明见解析；（2）2244e e ⎡⎢
⎢⎥⎣⎦
，. 【解析】 【分析】
（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2
a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故
()()
212ln 142
a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()2
2ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值
即可；
（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得2
3ln 2x a x a
b x
++=，令
()ln 1
3a a x F x x x a
+=+
+，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可. 【详解】
（1）已知2
2(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，
(1)(2)
()2a x x a f x x b x x
--'∴=-+
=， 由()0f x '=可得121
2a x x ==，， 又由121x x ->,知
22
a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
()()
()2
121ln 124
2a a
a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭
令22
a
t =
>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)
()20t h t t t
-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，
上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；
()(2)34ln 20h t h -∴>=>，
12()()34ln 2f x f x ∴->-
（2）32
()ln g x x bx ax x =-+，2
()32ln g x x bx a x a '∴=-++，
()g x 在[]1,e 上不单调，
()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，
23ln 2x a x a
b x
++∴=
，(1,)x e ∈， 1
24b e a
+
≤恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()22
23ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫
'==- ⎪⎝⎭
， 记2ln ()x G x x =
，3
12ln ()x
G x x -'∴=，
()G x ∴在(上单调增，在)
e 上单调减.
max 1
()2G x G e
==
于是知
（i ）当312a e
≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()2134a F e e e e a
∴=++≤，
2220a e a e ∴-+≤，a ≤≤. （ii ）当6a e >时，
1
4
F e a =>=>，故不满足题意.
综上所述，a ∈⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.。